Partie 1 : Convolution et transform´ ee de Fourier

Universit´ e Paris-Sud 2018–2019 L3 Physique : PAPP & PMEC

Examen de math´ ematiques II – Seconde session : 25 juin 2019 Dur´ ee : 3 heures

Les quatre parties sont ind´ ependantes. T´ el´ ephones et calculatrices sont interdits.

Partie 1 : Convolution et transform´ ee de Fourier

On rappelle la d´ efinition de la transform´ ee de Fourier et de la transform´ ee inverse F _k [f ] = 1

√ 2π Z +∞

−∞

dx e ^−ikx f (x) et F _x ^† [ ˆ f ] = 1

√ 2π Z +∞

−∞

dk e ^ikx f ˆ (k) (1)

1.1 – Donner la d´ efinition du produit de convolution f ∗ g de deux fonctions f et g.

1.2 – Rappeler la relation entre F _k [f ∗ g] et les transform´ ees de Fourier ˆ f (k) = F _k [f ] et ˆ

g(k) = F _k [g] (d´ emontrer la relation).

1.3 – Soit un r´ eel a > 0. On consid` ere la fonction Π a (x) qui vaut 1 lorsque x ∈ [−a, +a]

et qui vaut 0 sinon. Que vaut le produit Π _a (x) × Π _a (x) ? Calculer la transform´ ee de Fourier Π b _a (k) = F _k [Π _a ].

1.4 – On introduit la fonction f _λ (x) = sinc(λx) pour un r´ eel λ > 0, o` u sinc(x) = <sup>sinx</sup> <sub>x</sub> . Que vaut ˆ f λ (k) = F <sub>k</sub> [f λ ] ? En d´ eduire que f λ est stable sous la convolution, i.e. montrer que (f <sub>λ</sub> ∗ f <sub>λ</sub> )(x) = c f <sub>λ</sub> (x), o` u c est une constante que l’on donnera. D´ eduire f _λ ^∗n

= f _λ ∗ · · · ∗ f _λ

| {z }

n fois

. 1.5 – Soit y(x) une fonction. Exprimer F _k [y ⁰ ], la TF de sa d´ eriv´ ee, en fonction de ˆ y(k) = F _k [y].

1.6 – Soit g une fonction L ¹ (R). Quelle ´ equation v´ erifie la transform´ ee de Fourier d’une solution y(x) de l’´ equation diff´ erentielle y ⁰⁰ (x) + λ y ⁰ (x) + a ² y(x) = g(x) ?

Partie 2 : Questions diverses

2.1 – Qu’appelle-t-on les conditions de Cauchy–Riemann ? Les ´ enoncer pr´ ecis´ ement.

2.2 – On pose f (z) = 1

(2z − 1)(z + 2i) ² . D´ eterminer la nature des singularit´ es de f et calculer ses r´ esidus.

2.3 – Enoncer le th´ ´ eor` eme des r´ esidus.

Partie 3 : Localisation de racines polynomiales

Soit P (z) un polynˆ ome ` a coefficients complexes. On suppose qu’il poss` ede k racines dis- tinctes ξ j ∈ C de multiplicit´ e m j ∈ N ^∗ , si bien qu’on peut l’exprimer sous la forme

P (z) = a _n

k

Y

j=1

(z − ξ _j ) ^m

,

o` u a n 6= 0 est son coefficient dominant et n = P k

j=1 m j son degr´ e.

3.1 – On pose f (z) = ^P _P

_(z) ^(z) . En s’inspirant de la d´ eriv´ ee logarithmique, montrer que l’on a

f (z) = P ⁰ (z) P(z) =

k

X

j=1

m j

z − ξ _j .

1

3.2 – Sur quel domaine f est-elle holomorphe et quelles sont ses singularit´ es et leur nature ? 3.3 – Calculer les r´ esidus aux pˆ oles de f .

3.4 – Soit z 0 ∈ C et C le cercle de centre z 0 et de rayon R. Sous quelle condition peut-on affirmer que l’int´ egrale I(z ₀ , R) = H

C f(z) dz existe ? En donner alors une valeur formelle.

Partie 4 : Un point fixe de la transform´ ee de Fourier 4.1 – Enoncer le th´ ´ eor` eme de Cauchy.

Soit 0 < ε < ¹ ₂ < R. On consid` ere le chemin Γ parcouru dans le sens trigonom´ etrique, r´ eunion des cinq chemins suivants :

γ ₁ = {z = t | t ∈ [0, R]} γ ₂ =

z = R + it | t ∈ [0, ¹ ₂ ] γ ₃ =

z = ₂ ⁱ + t | t ∈ [R, ε]

γ ₄ = n

z = ₂ ⁱ + εe ^iθ | θ ∈ [0, − ^π ₂ ] o

γ ₅ =

z = it | t ∈ [ ¹ ₂ − ε, 0]

4.2 – Faire un sch´ ema du contour et l’orienter dans le sens positif.

On consid` ere la fonction f (z) = e ^iωz

2 cosh(πz) et l’on rappelle que la fonction cosinus hyper- bolique est d´ efinie comme cosh(ζ) = ^e

^+e ₂

.

4.3 – Sur quel domaine la fonction f est-elle holomorphe ? 4.4 – Montrer que l’int´ egrale R

R f (x) dx existe.

4.5 – Que vaut H

Γ f(z) dz ? Le justifier.

4.6 – Montrer que lim R→+∞ R

γ

f (z) dz = 0.

4.7 – Montrer que Res(f, ₂ ⁱ ) = _2iπ ¹ e ⁻

. 4.8 – Calculer lim _ε→0

R

γ

f (z) dz.

4.9 – Montrer que R

γ

f(z) dz = −e ⁻

R R ε

e

2i sinh πt dt. En d´ eduire que sa partie r´ eelle admet une limite lorsque ε → 0 ⁺ .

4.10 – Montrer que la partie r´ eelle de R

γ

f (z) dz est nulle.

4.11 – En int´ egrant la fonction f (z) le long du chemin Γ, en consid´ erant la partie r´ eelle de l’expression trouv´ ee puis en faisant tendre ε vers 0 et R vers +∞, montrer que l’on a

Z +∞

0

cos ωx

2 cosh πx dx − e ⁻

Z +∞

0

sin ωx

2 sinh πx dx − e ⁻

4 = 0.

4.12 – En remarquant que cette expression est aussi valable pour −ω, calculer la valeur des int´ egrales

I = Z +∞

0

sin ωx

sinh πx dx J =

Z +∞

0

cos ωx cosh πx dx.

4.13 – En d´ eduire que la fonction g(z) = 1

cosh(πz) v´ erifie R

R e ^−2iπkx g(x) dx = g(k).

A des constantes pr` ` es et une renormalisation de la variable k pr` es, la fonction g est ce qu’on appelle un point fixe de la transform´ ee de Fourier.

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