Exercice sur la loi binomiale
I Réunion juin 2009
Une usine produit des sacs. Chaque sac fabriqué peut présenter deux défauts : le défauta et le défaut b. Un sac est dit défectueux s’il présente au moins l’un des deux défauts.
1. Dans cette question les probabilités demandées seront données avec leurs valeurs décimales exactes.
On prélève un sac au hasard dans la production d’une journée.
On note A l’ évènement « le sac présente le dé- fauta» etB I’évènement « le sac présente le dé- fautb». Les probabilités des évènements AetB sont respectivementP(A)=0, 02 etP(B)=0, 01 ; on suppose que ces deux évènements sont in- dépendants.
(a) Calculer la probabilité de l’évènement C
« le sac prélevé présente le défaut a et le défautb».
(b) Calculer la probabilité de l’évènement D
« le sac est défectueux ».
(c) Calculer la probabilité de l’évènement E
« le sac ne présente aucun défaut ».
(d) Sachant que le sac présente le défaut a, quelle est la probabilité qu’il présente aussi le défautb?
2. On suppose que la probabilité (arrondie au cen- tième) qu’un sac soit défectueux est égale à 0, 03.
On prélève au hasard un échantillon de 100 sacs dans la production d’une journée. La produc- tion est suffisamment importante pour que l’on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 sacs. On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 100 sacs, associe le nombre de sacs défectueux.
(a) Justifier que la variable aléatoireXsuit une loi binomiale dont on précisera les para- mètres.
(b) Quelle est la probabilité de l’évènement
« au moins un sac est défectueux » ? On ar- rondira cette probabilité au centième. In- terpréter ce résultat.
(c) Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoireX.
Interpréter ce résultat dans le cadre de l’énoncé.
II Amérique du sud, novembre 2009
On considère un questionnaire comportant cinq questions.
Pour chacune des cinq questions posées, trois propositions de réponses sont faites (A,B etC), une seule d’entre elles étant exacte.
Un candidat répond à toutes les questions posées en écrivant un mot réponse de cinq lettres.
Par exemple, le mot «B B A AC» signifie que le can- didat a répondu B aux première et deuxième ques- tions, A aux troisième et quatrième questions etC à la cinquième question.
1. (a) Combien y-a-t’il de mots-réponses pos- sible à ce questionnaire ?
(b) On suppose que le candidat répond au ha- sard à chacune des cinq questions de ce questionnaire.
Calculer la probabilité des évènements suivants :
E: « le candidat a exactement une réponse exacte ».
F : « le candidat n’a aucune réponse exacte ».
G: « le mot-réponse du candidat est un pa- lindrome » (On précise qu’un palindrome est un mot pouvant se lire indifférem- ment de gauche à droite ou de droite à gauche : par exemple, «B AC AB » est un palindrome).
2. Un professeur décide de soumettre ce question- naire à ses 28 élèves en leur demandant de ré- pondre au hasard à chacune des cinq questions de ce questionnaire.
On désigne par X le nombre d’élèves dont le mot-réponse ne comporte aucune réponse exacte.
(a) Justifier que la variable aléatoireX suit la loi binomiale de paramètresn=28 etp=
32 243.
(b) Calculer la probabilité, arrondie à 10−2, qu’au plus un élève n’ait fourni que des ré- ponses fausses.
Correction
I Réunion juin 2009
1. (a) CommeAetB sont indépendants,p(C)= p(A∩B)=p(A)×p(B)
p(C)=0, 02×0, 01=0,000 2
(b) On ap(D)=p(A∪B)=p(A)+p(B)−p(A∩ B)=0, 02+0, 01−0,000 2=0,029 8.
(c) On a E = D d’où p(E) = 1−p(D) = 1− 0,029 8=0,970 2.
(d) On a pA(B) = p(A∩B)
p(A) = 0,000 2
0, 02 =0, 01.
(en fait p(A∩B)
p(A) = p(A)×p(B)
p(A) =p(B)).
2. (a) On a manifestement une épreuve de Ber- noulli avec deux issues (sac sans défaut, sac défectueux).
La variable aléatoireX suit donc une loi bi- nomiale de paramètres
n=100 etp=0, 03.
(b) On sait que la probabilité que k, 0Ék É 100 sacs soient défectueux est :
p(X =k)= Ã100
k
!
0, 03k(1−0, 03)100−k L’évènement contraire de l’évènement « au moins un sac est défectueux » est « il n’y a pas de sac défectueux qui a une probabi- lité de
Ã100 0
!
0, 030×0, 97100=0, 97100≈0,047 6.
La probabilité d’avoir au moins un sac dé- fectueux est donc égale à
1−0, 97100 ≈ 0, 952 ≈ 0, 95 (au centième près).
Interprétation : pour 100 sacs prélevés il y a à peu près 95 chances sur 100 d’avoir au moins un sac défectueux.
(c) Pour cette loi binomiale on a E=n×p= 100×0, 03=3.
Interprétation : sur 100 sacs prélevés il y a en moyenne 3 sacs défectueux.
II Amérique du sud, novembre 2009
1. a. Trois réponses possibles pour chacune des cinq questions : il y a donc 35=243 mots possibles.
b. L’élève repète 5 fois l’expérience de Bernouilli : obtenir la bonne réponse avec une probabi- lité de 1
3; ces expériences sont indépendantes, donc la variable aléatoireZ donnant le nombre de réponses exactes suit une loi binomiale de paramètresn=5 etp=1
3. Donc p(Z = 1)=
Ã5 1
!µ 1 3
¶1µ 1−1
3
¶5−1
=5×1 3× 24
34= 80
243=p(E).
De même, la probabilité qu’il n’ait aucune ré- ponse juste est :
p(Z = 0) = 50 µ1
3
¶0µ 1−1
3
¶5−0
= 25
35 = 32 243 = p(F).
Un palindrome est de la forme abcba : les trois premiers peuvent être quelconques, mais le quatrième choix doit être le même que le se- cond et le dernier le même que le premier : la probabilité est donc égale à 1×1×1×1
3×1 3 = 1
9=p(G).
2. a. D’après la question 1. un élève a la probabilité égale à 32
243 de n’avoir aucune réponse exacte.
Les élèves répondant de façon indépendante les uns des autres, la variableX suit une loi bi- nomiale de paramètresn=28 et de probabilité p= 32
243.
b. La probabilité cherchée est égale à :
p(X É 1) = p(X = 0) + p(X = 1) = Ã28
0
!µ 32 243
¶0µ 1− 32
243
¶28−0
+
Ã28 1
!µ 32 243
¶1µ 1− 32
243
¶28−1
= µ211
243
¶28
+28× 32 243× µ211
243
¶27
≈0,100 6≈0, 10 au centième près.
