I Épreuve de Bernoulli - Loi binomiale

(1)

PROBABILITÉS

Loi binomiale - Échantillonnage

I Épreuve de Bernoulli - Loi binomiale

Exemple

On lance deux fois une pièce de monnaie parfaitement équilibrée.

Les deux lancers sont indépendants (c'est-à-dire que le résultat du second lancer ne dépend pas du résultat du premier). À chaque lancer, on a p(F) = p(P) = 1

2

On peut représenter la succession des deux lancers par un arbre et faire figurer les probabilités sur chaque branche de cet arbre.

(On dit dans ce cas qu'il s'agit d'un arbre pondéré) La probabilité d'obtenir deux fois "Face" est p(F,F) = 1

2^x 1 2= 1

4 La probabilité d'obtenir deux fois "Pile" est p(P,P) = 1

2^x 1 2= 1

4 La probabilité d'obtenir "Face" suivi de "Pile" est p(F,P) = 1

2^x 1 2= 1

4 La probabilité d'obtenir "Pile" suivi de "Face" est p(P,F) = 1

2^x 1 2= 1

4 Exercice 01 (voir réponses et correction)

Une pièce n'est pas parfaitement équilibrée. En effectuant un grand nombre de lancers, on a remarqué que

"Face" est obtenu dans 40% des cas et "Pile" dans 60% des cas.

On admet donc qu'à chaque lancer, on a p(F) = 2

5 et p(P) = 3 5 .

On lance deux fois cette pièce de monnaie. Les deux lancers sont indépendants.

1°) Représenter la situation par un arbre et faire figurer les probabilités sur chaque branche de cet arbre.

2°) Déterminer p(P,P) et p(F,F).

3°) Déterminer la probabilité de l'événement E : « obtenir une fois "Pile" et une fois "Face" ».

4°) On considère la variable aléatoire X qui à chaque éventualité fait correspondre le nombre de fois que l'on a obtenu "Face". Donner la loi de probabilité de X et calculer l'espérance mathématique de X.

Exercice 02 (voir réponses et correction)

Un magasin organise un jeu. Chaque personne entrant dans le magasin reçoit un billet portant l'un des trois numéros : 0 ; 2 ou 5.

Pour chaque personne entrant dans le magasin, la probabilité de recevoir un billet portant le numéro 0 est p(0) = 0,5 et la probabilité de recevoir un billet portant le numéro 2 est p(2) = 0,4.

• Un billet numéro 0 est un billet perdant.

• Un billet numéro 2 est un billet gagnant un stylo.

• Un billet numéro 5 est un billet gagnant une montre.

Un couple rentre dans un magasin et chacune des deux personnes du couple reçoit un billet.

1°) Reproduire et terminer l'arbre pondéré ci-contre représentant la situation.

2°) Calculer la probabilité des événements suivants : a) Le couple ne gagne rien ;

b) Le couple gagne deux montres ;

c) Le couple gagne une montre et un stylo ; d) Le couple gagne uniquement un stylo.

F

P

F

P F

P 1

2

1 2

0

2

5

0 2 5 0 0,5

0,4

(2)

http://xmaths.free.fr − − page 2 / 9

On utilise une pièce de monnaie dont on ne sait pas si elle est équilibrée.

Pour cette pièce on suppose que la probabilité d'obtenir "Face" est un nombre réel p de l'intervalle [0 ; 1].

1°) Donner la valeur de la probabilité d'obtenir "Pile".

2°) On lance deux fois cette pièce de monnaie. Les deux lancers sont indépendants.

a) Représenter la situation par un arbre pondéré.

b) On considère la variable aléatoire X qui à chaque éventualité fait correspondre le nombre de fois que l'on a obtenu "Face". Donner la loi de probabilité de X et calculer l'espérance mathématique de X.

On jette un dé cubique équilibré. Ce dé comporte deux faces vertes, trois faces bleues et une face rouge.

