LOI BINOMIALE
Je maîtrise les notions d’épreuve de Bernoulli et de schéma de Bernoulli.
Je sais gérer une situation mettant en jeu une loi de Bernoulli (loi de probabilité, espérance, variance, écart-type).
Je connais la définition de loi binomiale.
Je sais gérer une situation mettant en jeu une loi binomiale (loi de probabilité, espérance, variance, écart-type).
Je sais calculer 𝑝(𝑋 = 𝑘) à la main.
Je sais gérer 𝑝(𝑋 ≤ 𝑘), 𝑝(𝑋 > 𝑘), etc…
Je sais utiliser ma calculatrice.
Je maîtrise la notion d’intervalle de fluctuation.
Carte mentale :
LOI BINOMIALE
Ce que je trouve le plus difficile dans ce chapitre :
…
…
𝑝
𝑞 = 1 − 𝑝
𝑆
𝑆̅
Partie 1 : épreuve, loi et schéma de Bernoulli
a) Épreuve de Bernoulli Définition : épreuve de Bernoulli.
Soit 𝑝 un nombre réel appartenant à [0 ; 1].
On appelle épreuve de Bernoulli toute expérience aléatoire
n’admettant que deux issues, souvent appelées succès 𝑆 (de probabilité 𝑝) et échec 𝑆̅ (de probabilité 𝑞 = 1 − 𝑝).
Exemples :
• Lancer une pièce de monnaie équilibrée et savoir si pile est obtenu est une épreuve de Bernoulli de succès 𝑆 : « obtenir Pile » de probabilité 𝑝 =0,5 et d’échec 𝑆̅ : « obtenir Face ».
• Interroger une personne dans la rue, en France, et lui demander si elle est gauchère est une épreuve de Bernoulli de succès 𝑆 : « être gaucher » de probabilité 𝑝 ≈ 0,13.
b) Loi de Bernoulli Définition : loi de Bernoulli
On réalise une épreuve de Bernoulli dont le succès 𝑆 a pour probabilité 𝑝. Une variable aléatoire 𝑋 est une variable aléatoire de Bernoulli lorsqu’elle est à valeurs dans {0; 1} où la valeur 1 est attribuée au succès.
On dit alors que 𝑋 suit la loi de Bernoulli de paramètre 𝑝.
Autrement dit : 𝑝(𝑋 = 1) = 𝑝 et 𝑝(𝑋 = 0) = 1 − 𝑝.
On peut résumer la loi par le tableau suivant :
Propriété : espérance et écart-type de loi de Bernoulli
Soit 𝑋 une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre 𝑝.
L’espérance mathématique de 𝑋 est 𝐸(𝑋) = 𝑝.
La variance de 𝑋 est 𝑉(𝑋) = 𝑝(1 − 𝑝).
L’écart-type de 𝑋 est 𝜎(𝑋) = <𝑝(1 − 𝑝).
Démonstration : 𝐸(𝑋) = 𝑃(𝑋 = 1) × 1 + 𝑃(𝑋 = 0) × 0 = 𝑝 × 1 + (1 − 𝑝) × 0 = 𝑝
𝑉(𝑋) = 𝑃(𝑋 = 1) × @1 − 𝐸(𝑋)AB+ 𝑃(𝑋 = 0) × @0 − 𝐸(𝑋)AB = 𝑝(1 − 𝑝)B + (1 − 𝑝)(0 − 𝑝)B = 𝑝(1 − 𝑝)B + 𝑝B(1 − 𝑝) = 𝑝(1 − 𝑝)(1 − 𝑝 + 𝑝) = 𝑝(1 − 𝑝)
𝜎(𝑋) = <𝑉(𝑋) = <𝑝(1 − 𝑝)
Exemple : lorsqu’on appelle un service d’assistance téléphonique, la probabilité de parler à un conseiller est de 0,1 (sinon, la demande est traitée par une IA). On considère la variable aléatoire 𝑋 donnant le nombre de conseiller (0 ou 1) auquel on parle lors d’un appel.
𝑋 suit la loi de Bernoulli de paramètre 0,1 (voir tableau ci-contre).
Son espérance est 𝐸(𝑋) = 0,1.
Son écart-type est 𝜎(𝑋) = √0,1 × 0,9 = 0,3 c) Schéma de Bernoulli
Définition : schéma de Bernoulli.
Soit 𝑛 un nombre entier naturel non-nul.
