Transform´ee en Z F-IRIS2-08.tex
Transform´ ee en Z Transform´ ee inverse Z
−11)
D´eterminer la transform´ee en Z du signal discret causal x d´efini pour n∈N par :
n 7−→ x(n) = n2+ 3n+ 2 (1)
n 7−→ x(n) = n2n (2)
n 7−→ x(n) = (n−3)e(n−3) (3)
n 7−→ x(n) = (n+ 2)2 (4)
2)
D´eterminer le signal discret causal x original de (Zx) d´efini par :
(Zx)(z) = 4z
(z−1)− 3z
(z−1)2 avec |z|>1 (5)
(Zx)(z) = 2z
(z−1)(z−3) avec |z|>3 (6)
(Zx)(z) = 3
(z−2) avec |z|>2 (7)
R´ eponses
1)
(Zx)(z) = z(z+ 1)
(z−1)3 + 3z
(z−1)2 + 2z
z−1 (1)
(Zx)(z) = 2z
(z−2)2 (2)
(Zx)(z) = 1
z2(z−1)2 (3)
(Zx)(z) = z3(z+ 1)
(z−1)3 −z (4)
2)
x(n) = 4−3n (5)
x(n) = 3n−1 (6)
x(n) = 3×2n−1 e(n−1) (7)
Le signal discret causal x d´efini pour n∈N
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♠ LATEX 2ε
Transform´ee en Z F-IRIS2-08.tex
Compl´ ement aux r´ eponses : Correction du 1) (4)
a) Premi`ere Solution (on d´eveloppe)
x(n) = (n+ 2)2 =n2 + 4n+ 4 (Zx)(z) = z(z+ 1)
(z−1)3 + 4z
(z−1)2 + 4z z−1
= z(z+ 1) + 4z(z−1) + 4z(z−1)2 (z−1)3
= 4z3−3z2+z (z−1)3
(Zx)(z) = 4z3−3z2+z (z−1)3 Remarque, la solution est correcte :
(Zx)(z) = z(z+ 1) (z−1)3 −z
= z(z+ 1)−z(z−1)3) (z−1)3
= 4z3 −3z2+z (z−1)3 Mais il y a plus «simple»
b) Seconde Solution (formule de l’avance, ligne 9 du formulaire) y(n) = x(n+ 2) 7−→ (Zy)(z) = z2
(Zx)(z)−x(0)−x(1)z−1 Mais appliqu´ee au carr´e : c(n) =n2
y(n) = c(n+ 2) 7−→ (Zy)(z) =z2
(Zc)(z)−c(0)−c(1)z−1
Comme : c(0) = 02 = 0 et c(1) = 12 = 1 (Zx)(z) =z2
z(z+ 1)
(z−1)3 −0−z−1
= z3(z+ 1) (z−1)3 −z Ce qui donne le r´esultat directement comme il est donn´e dans la r´eponse !
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♠ LATEX 2ε