On note la couleur apparaissant sur la face supérieure. Si une face verte apparaît, on gagne 10 € ; si une face bleue apparaît, on gagne 20 €, si une face rouge apparaît on gagne 50 €.

On jette deux fois de suite ce dé, de façon indépendante.

1°) Représenter la situation par un arbre pondéré.

2°) On note G la variable aléatoire correspondant au gain obtenu à la suite des deux lancers.

a) Compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de G

Gain 20 30

Probabilité

b) Calculer l'espérance mathématique de G

c) Pour pouvoir faire les deux lancers, une personne doit miser 50 €.

Un joueur peut-il espérer gagner sur le long terme ?

Définition

On appelle épreuve de Bernoulli une épreuve ayant deux éventualités : S (succès) et ^S (échec).

La loi de Bernoulli de paramètre p associe à l'événement S la probabilité p et à ^S la probabilité 1 - p . Exemple

On considère une épreuve de Bernoulli, les deux éventualités sont S : "Succès" et E =^S : "Échec".

Notons p(S) =p et p(E) = 1 -p.

On répète trois fois cette épreuve, de manière indépendante, et on s'intéresse au nombre de Succès que l'on obtient sur les trois essais. On peut traduire la situation par un arbre de probabilités :

S 3 Succès

S

E 2 Succès

S

S 2 Succès

E

E 1 Succès

S 2 Succès

S

E 1 Succès

E

S 1 Succès

E

E 0 Succès

D'après l'arbre, la probabilité d'obtenir la suite (S ; S ; E) est : p ^x p ^x (1 - p) = p²(1 - p)

De même la probabilité de (S ; E ; S) est p²(1 - p) et la probabilité de (E ; S ; S) est aussi p²(1 - p) La probabilité d'obtenir exactement deux Succès sur les trois essais est la probabilité de l'événement : {(S ; S ; E) ;(S ; E ; S) ; (E ; S ; S)}. Elle est donc égale à 3 xp²(1 -p) .

En notant x_i le nombre de Succès obtenus sur les trois essais, on peut justifier que l'obtient la loi de probabilité ci-dessous :

x_i 0 1 2 3

p_i (1 -p)³ 3p(1 -p)² 3p²(1 -p) p³ p

1-p

p

1-p

p

1-p

p 1-p

p

1-p p 1-p

(3)

Exercice 05 (voir réponses et correction) 73 % d'une population déterminée, possède un ordinateur.

Lorsqu'on interroge une personne dans cette population, on note : O l'événement : « la personne possède un ordinateur »

et ^O : « la personne ne possède pas d'ordinateur ».

1°) Quelle est la probabilité de ^O ?

2°) On interroge successivement, au hasard et de façon indépendante trois personnes dans cette population.

a) Terminer et compléter l'arbre ci-contre.

b) Quelle est la probabilité que les trois personnes interrogées aient un ordinateur.

c) Quelle est la probabilité qu'aucune des trois personnes interrogées n'ait un ordinateur.

d) Quelle est la probabilité qu'une exactement des trois personnes interrogées ait un ordinateur (et que les deux autres n'en aient pas).

Exercice 06 (voir réponses et correction) La société qui imprime des tickets pour un jeu de grattage a reçu la consigne d'imprimer 5 % de tickets gagnants. Ces tickets gagnants sont soigneusement mélangés avec les autres tickets qui eux sont perdants.

Lorsqu'une personne achète un ticket, on note : G l'événement : « le ticket est gagnant » ; P l'événement : « le ticket est perdant ».

Une personne achète trois tickets.

1°) Terminer et compléter l'arbre ci-contre.

(On indiquera les probabilités sur les branches) 2°) Quelle est la probabilité que les trois tickets achetés

soient gagnants.

3°) Justifier que la probabilité qu'un seul des trois tickets soit gagnant est égale à 0,135375.

4°) On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de tickets gagnants obtenus (sur les trois tickets achetés).

