Transform´ ee en ondelettes et fr´ equence instantan´ ee

Chapitre 2

Transform´ ee en ondelettes et fr´ equence instantan´ ee

2.1 Introduction

Dans le cadre de ce travail, nous avons d´evelopp´e des m´ethodes d’ana- lyse bas´ees sur la d´ecomposition du signal de parole en temps et en fr´equence au moyen de transform´ees en ondelettes continues, et sur l’estimation de la fr´equence instantan´ee des diff´erentes composantes du signal. Ces concepts sont introduits dans ce chapitre.

2.2 Transform´ ee en ondelettes

Les premi`eres th´eories et m´ethodes d’analyse de signaux ont ´et´e d´evelopp´ees pour des signaux stationnaires, c’est-`a-dire donc les caract´eristiques ne varient pas dans le temps.

Des m´ethodes d’analyse de signaux non-stationnaires sont apparues dans les ann´ees 1940 chez des physiciens th´eoriciens comme Gabor [31]. Afin de tenir compte du caract`ere variable dans le temps des signaux, un fenˆetrage de l’axe temporel est utilis´e. Les signaux sont alors d´ecompos´es en une somme d’atomes temps-fr´equence, c’est-`a-dire de fonctions localis´ees en temps et en fr´equence.

On a d´evelopp´e ainsi la transform´ee de Fourier `a court terme, pour laquelle les atomes temps-fr´equence sont obtenus par le fenˆetrage de sinuso¨ıdes, avec une dur´ee de fenˆetre constante quelle que soit la fr´equence analys´ee.

Dans les ann´ees 1970, Jean Morlet, ing´enieur en g´eophysique, a eu l’id´ee d’utiliser des atomes temps-fr´equence dont la dur´ee est variable en fonction de la fr´equence [70]. Il savait que les impulsions modul´ees envoy´ees dans le sol avaient une dur´ee trop grande `a haute fr´equence pour pouvoir distinguer des r´eflexions de couches g´eologiques l´eg`erement espac´ees. Au lieu d’´emettre des trains d’impulsions de dur´ees ´egales, il pensa donc `a envoyer des trains d’impulsions plus courts aux hautes fr´equences, en dilatant ou contractant une fonction de base, appel´ee ondelette. La forme de l’ondelette est donc identique

21

pour toutes les fr´equences, et pas la dur´ee. Cette approche avait des points communs avec le travail de Alex Grossmann, physicien th´eoricien, sur les ´etats quantiques coh´erents. Ensemble, ils formalis`erent le concept de transform´ee en ondelettes continue [37].

Aujourd’hui, les transform´ees en ondelettes sont utilis´ees dans de nombreuses applications telles que le d´ebruitage, la d´etection d’´ev`enements, l’analyse temps- fr´equence,...

2.2.1 Ondelettes

La transform´ee en ondelettes consiste donc `a d´ecomposer un signal en une famille de fonctions localis´ees en temps et en fr´equence, appel´ees ondelettes. Une famille d’ondelettes est construite en dilatant (ou contractant) et en translatant une ondelette de base, appel´ee ondelette-m`ere.

Il existe de nombreuses formes d’ondelettes, le choix de l’ondelette optimale d´epend de l’application envisag´ee. La figure 2.1 montre quelques exemples d’on- delettes.

(a) ondelette de Haar (b) ondelette de Daubechies 4

(c) ondelette chapeau mexicain (d) ondelette de Morlet

Fig. 2.1 – Exemples d’ondelettes.

2.2.1.1 Crit` eres

Pour ˆetre accept´ee comme ondelette, une fonction ψ(t) doit satisfaire les crit`eres math´ematiques suivants :

1. une ondelette doit avoir une ´energie finie : E =

! ^∞

−∞

| ψ(t) | ² dt < ∞ (2.1)

2.2. TRANSFORM´ EE EN ONDELETTES 23

2. Si ˆ ψ(f ) est la transform´ee de Fourier de ψ(t), c.-`a-d.

ψ(f ˆ ) =

! ^∞

−∞

ψ(t)e ^{− i2πf t} dt, (2.2) alors la condition suivante doit ˆetre v´erifi´ee :

C _g =

! ^∞

0

| ψ(f ˆ ) | ²

f df < ∞ . (2.3)

Ceci implique qu’une ondelette a une moyenne nulle.

3. Les ondelettes complexes doivent satisfaire un crit`ere suppl´ementaire : elles doivent ˆetre des fonctions analytiques, c’est-`a-dire que leur transform´ee de Fourier doit ˆetre r´eelle et nulle pour les fr´equences n´egatives.

−5 0 5

0

temps (s)

ψ(t)

−1 −0.5 0 0.5 1

fréquence (Hz) EF(f)

Fig. 2.2 – Ondelette chapeau mexicain et spectre d’´energie associ´e.

Les ondelettes sont choisies de telle sorte que leurs ´energies spectrales soit concentr´ees. Les ondelettes sont donc des filtres passe-bande. Ceci est illustr´e `a la figure 2.2, qui montre l’ondelette chapeau mexicain et son spectre d’´energie associ´e E _F (f ) = | ψ(f ˆ ) | ² .

2.2.1.2 Ondelette de Morlet complexe

L’ondelette que nous utilisons dans ce travail est l’ondelette de Morlet com- plexe [75]. Les ondelettes complexes ont une transform´ee de Fourier nulle pour les fr´equences n´egatives. Leur int´erˆet est qu’elles permettent de s´eparer les com- posantes du signal en module et en phase. L’ondelette de Morlet est l’ondelette complexe la plus fr´equemment utilis´ee.

L’ondelette de Morlet complexe est obtenue en modulant une exponentielle

complexe par une enveloppe gaussienne. Cette forme gaussienne est la raison

pour laquelle l’ondelette de Morlet est appr´eci´ee. En effet, elle permet de mini-

miser le produit des ´etalements temporel et fr´equentiel de l’ondelette, et donc

de maximiser la pr´ecision de la localisation de l’´energie dans le plan temps

-fr´equence. Elle est d´efinie par :

ψ _ω

(t) = C e ^{− iω}

^t

"

e ⁻

t2 2σ2

t

− √ 2e ⁻

2 c σ

2 t 4

e ⁻

t2 σ2 t

#

. (2.4)

Le facteur de normalisation C est d´etermin´e de sorte que $ + ∞

−∞ | ψ _ω

(t) | ² dt soit ´egal `a 1. La fr´equence centrale f _c = ^ω _{2 π}

est la fr´equence d’oscillation de l’ondelette. Le param`etre σ <sub>t</sub> fixe sa d´ecroissante. Le produit ω <sub>c</sub> σ <sub>t</sub> fixe la forme de l’ondelette et doit ˆetre constant pour une famille d’ondelettes. Il fixe le com- promis entre l’´etalement temporel et l’´etalement fr´equentiel de l’ondelette pour une fr´equence centrale donn´ee. L’effet de ce param`etre est illustr´e `a la figure 2.3 qui montre trois ondelettes (avec ω <sub>c</sub> = 2π) et la partie positive de leurs spectres, pour trois valeurs du param`etre ω _c σ _t .

