3.3 LOI DISCRÈTE 1

cours 14

3.3 LOI DISCRÈTE 1

Au dernier cours, nous avons vu

✓

L’espérance mathématiques

✓

La variance

✓

L’écart type

Aujourd’hui, nous allons voir

✓

Loi de Bernoulli

✓

Loi binomiale

✓

Loi géométrique

On a vu qu’à une expérience aléatoire, on peut associer une variable aléatoire.

Ces variables aléatoires possèdent une fonction de probabilité nommée loi de probabilité.

Or certains types de loi de probabilité reviennent souvent et portent des noms

Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux résultats.

Succès et échec.

On note la probabilité de succès par ^p et la probabilité d’échec par q = 1 p

p + q = 1

X est une variable aléatoire qui donne 0 en cas d’échec et 1 en cas de succès

P (X = 0) = q P (X = 1) = q

1 1

0 Sa fonction de répartition est

P (X  x)

1 1

0

= F (x) =

8>

<

>:

0 x < 0

q 0  x < 1 1 1  x

p + q = 1

L’espérance d’une épreuve de Bernoulli est

= p et sa variance est

Var(X) = (0 p)²q + (1 p)²p

= p²q + q²p

Une autre façon de trouver la variance est

Var(X) = E(X²) E(X)²

E(X²) = 0² · q + 1² · p E(X) = 0 · q + 1 · p

= p

= p p²

= p(1 p) = pq

= pq(p + q) = pq

Loi binomiale

Si notre expérience aléatoire consiste à répéter fois une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès et qu’on s’intéresse au

nombre de succès, la variable aléatoire

n p

X : le nombre de succès

aura comme loi de probabilité la loi binomiale B(n; p)

et on dit que la variable aléatoire suit une loi binomiale.

X ⇠ B(n; p)

Lorsqu’on est dans la situation ou on répète une épreuve, le résultat d’une épreuve n’influence pas le résultat d’une autre.

P (S₁ \ E₂) = P (S₁)P (E₂) = pq

En d’autres termes, les évènements sont indépendants.

S₁ : succès lors de la première épreuve.

E₂ : échec lors de la deuxième épreuve.

Supposons que _{X ⇠ B(n; p)} et qu’on cherche P (X = k)

pour obtenir succès lors de épreuves, k n il a bien fallu obtenir échecs. n k

Le nombre de façons d’obtenir parmi épreuves est_{k n}

✓n k

◆

P (X = k) =

✓n k

◆

p^kq^{n k}

On peut remarquer que

Xn

k=0

P (X = k) =

Xn

k=0

✓n k

◆

p^kq^{n k} = (p + q)ⁿ = 1ⁿ = 1

binôme de Newton

B(16; 0, 5) B(16; 0, 2)

Pour trouver l’espérance et la variance d’une loi binomiale, il suffit de X ⇠ B(n; p)

X = X₁ + X₂ + · · · + X_n X_i épreuve de Bernoulli

E(X_i) = p Var(X_i) = pq

E(X) = E(X₁ + X₂ + · · · + X_n)

= E(X₁) + E(X₂) + · · · + E(X_n) = np

Var(X) = Var(X₁ + X₂ + · · · + X_n)

= Var(X₁) + Var(X₂) + · · · + Var(X_n) = npq

Exemple

On lance une paire de dés à quatre reprise et on veut savoir le nombre de fois qu’on a eu une somme de 7 La probabilité d’avoir une somme de 7 sur deux dés est ⁶

36 = 1 6 : le nombre de fois qu’on obtient une somme de 7

X

X ⇠ B

✓

4; 1 6

◆

P (X = 3) =

✓4 3

◆ ✓ 1 6

◆3 ✓ 5 6

◆

= 20

1296 = 5

324 ⇡ 0, 015

E(X) = 4 1

6 = 0, ¯6 Var(X) = 4

✓ 1 6

◆ ✓ 5 6

◆

= 0, ¯5

Faites les exercices suivants

#3.14 à 3.20

Loi géométrique

Si notre expérience aléatoire consiste à répéter une épreuve de

Bernoulli de probabilité de succès et ce, jusqu’au premier succès. ^p On dira alors que la variable aléatoire donnant le nombre d’épreuves

nécessaire à l’obtention du premier succès X ⇠ G(p)

qu’elle suit une loi géométrique.

Remarque:

p 6= 0

car chercher un succès lorsqu’il est impossible est un peu futile.

Pour trouver _{P (X = k)}

on a dû avoir échecs suivi d’un succèsk 1 P (X = k) = q^{k 1}p

Ici l’ensemble de réalisation de notre variable aléatoire est {1, 2, 3, . . . }

puisqu’à priori on ne sait pas combien d’essais ça peut prendre.

P (X = 1) = p

on obtient donc une série géométrique convergente car

0 < q < 1 X1

k=1

P (X = k) =

X1 k=1

q^{k 1}p

= p

X1 k=1

q^{k 1}

= p

X1 t=0

q^t

t = k 1

= p 1

1 q = p

p = 1

Calculer ça directement est assez compliquer; utilisons une astuce.

