Exercices sur la loi binomiale
Exercice 1.
L’arbre pondéré suivant modélise la répétition d’une expérience aléatoire :
Soit X la variable aléatoire associée au nombre de réalisations de A.
1) Quelle loi suit X ?
2) Calculer P (X = 2) et P (X = 1).
Exercice 2.
Un panier contient 20 fraises et 30 framboises. On prend simultanément dans sa main trois fruits de ce panier. On note X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de fraises obtenues. X suit-elle une loi binomiale ? Si oui, donner ses paramètres.
Exercice 3.
Lors d’une épidémie chez des bovins, on s’est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle. Un test est mis au point. La probabilité pour que le test soit positif est 0,058.
On choisit trois animaux au hasard. La taille de ce troupeau permet de considérer les épreuves comme indépendantes et d’assimiler les tirages à des tirages avec remise. On note X la variable aléatoire qui, aux trois animaux choisis, associe le nombre d’animaux ayant un test positif.
1) Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? 2) Calculer P (X = 0) et P (X = 1).
2) Quelle est la probabilité pour qu’au moins un des trois animaux ait un test positif ?
Exercice 4.
Un bijoutier propose des perles de culture pour fabriquer des bijoux. On sait que dans son stock, 60 % des perles sont argentées. Pour une création de bijou original, le bijoutier choisit dans son stock quatre perles au hasard et de manière indépendante. On admet que le nombre de perles est suffisamment grand pour que le choix d’une perle soit assimilé à un tirage avec remise. On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque choix de quatre perles, associe le nombre de perles argentées.
1) Quelle est la loi de probabilité de X ?
2) Calculer la probabilité qu’aucune des quatre perles choisies ne soit argentée.
3) Calculer la probabilité qu’il y ait exactement deux perles argentées parmi les quatre perles choisies.
Exercice 5.
Les probabilités demandées seront arrondies à 10-3 près.
Dans un lycée comprenant 1000 élèves, il y a 300 élèves membres de la section sportive.
On souhaite constituer une délégation de dix élèves. Le choix des dix élèves est assimilé à des tirages successifs
indépendants. Soit X la variable aléatoire donnant le nombre d’élèves membre de la section sportive dans cette délégation.
1) Justifier que la loi de probabilité de X est une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2) Déterminer la probabilité d’obtenir dans la délégation exactement cinq membres de la section sportive.
3) Déterminer la probabilité d’obtenir dans la délégation au moins un membre de la section sportive.