−5 0 5

ω _c σ t =2.5

0 1 2 3 4 5

−5 0 5

ω _c σ t = 5

0 1 2 3 4 5

−5 0 5

temps ω _c σ

t = 10

0 1 2 3 4 5

fréquence

Fig. 2.3 – Ondelette de Morlet complexe avec ω _c σ _t ´egal `a 2.5, 5 et 10 (partie r´eelle en trait plein, partie imaginaire en trait pointill´e) et spectre associ´e.

Le deuxi`eme terme dans la parenth`ese est un terme de correction qui permet de satisfaire le crit`ere de moyenne temporelle nulle de l’ondelette. Il devient n´egligeable lorsque ω <sub>c</sub> σ <sub>t</sub> est sup´erieur `a 1. Lorsque le terme de correction est n´egligeable, l’´equation de l’ondelette peut s’´ecrire sous la forme suivante :

ψ _ω

(t) = C e ^{− iω}

^t e ⁻

t2 2σ2

t

. (2.5)

La transform´ee de Fourier de l’ondelette de Morlet sans terme de correction est donn´ee par :

ψ ˆ _f

(f ) = π

. √ 2.σ _t .e

−

2σ2 f

. ( f − f

)

, (2.6)

o` u σ _f = _{2 πσ} ¹

.

2.2. TRANSFORM´ EE EN ONDELETTES 25

2.2.2 Transform´ ee en ondelettes

Le principe de la transform´ee en ondelettes est de d´ecomposer le signal en une famille d’ondelettes d’´echelles et de positions diff´erentes. Ces ondelettes sont obtenues en dilatant ou contractant une ondelette-m`ere et en la transla- tant le long de l’axe temporel. La figure 2.4 montre l’ondelette de Morlet pour diff´erentes ´echelles et diff´erentes positions. Les param`etres a et b fixent la dilata- tion/contraction et la position de l’ondelette. Les versions dilat´ees et translat´ees de l’ondelette-m`ere sont not´ees ψ[(t − b)/a].

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

−0.01 0 0.01

temps

a = 1/2

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

−0.02 0 0.02

temps

a = 1/4

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

−0.01 0 0.01

temps

a = 1

(a) Changement d’´ echelle.

−5 0 5 10 15

temps

(b) Changement de position.

Fig. 2.4 – Ondelette de Morlet pour diff´erentes ´echelles et positions.

La transform´ee en ondelettes d’un signal x(t) est d´efinie par T (a, b) =

! + ∞

−∞

x (t) 1

√ a ψ ^∗

% t − b a

&

dt (2.7)

o` u ∗ indique le complexe conjugu´e.

La transform´ee en ondelettes inverse permet de retrouver le signal de d´epart

`a partir de la d´ecomposition en ondelettes par l’op´eration suivante : x(t) = 1

C _g

! + ∞

−∞

! + ∞

0

T (a, b)ψ

% t − b a

&

dadb

a ² . (2.8)

La transform´ee en ondelettes peut ´egalement ˆetre calcul´ee par l’interm´ediaire de transform´ees de Fourier :

T(a, b) =

! + ∞

−∞

ˆ

x(f) ˆ ψ _a,b ^∗ (f )df, (2.9) o` u

ψ ˆ _a,b ^∗ (f ) = √

a ψ ˆ ^∗ (af )e ^{i (2 πf ) b} . (2.10)

Fig. 2.5 – Transform´ee en ondelettes [2].

La figure 2.5 montre les caract´eristiques du signal mises en ´evidence pour

une ondelette donn´ee. ´ Etant donn´e que la transform´ee de Fourier de l’ondelette

est concentr´ee sur l’axe des fr´equences, seules les composantes du signal dans

cette bande de fr´equences sont prises en compte pour le calcul de la transform´ee

en ondelettes pour une taille d’ondelette donn´ee.

2.2. TRANSFORM´ EE EN ONDELETTES 27

2.2.2.1 Transform´ ees continues et transform´ ees discr` etes

Dans les ´equations pr´esent´ees ci-dessus, les param`etres a et b prennent une infinit´e de valeurs. On parle alors de transform´ee en ondelettes continue. Il est possible de limiter le nombre de coefficients sans perdre d’information sur le signal de d´epart et de remplacer l’int´egrale de l’´equation 2.8 par une somme infinie. On parle alors de transform´ee en ondelettes discr`ete. Le choix classique d’´echantillonnage des param`etres est une discr´etisation logarithmique pour a, avec b proportionnel `a a. Les ondelettes ont alors la forme

ψ _m,n = 1 ' a ^m ₀ ψ

% t − nb 0 a ^m ₀ a ^m ₀

&

. (2.11)

Les transform´ees en ondelettes continues et discr`etes ont des applications diff´erentes. La transform´ee continue permet de localiser plus pr´ecis´ement des

´ev`enements temporellement et fr´equentiellement. Elle est donc plutˆ ot utilis´ee pour analyser des transitoires ou des ´ev`enements temporels. La transform´ee discr`ete par contre permet un calcul efficace et est utilis´ee pour de la compression ou du d´ebruitage. Dans le cadre de ce travail, nous utiliserons uniquement des transform´ees en ondelettes continues.

2.2.2.2 Transform´ ee en ondelettes en fr´ equence et en temps

Nous avons pr´ec´edemment pr´esent´e les familles d’ondelettes en fonction de l’´echelle a et de la position b. Comme le spectre de Fourier d’une ondelette est celui d’un filtre passe-bande, on peut caract´eriser l’ondelette par sa fr´equence centrale plutˆ ot que par son ´echelle. La fr´equence centrale d’une ondelette est inversement proportionnelle `a l’´echelle de celle-ci. On peut donc red´efinir la transform´ee en ondelettes avec la substitution f = ^f _a

o` u f 0 est la fr´equence centrale de l’ondelette-m`ere.