E(X) =

X1 k=1

kq^{k 1}p = p

X1 k=1

kq^{k 1}

X1 k=0

x^k = 1 1 x on sait que la série de puissance

en dérivant de chaque côté la dernière égalité, on obtient

= p 1

(1 q)² = p

p² = 1 p

X1 k=0

x^k

!₀

=

X1 k=0

x^{k 0} =

X1 k=1

kx^{k 1} = 1

(1 x)² =

✓ 1 1 x

◆₀

Var(X) = E(X²) E(X)² E(X²) =

X1 k=1

k²q^{k 1}p

X1 k=2

k(k 1)x^{k 2} =

X1 k=2

k²x^{k 2}

X1 k=2

kx^{k 2}

X1 k=2

k²x^{k 2} = 2

(1 x)³ +

X1 k=2

kx^{k 2} X1

k=0

x^k

!₀₀

=

X1 k=2

k(k 1)x^{k 2} = 2

(1 x)³ =

✓ 1 1 x

◆₀₀ En utilisant la dérivée seconde de la série géométrique

= E(X²)

✓ 1 p

◆2

E(X²) =

X1 k=1

k²q^{k 1}p X1

k=2

k²x^{k 2} = 2

(1 x)³ +

X1 k=2

kx^{k 2}

X1 k=2

k²x^{k 1} = 2x

(1 x)³ +

X1 k=2

kx^{k 1}

1 +

X1 k=2

k²x^{k 1} = 2x

(1 x)³ + 1 +

X1 k=2

kx^{k 1} X1

k=1

k²x^{k 1} = 2x

(1 x)³ +

X1 k=1

kx^{k 1} Var(X) = E(X²) E(X)²

en multipliant par _x

= E(X²)

✓ 1 p

◆2

E(X²) =

X1 k=1

k²q^{k 1}p = p

X1 k=1

k²q^{k 1}

X1 k=1

k²x^{k 1} = 2x

(1 x)³ +

X1 k=1

kx^{k 1}

= 2x

(1 x)³ + 1

(1 x)²

= p

✓ 2q

(1 q)³ + 1

(1 q)²

◆ Var(X) = E(X²) E(X)² = E(X²)

✓ 1 p

◆2

E(X²) =

X1 k=1

k²q^{k 1}p = p

X1 k=1

k²q^{k 1}= p

✓ 2q

(1 q)³ + 1

(1 q)²

◆

= p

✓ 2q

p³ + 1 p²

◆

= 2q

p² + p p²

= 2(1 p) + p

p² = 2 p

p²

Var(X) = 2 p p²

✓ 1 p

◆2

= 2 p p²

1

p² = 1 p p² Var(X) = E(X²) E(X)² = E(X²)

✓ 1 p

◆2

Donc pour _{X ⇠ G(p)}

E(X) = 1

p Var(X) = 1 p p²

Exemple

On lance deux dés et on s’intéresse au nombre

nécessaire de lancé avant d’obtenir une somme de 7 X : nombre de lancé avant la première somme de 7

P (X = 3) =

✓ 5 6

◆2 ✓ 1 6

◆ P (X = 2) =

✓ 5 6

◆ ✓ 1 6

◆

P (X = 4) =

✓ 5 6

◆3 ✓ 1 6

◆ P (X = 1) = 1

6

E(X) = 1

1 6

= 6

Var(X) = 1 ¹₆

1 36

= 5 · 36

6 = 30

Loi binomiale négative

X ⇠ BN (r, p)

La loi binomiale négative est une généralisation de la loi géométrique La variable aléatoire qui compte le nombre d’épreuves de Bernoulli

de probabilité de succès jusqu’à l’obtention de succès p r

suit une loi binomiale négative.

en particulier BN (1, p) = G(p)

X ⇠ BN (r, p) P (X = n)

P (X = n) =

✓n 1 r 1

◆

p^rq^{n r}

Pour avoir r succès après n épreuves il faut avoir eu r-1 succès après n-1 épreuve et en suite 1 succès.

Vérifier que

Est particulièrement compliqué et nous omettrons cette justification On peut voir la variable aléatoire comme

X = Y₁ + Y₂ + · · · + Y_r

Y₁ :le nombre d’épreuves nécessaires à l’obtention du premier succès :le nombre d’épreuves supplémentaires nécessaires à

l’obtention du deuxième succès Y₂

Y₃ :le nombre d’épreuves supplémentaires nécessaires à l’obtention du troisième succès

et ainsi de suite X1

k=r

P (X = r) =

X1 k=r

✓k 1 r 1

◆

p^rq^{k r} = 1

De plus on a que les sont indépendantsY_i

De plus _{X = Y1 + Y2 + · · · + Yr} E(X) = E(Y₁ + Y₂ + · · · + Y_r)

= E(Y₁) + E(Y₂) + · · · + E(Y_r)

= 1

p + 1

p + · · · + 1

p = r p

Var(X) = r(1 p) p²

Avec un argument similaire, on obtient

Faites les exercices suivants

# 3.21 à 3.24

Aujourd’hui, nous avons vu

X ⇠ B(n; p)

E(X) Var(X) P (X = k)

np npq

✓n k

◆

p^kq^{n k}

X ⇠ G(p) q^{k 1}p 1

p 1 p

p²

r(1 p) p²

r X ⇠ BN (r, p) p

✓k 1 r 1

◆

p^rq^{k r} Binomiale

Géométrique

Binomiale négative Loi

Devoir:

Section 1.1