Universit´e Paris Diderot L3 Maths Appliqu´ees
M2303 Analyse de Hilbert et de Fourier Ann´ee 08/09
Feuille d’exercices 1
1. Soit f ∈L1(lR).
a) ´Ecrire la transform´ee de Fourier de f `a l’aide des fonctions sinus et cosinus. En d´eduire des expressions alternatives pour fbdans le cas o`uf est paire ou impaire.
b) On d´efinit la fonctiong par: g(x) =f(−x) pour toutx∈lR.
Exprimer la transform´ee de Fourier deg en fonction de celle def.
Que peut-on dire de fbsi f est paire? impaire? Retrouver ainsi les r´esultats du a).
2. a) Calculer la transform´ee de Fourier dex7→e−x1l[0,+∞[. En d´eduire celle deh(x) =e−|x|. b) D´eduire de a) la transform´ee de Fourier de la fonction 1
1 +x2.
c) Calculer le produit de convolutionh ? h et en d´eduire la transform´ee de Fourier de la fonction
1 1 +x2
2
.
3. Soit f la fonction indicatrice de l’intervalle [−1,1]. Calculerfbetf∗f. En d´eduire les transform´ees de Fourier des fonctions (1− |x|) 1l[−1,1](x) et sinx
x 2
. 4. Pour a∈lR, on d´efinit la fonction ea sur lR par: ea(x) =eiax.
Pour toute fonction f : lR7→C, on d´efinit les fonctionsτaf (a∈lR) etθλf (λ∈lR∗) par:
τaf(x) =f(x−a) et θλf(x) =f(λ.x).
Pour f ∈L1(lR), montrer les relations suivantes (o`u a∈lR etλ∈lR∗):
(i) eda.f =τafb, (ii) τda.f =e−a.fb, (iii) fb=θ−1fb, (iv)θdλf = 1
|λ|θ1
λ
fb (que donne en particulierλ=−1?) Certains des exercices qui suivent utilisent l’injectivit´e de la transformation de Fourier sur L1(lR), que nous admettons pour le moment.
5. (Transform´ee de Fourier des densit´es gaussiennes.) Soit f la fonction d´efinie sur lR parf = 1
√
2πe−x2/2.
a) Montrer quefbest d´erivable sur lR et que fb0(ξ) = −i
√2π Z +∞
−∞
xe−iξx−x2/2dx.
b) Montrer `a l’aide d’une int´egration par parties quefb0(ξ) =−ξf(ξ).b c) En d´eduire quefb(ξ) =e−ξ2/2.
d) Donner la transform´ee de Fourier degm,σ(x) = 1
σfx−m σ
o`um∈lR etσ >0.
e) En utilisant l’injectivit´e de la transformation de Fourier sur L1(lR), montrer avec un minimum de calculs quegm,σ? gm0,σ0 =gm+m0,√
σ2+σ02 pour tousm, m0 ∈lR et σ, σ0 >0.
1
6. Pour tout a >0 on posefa(x) =xa−1e−x1l]0,+∞[(x).
a) Montrer quefa∈L1(lR) pour touta >0.
On d´efinit la fonction Γ sur ]0,+∞[ par: Γ(a) =R
lRfa(x)dx.
b) Montrer queϕa=fba est d´erivable sur lR et v´erifie l’´equation diff´erentielle:
ϕ0a(ξ) =− ia
1 +iξϕa(ξ).
c) En d´eduire que
fba(ξ) = Γ(a) exp
−a 1
2ln(1 +ξ2) +iarctanξ .
(remarque: le nombre 12ln(1 +ξ2) +iarctanξ= ln(|1 +iξ|) +iarg(1 +iξ) a pour exponentielle 1 +iξ, si bien que la quantit´e exp
−a 12ln(1 +ξ2) +iarctanξ
pourrait s’´ecrire(1 +iξ)−a, pour une d´efinition convenable des puissances r´eelles d’un nombre complexe.)
d) D´eduire de ce qui pr´ec`ede que Γ ne s’annule pas sur ]0,+∞[ et que pour tousa, b >0
on a fa
Γ(a) ? fb
Γ(b) = fa+b Γ(a+b).
7. Cet exercice a pour but de d´emontrer que la transformation de Fourier n’est pas surjective de L1(lR) dans l’ensembleC0(lR) des fonctions continues et tendant vers 0 `a l’infini.
On rappelle que l’int´egrale impropre Z +∞
0
sint
t dt converge et on pose
∀x≥0 φ(x) = Z +∞
x
sint t dt.
a) Montrer queφest une fonction continue born´ee sur [0,+∞[.
b) Soitf ∈L1(lR) une fonction impaire eta >0. Montrer que
b→+∞lim Z b
a
f(ξ)b
ξ dξ=−2i Z +∞
0
f(x)φ(ax)dx . c) On consid`ere la fonction impaire g d´efinie sur lR+ par
g(x) = x
e pour x < e et g(x) = 1
lnx pourx≥e.
Montrer que g∈C0(lR) mais n’est la transform´ee de Fourier d’aucun ´el´ement de L1(lR).
8. On se propose de d´emontrer que la transformation de Fourier F sur L1(lR), bijection lin´eaire deL1(lR) surF(L1(lR)) (sous-espace vectoriel deC0(lR)) n’est pas de r´eciproque continue pour les normes || ||∞sur F(L1(lR)) et|| ||1 surL1(lR).
Pour n≥1, soitfn la fonction indicatrice de l’intervalle [−n, n].
a) Calculerfcn etfn? f1 pour n≥1.
b) Montrer quefn? f1 =gbn o`ugn est la fonction:
gn(x) = 2 π
sinx.sin(nx)
x2 ·
c) Montrer `a l’aide d’un changement de variable et du lemme de Fatou que lim
n→+∞||gn||1 = +∞.
d) En d´eduire qu’il n’existe pas de constantec telle que:
∀f ∈L1(lR) ||f||1≤c||fb||∞. Conclure.
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