2.2.3 Energie bas´ ee sur la transform´ ee en ondelettes

Comme pour une transform´ee de Fourier `a court terme, la transform´ee en ondelettes permet d’estimer la densit´e d’´energie du signal pour chaque ´echelle a et instant t :

E(f, t) = | T (f, t) | ² C _g f 0

. (2.12)

o` u C _g est la constante d’admissibilit´e de l’ondelette. La repr´esentation graphique de E(f, t) est appel´ee un scalogramme.

L’´energie totale E du signal peut alors ˆetre obtenue par la relation : E =

! + ∞

−∞

! + ∞

0

E(f, t)df dt. (2.13)

2.2.4 Transform´ ee en ondelettes et transform´ ee de Fourier

`

a court-terme

La transform´ee en ondelettes et la transform´ee de Fourier `a court-terme permettent toutes deux d’estimer la densit´e d’´energie d’un signal en fonction du temps et de la fr´equence. La diff´erence entre ces deux transform´ees r´eside dans la fa¸con dont on passe d’une fr´equence `a l’autre : pour la transform´ee de Fourier

`a court-terme, la longueur de la fenˆetre est conserv´ee et l’onde pr´esente plus ou moins d’oscillations en fonction de la fr´equence, tandis que pour la transform´ee en ondelettes, la forme de l’ondelette est conserv´ee et la longueur de la fenˆetre varie en fonction de la fr´equence.

Pour la transform´ee de Fourier `a court-terme, les r´esolutions temporelles et fr´equentielles ne varient pas en fonction du temps et de la fr´equence. Pour la transform´ee en ondelettes par contre, lorsque l’ondelette est plus courte et que sa fr´equence centrale est plus ´elev´ee, la r´esolution temporelle est meilleure et la r´esolution fr´equentielle est moins bonne. L’inverse se produit lorsque la fr´equence centrale diminue : dans ce cas, la r´esolution temporelle est d´egrad´ee et c’est la r´esolution fr´equentielle qui est meilleure. Ceci est li´e au principe d’in- certitude d’Heisenberg, qui donne une limite minimale au produit des r´esolutions temporelles et fr´equentielles d’une fonction. Ceci est illustr´e aux figures 2.6 et 2.7, qui montrent les r´esolutions temporelles et fr´equentielles de trois atomes temps-fr´equence pour la transform´ee en ondelette et la transform´ee de Fourier

`a court terme respectivement.

2.2. TRANSFORM´ EE EN ONDELETTES 29

Fig. 2.6 – R´esolutions temporelle et fr´equentielle de la transform´ee en onde-

lettes, illustr´e avec une ondelette de Morlet [2].

Fig. 2.7 – R´esolutions temporelle et fr´equentielle de la transform´ee de Fourier

`a court terme [2].

2.3. FR´ EQUENCE INSTANTAN´ EE 31

2.3 Fr´ equence instantan´ ee

Un signal p´eriodique est caract´eris´e par sa fr´equence, qui est d´efinie comme le nombre de cycles par seconde. Afin de pouvoir ´etudier des signaux quasi- p´eriodiques, dont l’amplitude et les dur´ees des cycles varient l´eg`erement dans le temps, des th´eories ont ´et´e d´evelopp´ees pour d´efinir une fr´equence instantan´ee, qui d´ecrit la p´eriodicit´e locale du signal.

2.3.1 D´ efinitions

2.3.1.1 Fr´ equence de Fourier

La fr´equence est d´efinie de fa¸con univoque pour un signal stationnaire. Par exemple, pour un mouvement harmonique simple, c’est-`a-dire un d´eplacement sinuso¨ıdal, l’acc´el´eration est proportionnelle au d´eplacement et dirig´ee vers la position d’´equilibre. C’est le cas illustr´e `a la figure 2.8 de la projection sur un diam`etre d’un corps en mouvement sur un cercle avec une vitesse uniforme. Les

´equations du d´eplacement, de la vitesse et de l’acc´el´eration de la projection sont obtenues par :

s(t) = a 0 cos θ = a 0 cos ωt, (2.14)

s ^$ (t) = − a 0 ω sin ωt, (2.15)

s ^$$ (t) = − a 0 ω ² cos ωt (2.16)

= − ω ² s(t). (2.17)

La fr´equence est donn´ee par f = ₂ ^ω _π . Le d´eplacement est donn´e par la partie r´eelle de

z(t) = a 0 e ^{j 2 πf t} . (2.18) La fr´equence correspond au pic du module de la transform´ee de Fourier du d´eplacement.

Pour un mouvement p´eriodique plus complexe, la transform´ee de Fourier permet de le ramener `a une somme pond´er´ee d’oscillations harmoniques, dont la fr´equence est donc parfaitement univoque.

Fig. 2.8 – Mouvement harmonique.

Fig. 2.9 – Enveloppe a(t) et phase instantan´ee φ(t) d’un signal modul´e en fr´equence et en amplitude.

2.3.1.2 Fr´ equence instantan´ ee spectrale

Dans de nombreuses applications, le signal que l’on souhaite analyser ne pr´esente pas une p´eriodicit´e parfaite. L’amplitude et la longueur des cycles varient l´eg`erement au cours du temps. On souhaite cependant caract´eriser la p´eriodicit´e locale du signal.

Les signaux de ce type sont `a bande ´etroite et peuvent ˆetre d´ecrits comme une modulation en phase et en amplitude en g´en´eralisant l’´equation 2.18 :

z(t) = a(t)e ^{jφ ( t )} , (2.19) f _i (t) = 1

2π dφ(t)

dt . (2.20)

La d´ecomposition du signal en enveloppe a(t) et fr´equence instantan´ee f _i (t) illustr´e `a la figure 2.9 n’est pas unique. En effet, il y a une infinit´e de mani`eres de choisir a(t) et φ(t) pour d´ecomposer le signal z(t). On peut par exemple ´ecrire le signal sous la forme a(t)e ^{j 2 πf} ou a 0 e ^{jφ ( t )} .

Parmi tous les choix possibles de a(t) et f _i (t), il y a une paire (a(t), f _i (t)) id´eale, qui est la consigne du signal s’il a ´et´e synth´etis´e, ou la succession des fr´equences du pic de la transform´ee de Fourier du signal `a bande ´etroite, si on pouvait la calculer sur des intervalles infiniment petits. Dans la suite de ce chapitre, cette fr´equence instantan´ee id´eale est appel´ee fr´equence instantan´ee spectrale. C’est cette fr´equence instantan´ee spectrale que l’on souhaite retrouver en analysant le signal.

