LOI BINOMIALE I.

Loi binomiale 1STMG cours 1/4

LOI BINOMIALE

I. Définition.

On considère un schéma de Bernoulli de paramètres n et p. On note X la variable aléatoire correspondant au nombre de succès. On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p.

Exemple 1 : Une usine fabrique des maillots de sport. 90% des maillots sont sans défaut.

On choisit 3 maillots au hasard et on note X le nombre de maillots sans défaut. La production étant importante, on assimile les tirages à des tirages avec remise.

1. X suit-elle une loi binomiale ? Justifier et, si oui, donner ses paramètres.

2. Quelles sont les valeurs prises par X ?

3. A l aide d un arbre, donner la probabilité de chacune des valeurs que peut prendre X.

Exemple 2 : On lance 15 fois un dé à 6 faces équilibré. On note X le nombre de 5 obtenus.

1. La variable aléatoire X suit-elle une loi binomiale ? Justifier et, si oui, donner ses paramètres.

2. Quelles sont les valeurs prises par X ?

II. Représentation graphique.

On représente la loi binomiale par un diagramme en bâtons, en indiquant les valeurs de X (nombre de succès) en abscisses et les probabilités correspondantes en ordonnées.

On reprend au dos les exemples du I.

Loi binomiale 1STMG cours 2/4

Exemple 1. Exemple 2.

III. Utilisation de la calculatrice.

Pour calculer des probabilités dans le cadre d une loi binomiale, on utilise la calculatrice : CASIO :

- Avant chaque calcul, on se place dans le menu Stat puis on choisit DIST puis BINM

On reprend l exemple 2. X suit donc la loi binomiale de paramètres n 15 et p 1 6 . 1. Déterminer la probabilité d obtenir exactement quatre 5.

On cherche donc ……….

- On choisit Bpd (touche F1)

- On vérifie que Data est sur Variable (sinon on modifie avec F2)

- On entre les valeurs de X, n et p comme ci-contre : - On appuie sur EXE jusqu à obtenir le résultat :

Ainsi, P (X 4) 0,141. La probabilité d obtenir exactement quatre 5 en lançant 15 fois un dé est environ 0,141.

2. Déterminer la probabilité d obtenir trois 5 ou moins.

On cherche donc ……….

- On choisit Bcd (touche F2)

- On vérifie que Data est sur Variable (sinon on modifie avec F2) - On entre les valeurs de X, n et p comme ci-contre :

- On appuie sur EXE jusqu à obtenir le résultat :

Ainsi, P (X 3) 0,768. La probabilité d obtenir trois 5 ou moins en lançant 15 fois un dé est environ 0,768.

3. Déterminer la probabilité d obtenir au moins huit 5.

On cherche donc ………. .

La calculatrice ne donne pas directement le résultat. On utilise l événement contraire.

P( X 8) 1 P( X 7)

On détermine P( X 7) comme dans le 2.

On obtient P( X 7) 0,999 et donc P (X 8) 1 0,999, c'est-à-dire P( X 8) 0,001. La probabilité d obtenir au moins huit 5 en lançant 15 fois un dé est environ 0,001.

0 0,1 0,2 0,3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Loi binomiale 1STMG cours 3/4 IV. Simulation d une loi binomiale, espérance.

1. Simulations.

On peut simuler une loi binomiale à l aide d un algorithme ou à l aide d un tableur.

Exemple : Un opérateur de téléphonie mobile contacte ses clients pour les inciter à changer de forfait.

D après les résultats du mois précédent, 12% des abonnés acceptent un nouveau forfait.

Léna vient d être embauchée. Elle appelle chaque jour 130 abonnés. On suppose que les appels sont indépendants et que, pour chaque abonné, la probabilité qu il accepte un nouveau forfait est 0,12.

On note X le nombre d abonnés acceptant le nouveau forfait sur les 130 contactés.

1. Justifier que X suit une loi binomiale et donner ses paramètres.

2. On simule 1 000 jours de travail de Léna avec un tableur. En moyenne, combien de clients acceptent de changer de forfait chaque jour ?

3. On simule un jour de travail de Léna avec l algorithme suivant : S prend la valeur 0

Pour k allant de 1 à 130

A prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 100 Si A 12

S prend la valeur S 1 Fin Si

Fin Pour Afficher S

a. Que représentent k, S et A ?

b. On fait tourner 1 000 fois cet algorithme et on fait la moyenne du nombre de personnes qui changent

d abonnement chaque jour. Qu obtient-on ?

Loi binomiale 1STMG cours 4/4 2. Espérance d une loi binomiale.

Lorsqu on simule un très grand nombre de fois un schéma de Bernoulli de paramètres n et p, la moyenne du nombre de succès par schéma est proche d un nombre appelé ………

de la loi binomiale. Cette espérance se note E (X ) et on a E( X) ………..

On reprend l exemple précédent :

Exercice type sur le chapitre :

Dans une région pétrolifère, la probabilité qu’un forage conduise à une nappe de pétrole est 1

10 , soit 0,1.

On effectue 25 forages successifs indépendants et on note X la variable aléatoire correspondant au nombre de forages conduisant à une nappe de pétrole.

1. Justifier que X suit une loi binomiale et donner ses paramètres.

2. Compléter l algorithme ci-dessous, qui simule ce schéma de Bernoulli : S prend la valeur ………..

Pour k allant de 1 à …………..

A prend une valeur aléatoire entière entre 1 et ………

Si A ……

S prend la valeur S 1 Fin Si

Fin Pour

Afficher ………

Dans la suite, on arrondira au millième.

3. Déterminer la probabilité qu’exactement 4 forages conduisent à des nappes de pétrole.

4. Calculer à la calculatrice P( X 7).

5. Déterminer la probabilité qu’au moins 8 forages conduisent à une nappe de pétrole.

6. Déterminer l’espérance de X. Interpréter par une phrase.