Transform´ ee en Z

Transform´ ee en Z

1)

D´eterminer la Transform´ee en Z du signal discret causal d´efini par :

n 7−→ x(n) =e^−an∆ avec n ∈N et a∈R^∗+ ; ∆∈R^∗+

On pourra ´ecrire x(n) = e^−a∆n

; n ∈N

2)

Soit le signal analogique t 7−→ y(t) = 1−e^−at o`u a est un r´eel non nul.

a) Montrer que le signal discr´etis´e causal au pas T_e et correspondant `a y peut s’´ecrire sous la forme : y(n T_e) = e(n)−x(n) . On pr´ecisera la valeur de x(n).

b) En d´eduire (Zy) la Transform´ee en Z dey.

3)

D´eterminer dans chaque cas la Transform´ee en Z du signal discret causal d´efini par : a) f(n) =n aⁿ avec n∈N et a ∈R^∗+

b) g(n) = n²aⁿ avec n∈N et a ∈R^∗+

R´ eponses

1)

(Zx)(z) = z

z−e^−a∆ pour |z|> e^−a∆

2)

a) y(n T_e) = e(n)−x(n) = e(n)− e^−aTen

e(n) = e(n)−αⁿe(n)

b) (Zy)(z) = (1−α)z⁻¹

(1−z⁻¹)(1−αz⁻¹) avec α =e^−aTe

3)

a) (Zf)(z) = az

(z−a)² pour |z|>|a|

b) (Zf)(z) = az(z+a)

(z−a)³ pour |z|>|a|

Transform´ ee en Z inverse

1)

a) D´ecomposer n ´el´ements simples 1 (z−1)(z−2)

b) D´eterminer s le signal discret causal tel que (Zs)(z) = z (z−1)(z−2)

2)

Soit x un signal discret causal tel que : (Zx)(z) = z² z²−5z+ 6 a) D´eterminer x apr`es avoir d´ecompos´e z

z²−5z+ 6 en ´el´ements simples.

b) D´eterminer x apr`es avoir d´ecompos´e z²

z²−5z+ 6 en ´el´ements simples.

3)

On cherche `a d´eterminer le signal discret causal : x 7→ x(n) v´erifiant l’´equation suivante : x(n)−2x(n−1) +x(n−2) =d(n)

a) D´eterminer x(0), x(1), x(2), x(3) puis d´ecomposer z

(z−1)² en ´el´ements simples.

b) D´eterminer x(n) en utilisant la transformation en Z pour n ≥ 2 , puis faire une repr´esentation graphique dex sur l’intervalle [ 0 ; 8 ].

R´ eponses

1)

s(n) = (2ⁿ−1)e(n)

2)

a) x(n) = 3×3ⁿ−2×2ⁿ e(n)

b) x(n) = d(n)−4×2ⁿ⁻¹e(n−1) + 9×3ⁿ⁻¹e(n−1)

3)

a) x(0) = 1 ; x(1) = 2 ; x(2) = 3 ; x(3) = 4

Transform´ ee en Z (Solutions)

1)

D´eterminer la Transform´ee en Z du signal discret causal d´efini par :

n 7−→ x(n) =e^−an∆ avec n ∈N et a∈R^∗+ ; ∆∈R^∗+

On peut ´ecrire x(n) = e^−a∆n

; n ∈N et donc : (Zx)(z) = z

z−e^−a∆ pour |z|> e^−a∆

2)

Soit le signal analogique t 7−→ y(t) = 1−e^−at o`u a est un r´eel non nul.

a) Montrer que le signal discr´etis´e causal au pas Te et correspondant `a y peut s’´ecrire sous la forme : y(n T_e) = e(n)−x(n) . On pr´ecisera la valeur de x(n).

On peut ´ecrire y(n T_e) = e(n)−x(n) = e(n)− e^−aTen

e(n) = e(n)−αⁿe(n) x(n) =αⁿe(n) avec α=e^−aTe

b) En d´eduire (Zy) la Transform´ee en Z dey.

(Zy)(z) = z

z−1 − z

z−α = 1

1−z⁻¹ − 1

1−αz⁻¹ = 1−αz⁻¹−1 +z⁻¹ (1−z⁻¹)(1−αz⁻¹) (Zy)(z) = (1−α)z⁻¹

(1−z⁻¹)(1−αz⁻¹) avec α=e^−aTe

3)

D´eterminer dans chaque cas la Transform´ee en Z du signal discret causal d´efini par : a) f(n) =n aⁿ avec n∈N et a ∈R^∗+

Avec r(n) = n on sait que : (Zr)(z) = z

(z−1)² comme f(n) =r(n)aⁿ on a : (Zf)(z) =

z a

(^z_a−1)² donc : (Zf)(z) = az

(z−a)² pour |z|>|a|

b) g(n) = n²aⁿ avec n∈N et a ∈R^∗+

Avec c(n) = n² on sait que : (Zc)(z) = z(z+ 1)

(z−1)³ comme f(n) =c(n)aⁿ on a : (Zf)(z) =

z

a(^z_a+a)

(^z_a −1)³ donc : (Zf)(z) = az(z+a)

(z−a)³ pour |z|>|a|

Transform´ ee en Z inverse (Solutions)

1)

a) D´ecomposer n ´el´ements simples 1 (z−1)(z−2) 1

(z−1)(z−2) = 1

z−2− 1 z−1

b) D´eterminer s le signal discret causal tel que (Zs)(z) = z (z−1)(z−2) (Zs)(z) = z

z−2 − z

z−1 donc : s(n) = (2ⁿ−1)e(n)

2)

Soit x un signal discret causal tel que : (Zx)(z) = z² z²−5z+ 6 a) D´eterminer x apr`es avoir d´ecompos´e z

z²−5z+ 6 en ´el´ements simples.

z

z²−5z+ 6 = 3

z−3 − 2 z−2 (Zx)(z) = z²

z² −5z+ 6 = 3z

z−3− 2z

z−2 donc : x(n) = 3×3ⁿ−2×2ⁿ e(n)

b) D´eterminer x apr`es avoir d´ecompos´e z²

z²−5z+ 6 en ´el´ements simples.

z²

z²−5z+ 6 = 1− 4

z−2+ 9 z−3 (Zx)(z) = z²

z²−5z+ 6 = 1− 4

z−2+ 9

z−3 = 1−4z⁻¹ z

z−2+ 9z⁻¹ z

z−3 donc : x(n) =d(n)−4×2ⁿ⁻¹e(n−1) + 9×3ⁿ⁻¹e(n−1)

3)

On cherche `a d´eterminer le signal discret causal : x 7→ x(n) v´erifiant l’´equation suivante :

a) D´eterminer x(0), x(1), x(2), x(3) puis d´ecomposer z

(z−1)² en ´el´ements simples.

x(0) = 1 x(1) = 2 x(2) = 3 x(3) = 4

z

(z−1)² = 1

(z−1)² + 1 z−1

b) D´eterminer x(n) en utilisant la transformation en Z pour n ≥ 2 , puis faire une repr´esentation graphique dex sur l’intervalle [ 0 ; 8 ].

(Zx)(z)−2z⁻¹(Zx)(z) +z⁻²(Zx)(z) = 1 (1−2z⁻¹+z⁻²)(Zx)(z) = 1

(Zx)(z) = 1

1−2z⁻¹+z⁻² = z² z²−2z+ 1

= z

(z−1)² + z z−1 Retour `a l’original :

x(n) = (n+ 1)e(n)

n x(n)

~i

~j

• O

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