2.3.1.3 Fr´ equence instantan´ ee

Nous pr´esentons ci-dessous la proc´edure th´eorique classique permettant de calculer l’enveloppe et la fr´equence instantan´ee d’un signal de fa¸con unique. Une fa¸con unique de construire un signal complexe z(t) `a partir d’un signal r´eel a

´et´e propos´ee par Gabor [31]. Ce signal complexe est connu sous le nom de signal

analytique et est obtenu en prenant la transform´ee de Fourier du signal r´eel,

2.3. FR´ EQUENCE INSTANTAN´ EE 33 en annulant toutes ses composantes n´egatives et en multipliant les composantes positives par deux. Dans le domaine temporel, cette op´eration est d´ecrite au moyen de la transform´ee de Hilbert :

z _a (t) = s(t) + jH [s(t)] (2.21)

= a(t)e ^{jφ ( t )} . (2.22)

Ville a propos´e de d´efinir la fr´equence instantan´ee d’un signal exprim´e sous la forme a(t) cos(φ(t)) de fa¸con unique `a partir de son signal analytique associ´e par l’´equation :

f _i (t) = 1 2π

d

dt [arg z _a (t)]. (2.23)

2.3.1.4 Interpr´ etation de la fr´ equence instantan´ ee

Id´ealement, la fr´equence instantan´ee d´ecrite ci-dessus devrait ˆetre ´egale `a la fr´equence instantan´ee spectrale du signal analys´e. Cependant, ce n’est pas toujours le cas. La fr´equence instantan´ee ne peut pas toujours ˆetre interpr´et´ee comme ´etant ´egale `a la fr´equence instantan´ee spectrale car le signal analytique n’est pas obligatoirement le bon choix de d´ecomposition de la modulation du signal entre la variation de l’enveloppe et celle de la fr´equence instantan´ee parmi l’infinit´e de choix possibles. Pour que la d´efinition de la fr´equence instantan´ee bas´ee sur le signal analytique puisse ˆetre interpr´et´ee comme ´etant ´egale `a la fr´equence instantan´ee spectrale, il faut que les deux conditions suivantes soient remplies.

Premi`erement, il faut que le signal analys´e ait une composante pseudo- sinuso¨ıdale unique. Si ce n’est pas le cas, la fr´equence instantan´ee estim´ee varie dans le temps en fonction des amplitudes et fr´equences instantan´ees spectrales des diff´erentes composantes et aucune interpr´etation physique n’existe.

La deuxi`eme condition est qu’il existe une fr´equence limite f 0 telle que le spectre de Fourier de la modulation de l’enveloppe T F [a(t)] soit limit´e `a la r´egion

− f 0 < f < f 0 et que le spectre de la modulation en phase T F [cos(φ(t))] n’existe qu’en dehors de cette r´egion. Il faut donc que le signal analys´e soit le plus proche possible d’un signal `a bande ´etroite. Le signal analytique s´electionne la haute fr´equence comme modulation de la phase et la basse fr´equence comme modula- tion de l’amplitude. Par cons´equent, pour pouvoir analyser des signaux `a plu- sieurs composantes pseudo-sinuso¨ıdales au moyen de signaux analytiques, il faut pr´ealablement s´eparer les composantes avant de pouvoir calculer la fr´equence instantan´ee de chaque composante.

L’estimation de la fr´equence instantan´ee spectrale par la fr´equence instan- tan´ee obtenue au moyen de la transform´ee de Hilbert ne peut donc pas ˆetre appliqu´ee directement pour des signaux qui ne sont pas form´e d’une composante pseudo-harmonique unique, ou pour lesquels la s´eparation entre les spectres de l’enveloppe et de la modulation en phase n’est pas suffisamment claire. D’autres m´ethodes d’estimation de la (des) fr´equence(s) instantan´ee(s) spectrale(s) sont utilis´ees pour analyser ces signaux.

Dans la section 2.3.2, nous pr´esentons d’autres m´ethodes d’estimation de la

fr´equence instantan´ee spectrale pour un signal `a une seule composante pseudo-

sinuso¨ıdale. Dans la section 2.3.3, nous montrons comment certaines de ces

techniques peuvent ˆetre g´en´eralis´ees pour un signal `a plusieurs composantes pseudo-sinuso¨ıdales.

2.3.2 Estimation de la fr´ equence instantan´ ee pour un si- gnal ` a composante unique

De nombreuses m´ethodes plus ou moins complexes existent pour estimer la fr´equence instantan´ee. Pour une partie de ces algorithmes, la phase est obtenue d’abord, et il faut en d´eduire la fr´equence instantan´ee. Dans cette section, nous pr´esentons d’abord les m´ethodes num´eriques permettant d’estimer la fr´equence instantan´ee `a partir de la phase, puis nous pr´esentons les m´ethodes d’estimation de la fr´equence instantan´ee param´etriques et non-param´etriques.

2.3.2.1 Approximations de la d´ erivation de la phase

On ne peut pas calculer directement la fr´equence instantan´ee d’un signal discret `a partir de l’´equation 2.23 car il n’est pas possible de d´eriver un signal discret. Il faut donc approcher la fr´equence instantan´ee par des estimations qui d´ependent de la mani`ere dont l’op´eration de d´erivation est r´ealis´ee en temps discret.

L’approche la plus simple est de calculer des diff´erences finies entre les pha- ses de l’´echantillon `a l’instant consid´er´e et de l’´echantillon pr´ec´edant ou suivant, ou entre les phases de l’´echantillon suivant l’instant consid´er´e et de l’´echantillon le pr´ec´edant :

f ˆ + [n] = 1

2 π (φ[n + 1] − φ[n]) (2.24) f ˆ − [n] = 1

2 π (φ[n] − φ[n − 1]) (2.25)

f ˆ _c [n] = 1

4 π (φ[n + 1] − φ[n − 1]) (2.26)

Pour obtenir des r´esultats plus pr´ecis, on peut tenir compte d’un nombre plus important d’´echantillons. Si la phase peut ˆetre d´ecrite par un polynˆ ome :

φ[n] =

p

(

i =0

a _i n ⁱ , (2.27)

la fr´equence instantan´ee est obtenue par la d´eriv´ee de ce polynˆ ome : f ˆ _i [n] = 1