Donner la loi de probabilité de X.

Calculer l'espérance mathématique de X.

Dans les mêmes conditions que pour l'exercice 06 on suppose maintenant que la personne achète quatre tickets. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de tickets gagnants obtenus (sur les quatre tickets achetés).

Donner la loi de probabilité de X.

Calculer l'espérance mathématique de X.

Définition

On appelle schéma de Bernoulli, la répétition n fois, de manière indépendante, d'une épreuve de Bernoulli.

Si X est la variable aléatoire correspondant au nombre de succès à l'issue du schéma de Bernoulli, on appelle loi binomiale la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

Exemples

Dans les exercices 06 et 07, on a déterminé la loi binomiale correspondant à un schéma de Bernoulli, avec 3 répétitions et 4 répétitions.

Définition

On répète n fois, de manière indépendante, une épreuve de Bernoulli et on considère l'arbre correspondant à cette répétition. On appelle coefficient binomial

 

 

n

k le nombre de chemins de l'arbre réalisant k succès.

O

O O

O

O 0,73

0,73 0,73

G

P

G

(4)

Exemple

 

3 1 = 3

Un seul chemin réalise 0 succès : c'est EEE On a donc

 

 

3

0 = 1

 

4 2

Calculatrice TI : 4 math PRB Combinaison 2 entrer ou 4 MATH PRB nCr 2 ENTER Calculatrice Casio : 4 OPTN PROB nCr 2

Tableur : =COMBIN(4;2)

Algobox : ALGOBOX_COEFF_BINOMIAL(4,2) Exercice 09 (voir réponses et correction)

En utilisant AlgoBox, écrire un algorithme permettant de trouver les coefficients binomiaux

 

 

n k . L'algorithme devra fonctionner au moins pour 2 £n£ 10 .

On l'utilisera pour compléter le tableau suivant : k

n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 1 2 1 xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx

3 1 3 3 1 xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx

4 1 4 6 4 1 xxx xxx xxx xxx xxx xxx

5 xxx xxx xxx xxx xxx

6 xxx xxx xxx xxx

7 xxx xxx xxx

8 xxx xxx

9 xxx

10

Propriété

Dans un schéma de Bernoulli comportant n répétitions, si p est la probabilité du succès de l'épreuve de Bernoulli, la probabilité d'obtenir k succès (avec 0 £k£n) est : p(X =k) =

 

 

n

k p^k (1 - p)^n-k On dit que la loi binomiale a pour paramètres n et p. On la note B(n ; p).

S

E

S

S E

E

S

S E

E

(5)

Exemple

Une pièce de monnaie n'est pas équilibrée et la probabilité d'obtenir "Pile" est égale à 0,6.

10

7 = 120.

Donc p(X = 7) = 120 x 0,6⁷x 0,4³ on trouve alors p(X = 7) ≈ 0,21499 . Exercice 10 (voir réponses et correction)

Dans un schéma de Bernoulli comportant 9 répétitions la probabilité du succès est 0,65.

On appelle X le nombre de succès obtenus.

Déterminer p(X = 0) ; p(X = 3) ; p(X = 8) ; p(X £ 2).

On donnera dans chaque cas la valeur exacte puis une valeur approchée à 10^-6 près.

Remarque

Dans une feuille de tableur,

• on pourra obtenir la valeur de p(X = k) =

 

 

n

k p^k (1 - p)^n-k avec la formule =LOI.BINOMIALE(k;n;p;0) Par exemple =LOI.BINOMIALE(8;9;0,65;0) donnera la valeur 0,100373 (voir exercice 10)

• on pourra obtenir la valeur de p(X £ k) en utilisant la formule =LOI.BINOMIALE(k;n;p;1)

Par exemple =LOI.BINOMIALE(2;9;0,65;1) donnera la valeur 0,011182 (voir exercice 10) Exercice 11 (voir réponses et correction)

On jette 10 fois de suite une pièce parfaitement équilibrée. On appelle X le nombre de "Pile" obtenus.

