Transform´ ee de Fourier, Convolutions et Fonctions de Green

L3 et Magist` ere de Physique Fondamentale

Math´ ematiques

T.D. n ^◦ 8 D´ ecembre 2007

Distributions:

Transform´ ee de Fourier, Convolutions et Fonctions de Green

1 Rappels et quelques propri´ et´ es

1. Rappeler les d´ efinitions des op´ erations F et F ^† sur l’espace des distributions temp´ er´ ees S ⁰ .

2. Si f est une fonction sommable, quelle relation y a-t-il entre F ([f ]) (TF de la distribution r´ eguli` ere [f]) et [F(f )] (distribution r´ eguli` ere associ´ ee ` a la TF de f )?

3. Montrer que la distribution F δ a est une distribution r´ eguli` ere dont on pr´ ecisera la fonction associ´ ee.

4. Mˆ eme question pour F ^† δ _a et Fδ.

5. Etablir que : δ a = ^{√ 1}

2π F e ^iax

6. On se propose de retrouver ce r´ esultat en utilisant la continuit´ e de la transform´ ee de Fourier dans S ⁰ . Soit f la fonction de S telle que f(x) = exp(−x ² /2), on note F (k) la transform´ ee de Fourier de f . On rappelle que F (k) = f (k). On pose par ailleurs f (x) = f (x)e ^iax .

(a) Montrer que lim ^(D) _ε−>0 [f ] = e ^iax

. (b) Exprimer g = F f en fonction de F (k).

(c) Quelle est la limite au sens des distributions de la suite {[g ]} ?

(d) Par continuit´ e de la Transform´ ee de Fourier, d´ eduire l’expression de F e ^iax

.

2 Fonction de Heaviside, Fonction Signe et Valeur principale

1. On consid` ere la suite de fonctions {f } >0 d´ efinie par f (x) = θ(x)e <sup>−x</sup> o` u θ est la fonction de Heaviside.

(a) Quelle est la limite au sens des distributions de la suite {[f ]} _>0 lorsque tend vers 0?

(b) Calculer F ([f ]).

(c) En utilisant les r´ esultats obtenus ` a la fin du T.D. pr´ ec´ edent, calculer lim _−>0

F ([f ]) et en d´ eduire F ([θ]).

2. On d´ efinit la fonction sgn(x) par sgn(x) = 1 si x > 0; sgn(x) = −1 si x < 0 et sgn(0) = 0.

Exprimer sgn ` a partir de la fonction de Heaviside θ; puis Trouver F ([sgn]).

3. Montrer que F ^† vp ¹ _x = −F vp _x ¹ et trouver explicitement F(vp ¹ _x ) ` a partir de la question pr´ ec´ edente.

4. On se propose de retrouver le r´ esultat pr´ ec´ edent par une autre m´ ethode.

(a) Montrer que dans S ⁰ l’´ equation T ⁰ = 0 a pour seules solutions les distributions constantes.

(b) En utilisant la relation obtenue au T.D. pr´ ec´ edent x vp _x ¹ = 1, ainsi que des consid´ erations de

parit´ e, calculer F vp ¹ _x .

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3 Produit de Convolution pour les distributions

1. Rappeler la d´ efinition du produit de convolution de deux distributions (lorsqu’il existe).

2. Montrer que la distribution de Dirac est un ´ el´ ement neutre pour l’op´ eration ∗.

3. Etablir la relation g´ en´ erale : T ∗ δ ⁽ⁿ⁾ = δ ⁽ⁿ⁾ ∗ T = T ⁽ⁿ⁾ .

4. L’op´ eration de produit de convolution est-elle toujours associative ? Exemple :

(a) Calculer ([1] ∗ δ) ∗ δ ⁰ et [1] ∗ (δ ∗ δ ⁰ ).

(b) Calculer ([1] ∗ δ ⁰ ) ∗ [θ] et [1] ∗ (δ ⁰ ∗ [θ]).

4 Produit de convolution et Fonction de Green

Soit U un ´ el´ ement de D ⁰ (ou de S ⁰ ).On dit que U poss` ede un inverse de convolution dans D ⁰ (ou dans S ⁰ ), si l’on peut trouver T dans D ⁰ (ou dans S ⁰ ) tel que : U ∗ T = δ.

Cet inverse de convolution n’est pas unique en g´ en´ eral et les diff´ erentes solutions d´ ependent aussi de l’ensemble dans lequel on les cherche, ` a savoir D ⁰ ou S ⁰ .

Dans le cas particulier o` u U est de la forme U = P n

i=0 a i δ ⁽ⁱ⁾ (les a i sont des constantes) on peut trouver T sous forme de distribution r´ eguli` ere associ´ ee ` a une fonction G qui porte alors le nom de Fonction de Green (on peut trouver plusieurs fonctions de Green pour un mˆ eme U).

Interessons nous au cas o` u U = δ ⁰ + aδ avec a > 0.

On s’interesse aux solutions dans D ⁰ .

1. V´ erifier que la distribution r´ eguli` ere [G] associ´ ee ` a la fonction G(x) = θ(x)e ^−ax est bien solution du probl` eme.

2. Montrer que tous les inverses de convolution dans D ⁰ sont de la forme : T = [G] + C [e ^−ax ] o` u C est une constante.

(On rappelle que l’´ equation T ⁰ = 0 n’a pas d’autre solution que les distributions constantes dans D ⁰ ).

3. Quelles sont les solutions du probl` eme dans S <sup>0</sup> ? Trouver la r´ eponse de deux mani` eres: par restriction des solutions pr´ ec´ edentes et par transform´ ee de Fourier appliqu´ ee ` a l’´ equation initiale.

5 Application des fonctions de Green ` a la r´ esolution d’´ equations diff´ erentielles.

1. Supposons que l’on cherche ` a r´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle (au sens des fonctions): y <sup>0</sup> (x)+ ay(x) = 0 (a > 0) avec la condition initiale y(0) = y 0 . On s’interesse ` a la distribution r´ eguli` ere temp´ er´ ee T associ´ ee

`

a la fonction θ(x)y(x) et on note U la distribution δ ⁰ + aδ.

(a) Montrer que T v´ erifie l’´ equation U ∗ T = y ₀ δ.

(b) En d´ eduire l’expression de T (dans S ⁰ ) puis celle de y(x).

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2. Autres ´ equations diff´ erentielles.

R´ esoudre dans S ⁰ les ´ equations diff´ erentielles suivantes (k > 0) : (a) T ⁰⁰ − k ² T = 0

(b) T ⁰⁰ − k ² T = δ

3. Trouver la fonction de Green (distribution temp´ er´ ee) de l’op´ erateur Laplacien en dimension 2.

4. Trouver la fonction de Green (distribution temp´ er´ ee) de l’op´ erateur Laplacien en dimension 3.