2 π

p

(

i =1

i a _i n ^{i − 1} (2.28)

Un estimateur de fr´equence instantan´ee d’ordre q peut ˆetre d´efini par : f ˆ [n] = 1

2 π

q/ 2

(

k= − q/2

b _k φ[n + k] (2.29)

2.3. FR´ EQUENCE INSTANTAN´ EE 35 o` u q est un entier pair, ce qui permet de ne pas introduire de d´elai de groupe.

Les coefficients b _k remplissent la condition ˆ f [n] = ˆ f _i [n] ou :

q/2

(

k = − q/ 2

b _k φ[n + k] =

p

(

i =0

i a _i n ^{i − 1} (2.30)

Voici les coefficients pour les premiers estimateurs d’ordre pair, au facteur

1

2 π pr`es [7] :

ordre coefficients

2 − ¹ 2 0 ¹ ₂

4 ₁₂ ¹ − ² 3 0 ² ₃ − 12 ¹

6 − 60 ¹ 3

20 − ³ 4 0 ³ ₄ − 20 ³ 1 60

Une version liss´ee de l’estimateur de la diff´erence de phase est obtenue en filtrant le diff´erenciateur 2.24 avec une fenˆetre de lissage [52]. L’estimateur est d´ecrit par

f ˆ _i (n) = 1 2π

N − 2

(

n=0

h(n) [φ(n + 1) − φ(n)], (2.31)

o` u h(n) est la fenˆetre de lissage donn´ee par : h(n) = 1.5N

N ² − 1 )

1 −

"

n − (N/2 − 1) N/2

# 2 *

. (2.32)

2.3.2.2 M´ ethodes param´ etriques d’estimation de la fr´ equence ins- tantan´ ee

Estimation bas´ ee sur la pr´ ediction lin´ eaire Une estimation de la fr´equen- ce instantan´ee peut ˆetre obtenue sur base d’un mod`ele de pr´ediction lin´eaire du signal de parole. Le pic du spectre bas´e sur un mod`ele de pr´ediction lin´eaire ` a court terme donne alors la fr´equence instantan´ee. Les param`etres du mod`ele de pr´ediction peuvent ˆetre calcul´es de fa¸con r´ecursive en utilisant un algorithme adaptatif, tel que l’algorithme (LM S ) et l’algorithme (RLS) [40].

Estimation bas´ ee sur une mod´ elisation polynomiale de la phase Cette technique consiste `a introduire une contrainte sur l’´evolution de la phase en la mod´elisant au moyen d’un polynˆ ome. Le degr´e du polynˆ ome peut ˆetre choisi en fonction de l’application : si on s’attend `a une modulation lente du signal, on peut choisir un degr´e faible, tandis que si on s’attend `a des variations rapides, on prendra un degr´e ´elev´e. Pour ce type d’estimation, le signal est mod´elis´e sous la forme :

z(n) = A(n)e ^{jφ ( n )} + '(n), (2.33)

avec

φ(n) = a 0 + a 1 n + a2n ² + a 3 n ³ + ... + a _p n ^p =

p

(

k=0

a _k n ^k , (2.34) o` u A(n) est l’amplitude, φ(n) est la phase, '(n) est un bruit complexe, et p est le degr´e du polynˆ ome.

Pour estimer les coefficients a _k , la minimisation de l’erreur quadratique moyenne entre le signal estim´e et le signal observ´e donne un probl`eme non- lin´eaire. Il peut ˆetre lin´earis´e en d´eveloppant la phase [95]. On peut ´egalement extrapoler la technique d’estimation du maximum de vraisemblance `a un signal non-stationnaire [81].

Une fois la phase estim´ee, on peut en d´eduire la fr´equence instantan´ee : f ˆ _i (n) = 1

2π d φ(n) ˆ

dn = 1 2π

p

(

k =1

kˆ a _k n ^{k − 1} , (2.35) o` u ˆ a _k est l’estimation du coefficient a _k .

On peut trouver le degr´e optimal du polynˆ ome en commen¸cant avec un degr´e faible et en comparant les erreurs quadratiques moyennes obtenues lorsqu’on augmente le degr´e d’une unit´e jusqu’`a ce que la diff´erence entre les erreurs soit n´egligeable.

2.3.2.3 M´ ethodes non-param´ etriques d’estimation de la fr´ equence instantan´ ee

Estimation bas´ ee sur les passages par z´ ero Une autre fa¸con d’estimer la fr´equence instantan´ee pour un signal `a bande ´etroite est de compter le nombre de passages par z´ero du signal. Pour un signal qui peut ˆetre consid´er´e comme stationnaire dans chaque fenˆetre d’analyse, la fr´equence instantan´ee est obtenue par :

f ˆ = 1

2T _z , (2.36)

ou

f ˆ = Z

2 , (2.37)

o` u T _z est l’intervalle entre deux passages par z´eros, et Z est le taux de passage par z´eros dans la fenˆetre.

Estimation bas´ ee sur une distribution temps-fr´ equence Des distribu-

tions temps-fr´equence sont utilis´ees pour suivre l’´evolution du contenu fr´equen-

tiel d’un signal au cours du temps. Des exemples de distributions temps-fr´equen-

ce sont des repr´esentations lin´eaires comme la transform´ee de Fourier `a court

terme [25, 31] et la transform´ee en ondelettes [70], ou des repr´esentations bi-

lin´eaires comme la distribution de Wigner-Ville [96, 98] ou la distribution de

Choi-Williams [12].

2.3. FR´ EQUENCE INSTANTAN´ EE 37 Pour des signaux `a composante unique, la fr´equence instantan´ee peut ˆetre estim´ee de plusieurs mani`eres. En effet, pour une distribution temps-fr´equence complexe, on dispose d’informations dans le module et dans la phase de la distribution. Au voisinage de la fr´equence instantan´ee du signal, on observe que l’amplitude de la distribution pr´esente un maximum, que la phase des coefficients de la distribution temps-fr´equence varie de fa¸con cyclique `a une fr´equence proche de la fr´equence instantan´ee du signal, et que par cons´equent la d´eriv´ee de la phase des coefficients est proche de la fr´equence instantan´ee du signal.

Pour chaque instant, la fr´equence instantan´ee peut ˆetre estim´ee par – le maximum du module de la distribution [11],

– le point fixe de la d´eriv´ee temporelle de la phase de la distribution temps- fr´equence [24, 51],

– le moment du premier ordre, pour certains types de distributions [8].