1°) Donner la probabilité d'obtenir exactement 4 fois "Pile".

2°) a) Donner dans le tableau ci-dessous la loi de probabilité de X.

x_i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P(X =x_i)

b) Représenter cette loi de probabilité par un diagramme en bâtons.

c) Calculer l'espérance mathématique de X.

Un QCM (questionnaire à choix multiples) est composé de 8 questions indépendantes.

Pour chaque question quatre réponses sont proposées et une seule de ces quatre réponses est juste.

Un candidat répond au hasard aux 8 questions de ce QCM.

On appelle N le nombre de réponses justes qu'il obtient.

1°) Montrer que la loi de probabilité de N est une loi binomiale dont on donnera les paramètres.

2°) Calculer p(N = 8) et p(N = 4) puis en donner des valeurs approchées à 10^-6 près.

3°) Donner la loi de probabilité de N.

4°) Représenter cette loi de probabilité par un diagramme en bâtons.

5°) Calculer l'espérance mathématique de N.

6°) Comment doit-on noter ce QCM pour qu'un candidat qui répond au hasard ait en moyenne 0.

Propriété

L'espérance mathématique de la loi binomiale B(n ; p) de paramètres n et p est : E = n ^x p

Exemple

Si on répète 10 fois une épreuve de Bernoulli dans laquelle la probabilité du succès est 0,5 l'espérance mathématique du nombre de succès est : 10 x 0,5 = 5. (Résultat obtenu dans l'exercice 11)

Si on répète 8 fois une épreuve de Bernoulli dans laquelle la probabilité du succès est 0,25 l'espérance mathématique du nombre de succès est : 8 x 0,25 = 2. (Résultat obtenu dans l'exercice 12)

Remarque

On pourra aussi vérifier la formule de l'espérance sur les résultats des exercices 01 ; 03 ; 06 et 07.

(6)

On appelle "expérience" le fait de jeter 15 fois un dé cubique parfaitement équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On s'intéresse au nombre d'obtentions de la face n°6.

1°) Justifier que la probabilité d'obtenir 3 fois la face n°6 est à peu près égale à 0,236 2°) Créer un algorithme permettant de simuler cette expérience.

3°) Modifier l'algorithme précédent pour répéter 1 000 fois l'expérience et vérifier le résultat de la question 1.

Exercice 14 (voir réponses et correction) ( avec un tableur )

On appelle "expérience" le fait de jeter 15 fois un dé cubique parfaitement équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On s'intéresse au nombre d'obtentions de la face n°6.

En utilisant une feuille de tableur

1°) Entrer dans la plage A1:A16 les nombres entiers de 0 à 15.

2°) Dans la cellule B1 entrer la formule =COMBIN(15;A1) donnant le coefficient

 

6 par un diagramme à barres.

II Échantillonnage

0,516 - 1

10000 ; 0,516 + 1 10000

= [0,506 ; 0,526]

Imaginons que l'on observe des échantillons de 10000 personnes atteints d'une certaine maladie M.

Si l'on trouve que, pour seulement 80% des échantillons la proportion de femmes est dans l'intervalle [0,506 ; 0,526], alors on pourra penser que la répartions hommes/femmes pour les personnes atteintes de la maladie M n'est pas la même que la répartition hommes/femmes dans la population générale.

(7)

D'après l'Insee, la proportion de femmes dans la population française est d'environ 51,6 %.

Un observateur se place à la sortie d'une gare et note le sexe des personnes qui passent.

On admettra que la proportion de femmes dans la population qui sort de la gare est identique à la proportion de femmes dans la population française.

On peut assimiler le passage des personnes à un schéma de Bernoulli.

1°) Déterminer la probabilité que les quatre premières personnes qui sortent soient toutes des hommes.

