D´eterminer Hb la transform´ee de Fourier deH

Universit´e de Nantes D´epartement de Math´ematiques Ann´ee 2008/2009 L2 Physique - Module S22P030

TD 5 : Transform´ee de Fourier Exercice 1.

1. Soit H la fonction “porte” d´efinie par

H(t) =







1 si t∈

−1 2;1

2

,

0 sinon.

D´eterminer Hb la transform´ee de Fourier deH. Tracer H etH.b 2. Soit H_T la fonction “impulsion” d´efinie pour T > 0 par

H_T(t) =





 1

T si t∈

−T 2;T

2

,

0 sinon.

a) D´eterminer (directement)Hc_T la transform´ee de Fourier de H_T. b) Exprimer H_T en fonction deH et retrouverHc_T.

c) Que se passe-t-il lorsque T tend vers 0 ? 3. Soit Λ la fonction “triangle” d´efinie par

Λ(t) =

(1− |t| sit∈[−1; 1], 0 sinon.

a) D´eterminer (directement)Λ la transform´b ee de Fourier de Λ.

b) D´eterminer Λ⁰ puis l’exprimer en fonction de H et en d´eduire(Λd⁰).

Retrouver alors Λ.b

c) V´erifier que Λ =H∗H puis retrouver Λ.b

Exercice 2.

1. Consid´erons pour a > 0 la fonction f_a : t → e^−a|t|. D´eterminer fb_a la transform´ee de Fourier de f_a.

2. En d´eduire la transform´ee de Fourier des fonctions g : t → 1 1 +t² et h:t → t

(1 +t²)².

3. En d´eduire la valeur des int´egrales A(ξ) = Z ∞

0

cosξt

1 +t²dt et B(ξ) = Z ∞

0

tsinξt (1 +t²)²dt.

Exercice 3.

1. Soit la fonction g :x→e^−x2. a) V´erifier que g⁰(x) = −2xg(x).

b) En appliquant la transformation de Fourier `a l’´egalit´e ci-dessus, montrer que bg est solution d’une ´equation diff´erentielle du premier ordre.

c) En d´eduire la valeur debg. (on rappelle que Z ∞

−∞

e^−u2du=√ π) 2. Trouver les fonctions f de carr´e int´egrable telles que

Z ∞

−∞

f(u)f(x−u)du=e^−x2.

Exercice 4.

1. Soit la fonction f :t →

(e^t si t≤0, 0 sinon.

D´eterminer la transform´ee de Fourier de f.

2. Soit l’´equation diff´erentielle (E) : y⁰⁰(t) + 2y⁰(t) +y(t) = f(t).

D´eterminer les solutions de (E) telles que y, y⁰ ety⁰⁰ sont int´egrables.

(utiliser la question 2. de l’exercice 2.)