Les figures 2.10 et 2.11 illustrent les deux premi`eres m´ethodes d’estimation au moyen d’une transform´ee en ondelettes continue. L’ondelette-m`ere est l’on- delette de Morlet complexe, avec le param`etre ω _c σ _t = 5. Le signal analys´e est une sinuso¨ıde modul´ee en phase. La fr´equence instantan´ee th´eorique est donn´ee par :

f _i (t) = dφ(t)

dt = 100 + 10cos(2π5t). (2.38)

La figure 2.10 montre le signal, le module et la phase des coefficients de la transform´ee en ondelettes utilisant une ondelette de Morlet complexe, ainsi que la d´eriv´ee de la phase des coefficients par rapport au temps. Pour chaque fr´equence analysante f _c , la d´eriv´ee de la phase des coefficients `a un instant t _i ,

d

dt φ(f _c , t _i ), est approxim´ee en prenant en compte les phases des six coefficients voisins φ(f _c , t), avec t _i − 3 < t < t _i + 3. Dans le graphique du module des coefficients, les modules ´elev´es sont repr´esent´ees en rouge, les modules faibles en bleu. Pour les repr´esentations de la phase et de la d´eriv´ee temporelle de la phase des coefficients, les ´echelles de couleur montrent les valeurs de la phase ou de sa d´eriv´ee auxquelles correspondent les couleurs. Les courbes blanches correspondent `a la fr´equence instantan´ee th´eorique.

La figure 2.11 montre le module et la phase des coefficients de la transform´ee en ondelettes, ainsi que la d´eriv´ee de la phase des coefficients par rapport au temps, en fonction de la fr´equence analysante, pour l’instant t=0.1 s, pour lequel la fr´equence instantan´ee th´eorique est ´egale `a 90Hz. La droite verte marque la bissectrice.

L’estimation de la fr´equence instantan´ee par le maximum du module des co- efficients de la transform´ee en ondelettes est illustr´ee sur le deuxi`eme graphique de la figure 2.10, qui repr´esente le module des coefficients, et sur lequel on voit que la courbe de la fr´equence instantan´ee th´eorique suit la crˆete du module.

Celle-ci peut donc ˆetre utilis´ee pour estimer la fr´equence instantan´ee du signal.

L’estimation de la fr´equence instantan´ee au moyen du point fixe de la d´eriv´ee

temporelle de la phase des coefficients de la transform´ee en ondelette est illustr´e

dans le troisi`eme graphique de la figure 2.11, qui montre la d´eriv´ee temporelle

de la phase des coefficients en fonction de la fr´equence analysante. Les points

fixes d´esignent les fr´equences analysantes pour lesquelles la d´eriv´ee temporelle

0 0.05 0.1 0.15 0.2

−1 0 1

signal

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 50

100 150

f

(Hz)

Module

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 50

100 150

f

(Hz)

Phase (rad)

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 50

100 150

temps (s) f

(Hz)

Dérivée de la phase par rapport au temps (Hz)

−2 0 2

90 100 110

Fig. 2.10 – Illustration de l’estimation de la fr´equence instantan´ee sur base

d’une transform´ee en ondelettes : Signal, module et phase des coefficients de la

transform´ee en ondelettes, et d´eriv´ee de la phase des coefficients par rapport au

temps. Dans le graphique du module des coefficients, les modules ´elev´es sont

repr´esent´es en rouge, les modules faibles en bleu. Pour les repr´esentations de

la phase et de la d´eriv´ee temporelle de la phase des coefficients, les ´echelles de

couleur montrent les valeurs de la phase ou de sa d´eriv´ee auxquelles corres-

pondent les couleurs. Les courbes blanches correspondent `a la fr´equence instan-

tan´ee th´eorique.

2.3. FR´ EQUENCE INSTANTAN´ EE 39

50 100 150

50 100 150

fréquence analysante (Hz) Dérivée de la phase par rapport au temps (Hz)

50 100 150

instant t= 0.1s (f

= 90Hz)

Module

Fig. 2.11 – Illustration de l’estimation de la fr´equence instantan´ee sur base d’une transform´ee en ondelettes : module et phase des coefficients de la transform´ee en ondelettes, et d´eriv´ee de la phase des coefficients par rapport au temps, en fonction de la fr´equence analysante, pour l’instant t=0.1 s, pour lequel la fr´equence instantan´ee th´eorique est ´egale `a 90Hz. La droite verte marque la bissectrice.

de la phase est ´egale `a la fr´equence analysante. Sur la figure, il y a un seul point fixe, lorsque la fr´equence analysante est ´egale `a 90 Hz, ce qui est la fr´equence instantan´ee th´eorique pour cet instant. On peut noter que la d´eriv´ee de la phase par rapport au temps est proche de la fr´equence instantan´ee th´eorique pour une large bande de fr´equences.

2.3.3 Estimation de FI pour un signal ` a plusieurs compo- santes pseudo-harmoniques

Dans de nombreuses applications, l’´energie des signaux ne se situe pas dans une bande ´etroite unique, mais dans plusieurs bandes. Les m´ethodes d´ecrites ci-dessus doivent donc ˆetre adapt´ees.

Une condition plus ou moins contraignante selon la m´ethode pour pou- voir dissocier plusieurs composantes pseudo-harmoniques, est que les bandes de fr´equences des composantes ne soient pas trop proches.

Les m´ethodes bas´ees sur la d´eriv´ee de la phase du signal analytique ou les passages par z´ero n´ecessitent un filtrage pr´ealable du signal isolant les diff´erentes composantes pseudo-harmoniques. Ceci implique une connaissance a priori du signal et du nombre de ses composantes pseudo-harmoniques.

La m´ethode bas´ee sur le mod`ele de pr´ediction lin´eaire du signal peut ˆetre

´etendue `a la recherche des fr´equences instantan´ees de plusieurs composantes

pseudo-harmoniques en recherchant tous les maxima du spectre associ´e aux coefficients de pr´ediction.

Les m´ethodes bas´ees sur la mod´elisation polynomiale de la phase peuvent ˆetre g´en´eralis´ees facilement si le nombre de composantes pseudo-harmoniques est connu. Si le nombre de composantes pseudo-harmoniques n’est pas connu, on peut impl´ementer un processus it´eratif augmentant progressivement le nombre de composantes pseudo-harmoniques jusqu’`a ce que l’erreur moyenne de l’esti- mation ne diminue plus.