2°) Déterminer la probabilité que, sur les dix premières personnes qui sortent, il y ait exactement cinq femmes.

3°) a) Compléter, en utilisant une calculatrice ou un ordinateur, le tableau suivant correspondant à la loi de probabilité du nombre N de femmes parmi les dix premières personnes qui sortent. (On donnera les résultats à 10^-4 près)

n_i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

p(N=n_i)

b) Justifier que p(N ∈[2 ; 8]) ³ 95 % .

Exercice 16 (voir réponses et correction) ( avec un tableur ) Une estimation donne 30 % des intentions de vote à une personne politique que l'on appellera A.

On interroge un échantillon de 50 personnes et on admet que les réponses successives correspondent à un schéma de Bernoulli. On note N le nombre de personnes interrogées qui déclarent vouloir voter pour A.

1°) Quels sont les paramètres de la loi binomiale associée à N.

2°) Calculer la probabilité que 4 personnes exactement sur les 50 déclarent vouloir voter pour A et en donner une valeur approchée.

3°) Calculer la probabilité que 45 personnes exactement sur les 50 déclarent vouloir voter pour A et en donner une valeur approchée.

Dans toute la suite on utilisera une feuille de tableur.

4°) Entrer dans la plage A1:A51 les nombres entiers de 0 à 50.

Dans la cellule B1 entrer la formule =LOI.BINOMIALE(A1;50;0,3;0) donnant la probabilité de l'événement (N = 0). (0 correspond à la valeur contenue dans la cellule A1)

Recopier cette formule sur la plage B2:B51 pour obtenir p(N = k) pour tout entier k avec 0 £ k £ 50 . On vérifiera les valeurs obtenues dans les questions 2 et 3.

5°) Dans la cellule C1 entrer la formule =B1 Dans la cellule C2 entrer la formule =C1+B2 Recopier cette formule vers le bas jusqu'en C51.

À quoi correspondent les valeurs contenues dans la colonne C ? 6°) Déterminer le plus petit entier a tel que p(N £ a) > 2,5 % .

7°) Déterminer le plus petit entier b tel que p(N £ b) ³ 97,5 % . 8°) Justifier que p(N ∈[a ; b] ) ³ 95 % .

9°) Donner l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% lorsqu'on interroge 50 personnes à propos de leur vote pour A. Comparer avec les valeurs précédentes.

Propriété

Soit X le nombre de succès dans la répétition d'une épreuve soumise à une loi binomiale B(n ; p).

Soit a le plus petit entier tel que p(X £ a) > 2,5 % . Soit b le plus petit entier tel que p(X £ b) ³ 97,5 % .

L'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence de réalisation du succès est l'intervalle

 

 

a n ; b

n .

Remarques

• Les valeurs de a et b définies ci-dessus sont telles que p(X ∈ [a ; b] ) ³ 95 % .

L'intervalle est déterminé en supprimant les valeurs les plus petites correspondant à une probabilité de 2,5 % et les valeurs les plus grandes correspondant à une probabilité de 2,5 %.

• Cet intervalle de fluctuation au seuil de 95% est à peu près le même que celui donné par

 

 

p- 1

n ; p+ 1

n mais il n'est pas centré en p.

• Si on voulait un intervalle de fluctuation au seuil de 90 %, on considèrerait : a' le plus petit entier tel que p(X £ a') > 5 % .

b' le plus petit entier tel que p(X £ b') ³ 95 % .

(8)

Exemple

On émet l'hypothèse qu'un caractère se présente dans une population avec une proportion de 0,516.

On observe, sur un échantillon de taille 50, la fréquence de ce caractère et on trouve f = 0,4.

On se pose la question de savoir si cette fréquence est "compatible" avec l'hypothèse émise.

On considère le diagramme à barres ci-dessous représentant la loi binomiale B(50 ; 0,516).