Un schéma de Bernoulli est la répétition de 𝑛 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
𝑥G 1 0
𝑝G = 𝑝(𝑋 = 𝑥G) 𝑝 1 − 𝑝
𝑥G 1 0 𝑝G 0,1 0,9
Exemple : on considère une urne opaque dans laquelle ont été placées une boule verte et deux boules bleues, toutes indiscernables au toucher. On prélève une boule dans cette urne, on note sa couleur, on la remet dans l’urne et on répète l’expérience 4 fois. On s’intéresse aux boules bleues obtenues. Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli de succès 𝑆 : « la boule tirée est bleue » dont la probabilité est BI. Comme les 4 tirages se font avec remise, les tirages sont identiques et indépendants : on a bien un schéma de Bernoulli.
La probabilité de l’issue (𝐸; 𝑆; 𝐸; 𝐸), c’est-à-dire de ne tirer une boule bleue qu’au 2e tirage, est 𝑝(𝐸) × 𝑝(𝑆) × 𝑝(𝐸) × 𝑝(𝐸) =B
I× JK
ILI = B
MK≈ 0,025 (principe multiplicatif)
Remarque : on représente généralement un schéma de Bernoulli par un arbre pondéré et on y calcule les probabilités à l’aide de la formule des probabilités totales.
Partie 2 : loi binomiale
a) Définition
Définition : loi binomiale.
Soient 𝑛 ∈ ℕ∗ et 𝑝 ∈ ]0; 1[.
On considère le schéma de Bernoulli de probabilité 𝑝 à 𝑛 répétitions.
La loi de la variable aléatoire donnant le nombre de succès sur les 𝑛 répétitions est appelée loi binomiale de paramètres 𝑛 et 𝑝 et se note 𝐵(𝑛; 𝑝).
Exemples :
a) En reprenant l’exemple précédent, et en appelant 𝑋 le nombre de succès (« tirer une boule bleue »), la variable aléatoire 𝑋 suit la loi binomiale de paramètres 𝑛 = 4 et 𝑝 =BI. On note 𝑋 ↪ 𝐵 J4;BIL.
On a donc 𝑃(𝑋 = 1) =MKB.
b) On lance trois fois une pièce de monnaie truquée dont la probabilité de tomber sur Pile est 0,4, et on appelle 𝑋 la variable aléatoire donnant le nombre de Pile obtenus, on a : 𝑋 ↪ 𝐵(3; 0,4).
On peut déterminer les probabilités associées à 𝑋 grâce à un arbre.
Par exemple :
𝑃(𝑋 = 2) =0,4 × 0,4 × 0,6+0,4 × 0,6 × 0,4+0,6 × 0,4 × 0,4= 0,288 Propriété : calcul de probabilité
Soit 𝑋 une variable aléatoire suivant la loi 𝐵(𝑛; 𝑝).
Pour tout entier naturel 𝑘 ≤ 𝑛, on a : 𝑝(𝑋 = 𝑘) = J𝑛
𝑘L × 𝑝V× (1 − 𝑝)WXV.
Démonstration : sur un arbre représentant le schéma de Bernoulli associé à 𝑋, chaque chemin de 𝑛 branches correspondant à 𝑘 succès contient :
• 𝑘 branches dont les pondérations sont 𝑝.
• 𝑛 − 𝑘 branches dont les pondérations sont 1 − 𝑝.
Ainsi, la probabilité associée est 𝑝V× (1 − 𝑝)WXV.
De plus, le nombre de chemins correspondant à 𝑘 succès est égal au nombre de façons de placer 𝑘 pondérations de succès sur 𝑛 branches, soit J𝑛
𝑘L. Remarque : J𝑛
𝑘L est un coefficient binomial ou une combinaison.
C’est le nombre de façons de positionner 𝑘 éléments parmi 𝑛.
On a J𝑛 𝑘L =
W!
V!×(WXV)! où 𝑝! = 𝑝 × (𝑝 − 1) × (𝑝 − 2) × … × 3 × 2 × 1. On peut le déterminer à la calculatrice.
A noter que : J𝑛
0L = J𝑛
𝑛L = 1 J𝑛
1L = J 𝑛
𝑛 − 1L = 𝑛 J𝑛 𝑝L = J
𝑛 𝑛 − 𝑝L Exemple : en reprenant l’exemple précédent : 𝑃(𝑋 = 2) =J3
2L × 0,4B× 0,6IXB = 3 × 0,4B× 0,6 =0,288.
Remarque : pour calculer les probabilités liées à la loi binomiale, on va utiliser la formule précédente, et assister nos calculs grâce aux fonctions avancées des calculatrices scientifiques.
b) Espérance, variance et écart-type
Propriété : espérance et écart-type de loi binomiale
Soit 𝑋 une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres 𝑛 et 𝑝.
𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝 𝑉(𝑋) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝) 𝜎(𝑋) = <𝑛𝑝(1 − 𝑝).
Exemple : dans l’exemple précédent, 𝐸(𝑋) =3 × 0,4 = 1,2 et 𝜎(𝑋) =√3 × 0,4 × 0,6= √0,72≈ 0,85 Remarque : plus l’écart-type est petit, plus les valeurs proches de l’espérance sont probables.
c) Forme du diagramme en barres associé
Le diagramme en barres associé à une variable aléatoire 𝑋 suivant la loi 𝐵(𝑛; 𝑝) est en forme de cloche, approximativement centré sur 𝐸(𝑋).
Exemples :
𝑛 = 15 𝑒𝑡 𝑝 = 0,3 𝑛 = 15 𝑒𝑡 𝑝 = 0,8
𝑛 = 50 𝑒𝑡 𝑝 = 0,8
CASIO NUMWORKS TI
L’observation des différentes représentations graphiques permet de constater les comportements suivants :
• Un déplacement vers la droite du diagramme à 𝑛 fixé en fonction de la croissance de 𝑝.
On fait une constatation analogue si 𝑝 est fixé et 𝑛 augmente.
• Une allure symétrique « en cloche » des binomiales pour 𝑛 grand; la symétrie des coefficients binomiaux assure la parfaite symétrie de la représentation lorsque 𝑝 = 0,5.
• Une dispersion maximale lorsque 𝑝 = 0,5.
d) Intervalle de fluctuation
Dans ce paragraphe, on considère 𝑋 une variable aléatoire suivant une loi binomiale 𝛼 ∈ ]0; 1[ et 𝑎 et 𝑏 réels.
Définition : intervalle de fluctuation
Un intervalle [𝑎; 𝑏] tels que 𝑝(𝑋 ∈ [𝑎; 𝑏]) ≥ 1 − 𝛼 est appelé intervalle de fluctuation au seuil de 1 − 𝛼 (ou au risque de 𝛼) associé à 𝑋.
Exemple : 𝑋 ↪ 𝐵(43; 0,2) et 𝛼 = 0,05. Comme 𝑝(𝑋 ≤ 13) ≈ 0,964 ≥ 0,95, alors [0; 13] est un intervalle de fluctuation au seuil de 1 − 𝛼 = 0,95 associé à 𝑋 : on est sûr à au moins 95% qu’il n’y aura pas plus de 13 succès sur les 43 répétitions.
Remarque : lorsqu’on cherche à trouver un intervalle de fluctuation associé à une loi binomiale de paramètres 𝑛 et 𝑝, suivant le contexte, on peut être amené à chercher des intervalles de la forme [0; 𝑏], [𝑎; 𝑛] ou [𝑎; 𝑏]
« centré » de préférence les moins grands possibles.
Propriété : intervalle de fluctuation centré.
Si 𝑝(𝑋 < 𝑎) ≤dB et 𝑝(𝑋 > 𝑏) ≤dB, alors [𝑎; 𝑏] est un intervalle de fluctuation au seuil de 1 − 𝛼 associé à 𝑋.
Dans ce cas, on dit que c’est un intervalle de fluctuation centré (ou bilatéral).
Démonstration : il faut montrer que 𝑝(𝑋 < 𝑎) ≤dB et 𝑝(𝑋 > 𝑏) ≤ dB implique 𝑝(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) ≤ 1 − 𝛼.
Exemple : on reprend l’exemple avec 𝑋 ↪ 𝐵(43; 0,2) et 𝛼 = 0,05.
Alors dB = 0,025.
[4; 14] est un intervalle de fluctuation au seuil de 0,95 associé à 𝑋 car 𝑝(𝑋 < 4) ≈ 0,08 < 0,025 et 𝑝(𝑋 > 14) ≈ 0,016 < 0,025 : on est donc sûr à au moins 95% d’avoir entre 4 et 14 succès sur 43 répétitions.
Propriété : intervalle de fluctuation centré particulier.
Soit [𝑎; 𝑏] l’intervalle tel que 𝑎 et 𝑏 soient les plus petits entiers vérifiant respectivement 𝑝(𝑋 ≤ 𝑎) >dB et 𝑝(𝑋 ≤ 𝑏) ≤ 1 −dB.
Alors [𝑎; 𝑏] est un intervalle de fluctuation centré au seuil de 1 − 𝛼 associé à 𝑋.
Remarque : c’est cette dernière propriété que l’on utilise en pratique pour trouver un intervalle de fluctuation centré à un seuil donné.