Les m´ethodes bas´ees sur une distribution temps-fr´equence bilin´eaire comme la distribution de Wigner-Ville ne sont pas optimales pour l’estimation des fr´equences instantan´ees de signaux avec plusieurs composantes pseudo-harmoni- ques [24]. En effet, des artefacts apparaissent suite `a l’interaction entre diff´eren- tes composantes pseudo-harmoniques du signal, mˆeme lorsque les fr´equences de ces composantes pseudo-harmoniques sont ´eloign´ees.

Les m´ethodes bas´ees sur une distribution temps-fr´equence lin´eaire peuvent ˆetre appliqu´ees aux signaux `a plusieurs composantes pseudo-harmoniques, pour autant que la bande passante de l’atome temps-fr´equence `a la fr´equence ins- tantan´ee de chaque composante pseudo-harmonique isole cette composante. En effet, les r´esidus d’autres pics fr´equentiels du signal perturbent l’estimation de la fr´equence instantan´ee de la composante pseudo-harmonique souhait´ee. La diff´erence majeure entre la transform´ee de Fourier et la transform´ee en onde- lettes est que les r´esolutions temporelles et fr´equentielles sont fixes pour toutes les fr´equences analysantes pour la transform´ee de Fourier, tandis qu’elles sont variables pour la transform´ee en ondelettes, une ondelette de fr´equence analy- sante plus ´elev´ee ayant un support temporel plus court et un support fr´equentiel plus long.

Pour un signal pr´esentant un spectre compos´e d’harmoniques, on peut s’at-

tendre au comportement suivant lorsque la bande passante effective de l’atome

temps-fr´equence est inf´erieure `a la fr´equence fondamentale. Lorsque la fr´equence

centrale est proche de la fr´equence d’une harmonique et que la largeur de bande

de l’ondelette est faible par rapport `a la fr´equence fondamentale, le signal filtr´e

par l’ondelette pr´esente une seule composante significative. La fr´equence ins-

tantan´ee estim´ee est alors proche de la fr´equence de l’harmonique et peut

ˆetre interpr´et´ee de fa¸con fiable. Par contre, lorsque la fr´equence centrale est

situ´ee entre deux harmoniques, le signal filtr´e pr´esente deux r´esidus de compo-

santes fr´equentielles d’amplitude non n´egligeable l’une par rapport `a l’autre, la

fr´equence instantan´ee obtenue prendra donc des valeurs non interpr´etables en

terme d’enveloppe et de phase instantan´ee. En pratique, on aura une amplitude

faible et une phase au comportement erratique.

2.4. APPLICATION ` A UN SIGNAL DE PAROLE 41

2.4 Application ` a un signal de parole

Dans ce chapitre, nous avons montr´e que la transform´ee en ondelettes per- met d’obtenir une distribution temps-fr´equence de l’´energie d’un signal. Nous avons ´egalement vu qu’`a partir de cette distribution, les fr´equences instantan´ees des composantes d’un signal peuvent ˆetre estim´ees, pour autant que l’´ecart fr´equentiel entre les composantes soit suffisant. Dans cette section, nous appli- quons une transform´ee en ondelettes `a un signal de parole r´eel et montrons qu’il est possible d’estimer la fr´equence phonatoire et les fr´equences des formants `a partir de celle-ci.

Dans cette section, nous illustrons la transform´ee en ondelettes continue (TOC) de la voyelle [a] repr´esent´ee `a la figure 2.12. L’ondelette-m`ere est l’onde- lette de Morlet complexe avec le param`etre ω <sub>c</sub> σ <sub>t</sub> ´egal `a 5 ou `a 10. L’ondelette- m`ere avec ω _c σ _t = 5 a un support temporel deux fois plus court que l’ondelette avec ω _c σ _t = 10. Comme nous utilisons une ondelette complexe, les coefficients de la transform´ee en ondelettes sont ´egalement complexes. Les figures 2.13 et 2.14 montrent les modules, les phases (entre − π et π) et les fr´equences ins- tantan´ees des coefficients de la transform´ee en ondelettes continue du signal de la figure 2.12, en fonction du temps et de la fr´equence centrale de l’ondelette analysante. La fr´equence instantan´ee des coefficients de la TOC est obtenue en d´erivant la phase des coefficients de la TOC par rapport au temps, pour chaque fr´equence centrale de l’ondelette. Pour chaque fr´equence centrale f _c d’ondelette, la d´eriv´ee de la phase est approxim´ee en prenant en compte les phases des six coefficients voisins φ(f _c , t), avec t _i − 3 < t < t _i + 3. Dans le graphique du module des coefficients de la TOC, les modules ´elev´es sont repr´esent´ees en rouge, les modules faibles en bleu. Pour les repr´esentations de la phase et de la fr´equence instantan´ee, les ´echelles de couleur montrent les valeurs de phase ou de fr´equence instantan´ee auxquelles correspondent les couleurs.

Les graphiques obtenus pour les deux param`etres ω <sub>c</sub> σ <sub>t</sub> refl`etent la s´electivit´e en temps et en fr´equence des ondelettes : lorsque le param`etre est plus petit, la dispersion temporelle de l’ondelette est plus faible, les coefficients de la trans- form´ee en ondelettes sont plus variables sur l’axe temporel et ils pr´esentent des raies verticales fines. D’autre part, lorsque le param`etre est grand, les d´etails temporels sont liss´es et on distingue mieux les fr´equences remarquables.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

temps (s)

Fig. 2.12 – Signal de parole.

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 500

1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

temps (s)

fréquence (Hz)

Module

−0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16

1000 2000 3000 4000

temps (s)

fréquence (Hz)

Phase (rad)

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

temps (s)

fréquence (Hz)

fréquence instantanée (Hz)

0 1000 2000 3000 4000

−3

−2

−1 0 1 2 3

Fig. 2.13 – Module, phase et d´eriv´ee temporelle de la phase des coefficients de

la transform´ee en ondelettes continue, avec une ondelette de Morlet complexe

de param`etre ω _c σ _t = 5, en fonction du temps et de la fr´equence centrale de l’on-

delette analysante. Les modules ´elev´es sont repr´esent´ees en rouge, les modules

faibles en bleu. Pour les repr´esentations de la phase et de la fr´equence instan-

tan´ee, les ´echelles de couleur montrent les valeurs de phase ou de fr´equence

instantan´ee auxquelles correspondent les couleurs.

