Facult´e des Sciences et Techniques de Limoges Ann´ee 2005-2006
Statistiques S2 Feuille d’exercices 5
Exercice I. Approximation de la loi binomiale
1. On consid`ere la loi binomiale B(n, p). Par quelle loi peut-on l’approximer lorsque p est petit ? Lorsque p n’est pas trop voisin de 0 ou 1 ? On pr´ecisera les param`etres des lois choisies. Quelle est l’esp´erance ? La variance ?
2. Application : On consid`ere une variable al´eatoireXqui suit la loi binomialeB(100; 0,1). D´eterminez la probabilit´ep(X= 10).
3. Mˆeme question avec la loi binomialeB(100; 0,4).
4. Mˆeme question avec la loi binomialeB(100; 0,99).
Exercice II. ´Ev´enement rare
On suppose qu’un ´ev´enement se produit en moyenne une fois tous les 50 ans. On consid`ere la variable al´eatoireX qui indique le nombre d’´ev´enements par an.
1. Par quelle loi peut-on mod´eliser ce ph´enom`ene ?
2. Quelle est la probabilit´e que cet ´ev´enement se produise au moins une fois l’ann´ee prochaine ?
Exercice III.
Une entreprise de production de graines veut v´erifier la facult´e germinative d’une esp`ece, c’est-`a- dire la probabilit´e p pour qu’une graine prise au hasard dans la production germe.
Sur un ´echantillon de 400 graines, on observe 330 germinations. Quel est l’intervalle de confiance de p au risque 5% ? au risque 1% ?
Exercice IV.
On a mesur´e le poids de raisin par souche sur 10 souches prises au hasard dans une vigne. On a obtenu les r´esultats suivants (en kg) : 2,4 ; 3,2 ; 3,6 ; 4,1 ; 4,3 ; 4,7 ; 5,4 ; 5,9 ; 6,5 ; 6,9.
1. D´eterminez une estimation ponctuelle non biais´ee de la moyenne et de la variance de la population dont les souches sont extraites.
2. Donnez un intervalle de confiance de la moyenne de la population au risque de de 0,05, en supposant que le poids de raisin d’une souche suit une loi normale au niveau de la vigne.
Exercice V.
A la veille d’une consultation ´electorale comportant 2 candidats, on a interrog´e 100 ´electeurs constituant un ´echantillon repr´esentatif. 58 d’entre eux ont d´eclar´e avoir l’intention de voter pour le candidat Dupont.
1. Indiquer, avec une probabilit´e de 95% entre quelles limites se situe la proportion de l’´electorat favorable `a Dupont au moment du sondage.
Peut-on en d´eduire qu’il serait ´elu au coefficient de s´ecurit´e de 95% ?
2. Avec une mˆeme fr´equence observ´ee d’´electeurs favorables `a Dupont, quelle devrait ˆetre la taille minimum de l’´echantillon pour pouvoir affirmer au risque de 5% que Dupont sera ´elu ?
