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TD 3 : Distributions temp´ er´ ees - Transform´ ee de Fourier

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Academic year: 2022

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Distributions et applications 2019-2020 Mines ParisTech

TD 3 : Distributions temp´ er´ ees - Transform´ ee de Fourier

Exercice 1

Soit f :R→Rla fonction d´efinie par :

∀x∈R, f(x) = excos(ex).

1. Montrer qu’il n’existe pas de polynˆomeP tel que : ∀x∈R, |f(x)| ≤ |P(x)|.

2. Montrer que, pour toute ϕ ∈ S(R), l’int´egrale R

Rf(x)ϕ(x)dx est convergente.

3. Montrer que S d´efinie par :

∀ϕ∈ S(R), < S, ϕ >=

Z

R

f(x)ϕ(x)dx, est une distribution temp´er´ee sur R.

Exercice 2

Calculer la transform´ee de Fourier des distributions temp´er´ees surR associ´ees aux fonctions suivantes:

1.eiax (a∈R), 2. cos(x), 3. xsin(x), 4. sin(x)x 5.e−a|x|(a >0), 6.|x|e−a|x|(a >0), 7. sin(|x|).

Exercice 3

1. D´eterminer toutes les solutions dans D0(R) de l’´equation diff´erentielley0+y= 0.

2. D´eterminer toutes les solutions dans D0(R) de l’´equation diff´erentielle y0+y = δ0 o`u δ0 ∈ D0(R) d´esigne la distribution de Dirac en 0.

3. Montrer qu’il existe une unique distribution temp´er´eeu0 ∈ S0(R), que l’on d´eterminera explicite- ment, solution de l’´equation diff´erentielley0+y=δ0. 4. Soit ε >0. Montrer qu’il existe une unique dis- tribution temp´er´eeuε∈ S0(R) solution de l’´equation diff´erentielle

−εu00ε+u0ε+uε0.

5. Montrer que (uε)ε>0 converge versu0 dansS0(R) lorsque εtend vers z´ero par valeurs positives.

Exercice 4

Soient k >0 et u∈ S0(R) tels que

d4u

dx4 +ku∈L2(R).

Montrer que ddxjuj ∈L2(R) pour 0≤j≤4.

Exercice 5

Soit P(ξ) un polynˆome dans Rn non identiquement nul. On note P(D) l’op´erateur diff´erentiel `a coeffi- cients constants associ´e. Montrer que si u∈ E0(Rn) est telle que P(D)u= 0, alors u= 0.

Exercice 6 SoitP(D) =P

|α|≤maαDα un op´erateur diff´erentiel sur Rn `a coefficients constants tel que :

Σ :=

ξ ∈Rn ; P(ξ) = X

|α|≤m

aαξα = 0

={0}.

Montrer que le noyau deP(D) dansS0(Rn) est con- stitu´e de polynˆomes.

Exercice 7

On noteT = vp 1x

la distributionvaleur principale surR. On note aussiH la distribution de Heaviside, distribution associ´ee `a la fonction caract´eristique de R+.

1. Montrer quexT = 1 au sens des distributions.

2. En appliquant la transform´ee de Fourier `a l’´egalit´e xT = 1, montrer qu’il existe une constante C telle que

Tb=−2iπH+C.

3. Soit ˇT la distribution d´efinie par

∀ϕ∈C0(R), <T , ϕ >=< T,ˇ ϕ >,ˇ

o`u : ∀x∈R, ϕ(x) =ˇ ϕ(−x). Justifier que ˇT =−T (on rappelle qu’ici T = vp x1

). En d´eduire que pour toute ϕ∈C0(R),<T ,b ϕ >=<ˇ −T , ϕ >.b 4. D´eduire de la question pr´ec´edente la valeur de la constanteC obtenue `a la question 2.

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5. En utilisant ce qui pr´ec`ede et le fait que ˇT =−T, calculer H.b

Exercice 8

On notera dans ce qui suitδala distribution de Dirac au pointa. On d´efinit par r´ecurrence la suite de dis- tributions (Tk)k≥1 par :

T1 = 121−1) et ∀k≥2, Tk =Tk−1? T1. 1. Ecrire´ Tk comme combinaison lin´eaire finie de distributions `a supports ponctuels.

2. Calculer la transform´ee de Fourier Tbk de la dis- tribution `a support compactTk.

3. Pour k ≥1, on posefk(ξ) = Tbk

ξ k

. Montrer quefk∈ S0(R) et que la suite (fk)k≥1 converge dans

S0(R) vers une distribution que l’on d´eterminera.

4. On note gk la distribution dont fk est la trans- form´ee de Fourier. Montrer que la suite (gk)k≥1 converge dans S0(R) vers une distribution que l’on d´eterminera.

Indication : On pourra utiliser le fait que, pour a >0, F(e−ax2) =

π ae

ξ2 4a.

Exercice 9

Pour ϕ∈ C0(Rn) et t > 0, on note ϕt la fonction d´efinie par ϕt(x) = ϕ(xt). Soit T ∈ S0(Rn). On suppose que Tb ∈ L(Rn). En utilisant le fait que T =F−1FT, montrer que,

∀t >0, |< T, ϕt>| ≤ (2π)1 n||Tb||L ||ϕ||b L1.

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