2.4. APPLICATION ` A UN SIGNAL DE PAROLE 43

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

temps (s)

fréquence (Hz)

Module

−0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16

1000 2000 3000 4000

temps (s)

fréquence (Hz)

Phase (rad)

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

temps (s)

fréquence (Hz)

fréquence instantanée (Hz)

0 1000 2000 3000 4000

−3

−2

−1 0 1 2 3

Fig. 2.14 – Module, phase et d´eriv´ee temporelle de la phase des coefficients de

la transform´ee en ondelettes continue, avec une ondelette de Morlet complexe de

param`etre ω _c σ _t = 10, en fonction du temps et de la fr´equence centrale de l’on-

delette analysante. Les modules ´elev´es sont repr´esent´ees en rouge, les modules

faibles en bleu. Pour les repr´esentations de la phase et de la fr´equence instan-

tan´ee, les ´echelles de couleur montrent les valeurs de phase ou de fr´equence

instantan´ee auxquelles correspondent les couleurs.

Les caract´eristiques qui peuvent ˆetre mises en ´evidence au moyen d’une transform´ee en ondelettes sont pr´esent´ees ci-dessous.

Dans les graphiques repr´esentant le module des coefficients des TOC, la bande d’´energie significative dont la fr´equence est la plus basse se situe autour de 120Hz, ce qui correspond `a la fr´equence phonatoire. Pour l’ondelette avec ω <sub>c</sub> σ <sub>t</sub> = 10 qui a un support temporel plus long, on peut voir des bandes d’´energies aux fr´equences des six premi`eres harmoniques. Pour l’ondelette avec ω _c σ _t = 5, on distingue seulement la deuxi`eme harmonique. Cette diff´erence s’explique par la longueur des ondelettes aux fr´equences d’analyse consid´er´ees : si la dur´ee effective de l’ondelette est inf´erieure `a la dur´ee du cycle glottique, la transform´ee n’est pas sensible `a la p´eriodicit´e du signal et les fr´equences multiples de la fr´equence phonatoire ne sont pas privil´egi´ees.

Pour des fr´equences plus ´elev´ees, lorsque le spectre n’est plus d´ecompos´e en harmoniques, on observe des fr´equences privil´egi´ees, qui correspondent aux fr´equences des formants du signal de parole. Pour ω _c σ _t = 5, on distingue le premier formant autour de 700Hz. Le maximum du pic est plus difficile `a iden- tifier pour ω <sub>c</sub> σ <sub>t</sub> = 10 car, dans ce cas, le spectre est encore d´ecompos´e en harmoniques. Pour d´etecter la fr´equence du premier formant sans ˆetre biais´e par les fr´equences harmoniques de la fr´equence phonatoire, il faut donc choisir un param`etre ω _c σ _t suffisamment petit. Cette condition revient `a prendre une ondelette suffisamment courte, dont la longueur effective est inf´erieure `a la dur´ee de cycle glottique pour une fr´equence d’analyse ´egale `a la fr´equence du premier formant.

En regardant plus pr´ecis´ement l’´evolution temporelle du module des coef- ficients, on voit qu’il y a un pattern qui se r´ep`ete `a chaque cycle vocal. En particulier il y a un instant caract´eris´e par un maximum d’´energie, qui est proche de l’instant de fermeture glottique. C’est un moment caract´eristique de ce pattern qu’essayent de d´etecter certaines m´ethodes de d´etection de fr´equence phonatoire [64], [50].

Il est difficile d’analyser les graphiques de la phase des coefficients de la TOC, car les phases des coefficients varient rapidement dans le temps. Les variations temporelles pr´esentent des cycles qui sont de plus en plus courts lorsque la fr´equence analysante augmente. La longueur de ces cycles est proche de la dur´ee de cycle de la composante spectrale la plus proche du signal de parole. On peut

´etudier ces variations de phase au moyen de la d´eriv´ee temporelle de la phase.

Dans les graphiques des fr´equences instantan´ees, c’est-`a-dire des d´eriv´ees

temporelles de la phase des coefficients de la TOC, on observe des zones de

couleur stable pour certaines bandes de fr´equences. Dans ces zones, le filtrage

de l’ondelette analysante isole une composante spectrale pseudo-harmonique du

signal de parole. Chaque plateau correspond `a une crˆete dans le module de la

TOC, et sa couleur correspond `a une fr´equence proche de la fr´equence centrale de

l’ondelette pour laquelle le module pr´esente un maximum local. En comparant

les graphiques obtenus pour les deux param`etres ω _c σ _t , on peut observer l’effet de

la diff´erence des r´esolutions temporelles et fr´equentielles. En effet, les plateaux

sont plus nets lorsque le param`etre ω <sub>c</sub> σ <sub>t</sub> est ´egal `a 10, c’est-`a-dire lorsque la

bande passante de l’ondelette analysante est plus ´etroite et ne recouvre qu’une

seule composante spectrale du signal. Dans la suite de cette th`ese, nous ne nous

int´eresseront plus aux phases des coefficients de la TOC, mais seulement `a leurs

2.5. CONCLUSION 45 d´eriv´ees par rapport au temps.

2.5 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons pr´esent´e les bases th´eoriques de la trans- form´ee en ondelettes continues. Nous avons ´egalement pr´esent´e le concept de fr´equence instantan´ee d’un signal et des techniques permettant d’estimer la fr´equence instantan´ee d’un signal `a bande ´etroite, ainsi que des limitations de ces m´ethodes pour l’estimation des fr´equences instantan´ees des composantes pseudo-harmoniques d’un signal `a plusieurs composantes pseudo-harmoniques.

La section 2.4 nous a montr´e que la transform´ee en ondelettes d’un signal de parole peut permettre de mettre en ´evidence et donc d’estimer la fr´equence pho- natoire et les fr´equences des formants, lorsque les param`etres de la transform´ee sont bien choisis.

Dans le cadre de cette th`ese, nous nous int´eressons aux modulations basses

fr´equences du signal de parole, en particulier aux modulations de la fr´equence

phonatoire, qui caract´erise la source vocale, et aux modulations des fr´equences

des formants, qui caract´erisent la forme du conduit vocal. Dans les deux cha-

pitres suivants traitant des modulations dues respectivement `a la source vocale

et au conduit vocal, en plus des m´ethodes existant dans la litt´erature, nous

pr´esentons une m´ethode permettant d’estimer les variations basse-fr´equence de

chacune de ces fr´equences caract´eristiques, sur base de la transform´ee en onde-

lettes continue du signal de parole.