On peut justifier (en utilisant un fichier de tableur par exemple) que l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est obtenu avec a = 19 et b = 33, c'est donc l'intervalle

 

 

19 50 ; 33

50 = [0,38 ; 0,66].

Cet intervalle est obtenu en "rejetant" les valeurs inférieures à a (et correspondant à une probabilité de 2,5 %) et les valeurs supérieures à b (et correspondant à une probabilité de 2,5 %).

La fréquence observée f = 0,4 se trouve dans l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %, l'hypothèse selon laquelle le caractère se présente avec une proportion de 0,516 n'est pas rejetée.

Propriété

On considère l'hypothèse qu'un caractère se présente dans une population avec une proportion p.

On observe, sur un échantillon de taille n, la fréquence f de ce caractère.

On détermine l'intervalle

 

 

a n ; b

n de fluctuation au seuil de 95 % de la loi binomiale B(n ; p).

• Si la fréquence observée f ne se trouve pas dans

 

 

a n ; b

n , on rejette l'hypothèse (au risque de 5 %).

(c'est-à-dire que l'on considère que le caractère ne se présente pas avec une proportion p)

• Si la fréquence observée f se trouve dans

 

 

a n ; b

n , on ne rejette pas l'hypothèse.

(c'est-à-dire que l'on considère que le caractère peut se présenter avec une proportion p) Remarque

Plus la taille de l'échantillon sera grande, plus l'intervalle de fluctuation sera restreint.

Avec l'exemple ci-dessus, l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est :

• [0,38 ; 0,66] pour un échantillon de taille 50 ;

• [0,42 ; 0,61] pour un échantillon de taille 100 ;

• [0,485 ; 0,55] pour un échantillon de taille 1000.

a b

rejeté rejeté

accepté

(9)

Exercice 17 (voir réponses et correction) ( avec un tableur ) En utilisant une feuille de tableur, donner la loi binomiale B(50 ; 0,516).

Justifier que l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est l'intervalle [0,38 ; 0,66].

Comparer avec l'intervalle

 

 

p- 1

n ; p+ 1 n .

Exercice 18 (voir réponses et correction) ( avec un tableur )

Un constructeur affirme que la probabilité qu'un de ses téléviseurs ait une panne dans les 5 ans suivant son achat est égale à 0,12.

1°) Déterminer, en utilisant un tableur, l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence de panne pour un échantillon de 100 téléviseurs.

2°) Une association de consommateurs effectue un test sur 100 personnes ayant ce modèle de téléviseur.

Dans cet échantillon, 17 personnes ont eu une panne dans les 5 ans suivant leur achat. Que peut-on penser de l'affirmation du constructeur ?

3°) L'association pense maintenant effectuer un test sur 500 personnes. Déterminer, en utilisant un tableur ou un algorithme, l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence de panne pour un échantillon de 500 téléviseurs. Interpréter.

1°) Créer un algorithme permettant de trouver les entiers a et b correspondant à l'intervalle de fluctuation à 95 % pour une loi binomiale de paramètres n et p. (On prendra n < 70)

2°) En utilisant cet algorithme montrer que l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la loi binomiale B(50 ; 0,516) est l'intervalle [0,38 ; 0,66].

3°) En utilisant cet algorithme montrer que l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la loi binomiale B(60 ; 0,18) est l'intervalle [0,08 ; 0,29].

Une société fabrique des boîtes en plastique de deux couleurs : des vertes et des bleues.

La fabrication est automatisée et la machine est réglée à un niveau de 42 % de boîtes vertes et 58 % de boîtes bleues, correspondant à la demande du marché.

Un test est fait sur un échantillon de 180 boîtes prélevées au hasard.

1°) L'échantillon comporte autant de boîtes bleues que de boîtes vertes. La machine est-elle déréglée ? 2°) À partir de combien de boîtes bleues et de boîtes vertes obtenues sur un échantillon de 180 boîtes doit-

on penser que la machine s'est déréglée ?