Institut Galil´ee 2018-2019 M1 Math´ematiques Fondamentales
Distributions temp´er´ees et espaces de Sobolev
Feuille de TD 1 : Espace de Schwartz - Transform´ ee de Fourier
Exercice 1
Existe-t-il une fonction f ∈ S(R) non identiquement nulle telle que, pour tout k∈N,R
Rxkf(x)dx= 0?
Exercice 2
Soient f et g deux ´el´ements deS(Rd). On suppose que f ? g est identiquement nulle. Peut-on affirmer quef ou g est nulle ? Qu’en est-il sif =g?
Exercice 3 - Transform´ee de Fourier de la gaussi- enne
Soit A une matrice sym´etrique r´eelle dans Sd(R). On suppose qu’il existec0>0 telle que :
∀x∈Rd, < Ax|x >≥c0|x|2.
1. Montrer que la fonction gaussienneu:x7→e−<Ax|x>
est dans S(Rd).
2. En utilisant la formule obtenue pour la transform´ee de la Gaussienne pourd= 1 (voir cours), d´eterminer la transform´ee de Fourier de u dans le cas o`u A est une matrice diagonale.
3. En diagonalisantAdans une base orthonorm´ee deRd, montrer que :
∀ξ∈Rd, u(ξ) =ˆ πd2
pdet(A)e−14<A−1ξ|ξ>.
Exercice 4 - Principe d’incertitude de Heisenberg Soitf ∈ S(R) de norme||f||L2(R)= 1. On veut montrer l’in´egalit´e suivante :
(1) :=
Z +∞
−∞
x2|f(x)|2dx
Z +∞
−∞
ξ2|f(ξ)|ˆ 2dξ
≥1 4. 1. En utilisant la relationfb0(ξ) = iξfˆ(ξ), montrer que
(1) =
Z +∞
−∞
x2|f(x)|2dx
Z +∞
−∞
|f0(x)|2dx
.
2. En d´eduire que (1)≥ R+∞
−∞ |xf(x)f0(x)|dx2
.
3. Justifier que pour deux nombres complexes a et b, on a |ab| ≥ 12(a¯b+ ¯ab). Justifier que pour tout x∈ R,
d
dx|f(x)|2=f(x)f0(x) +f(x)f0(x).
4. D´eduire l’in´egalit´e recherch´ee des questions 2 et 3.
Interpr´etez cette in´egalit´e en termes probabilistes.
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