DM de MPSI2
Devoir non surveill´ e
Dans tout le probl`eme,nd´esigne un entier naturel.
Partie A – Recherche d’un ´ equivalent
Soitf : [0,1]→Rune fonction de classeC1, non nulle en 1. On pose γn=
Z 1
0
xnf(x)dx.
A.1Montrer que|f| est major´ee sur [0,1]. On fixe un majorantM de|f|sur [0,1].
A.2Montrer que (γn)n∈N converge vers 0.
A.3Montrer quef est lipschitzienne sur [0,1]. On fixe K >0 tel quef soitK-lipschitzienne.
A.4Montrer que
γn−f(1)n+1
6(n+1)(n+2)K .
Indication : on pourra remarquer quef(1)/(n+ 1) =R1
0 f(1)xndx.
A.5En d´eduire queγn∼f(1)/n.
Partie B – Convergence de deux suites vers π/4
B.1On noteαn =
n
X
k=0
(−1)k
2k+ 1. Montrer que : αn =π4 −R1 0
(−x2)n+1 1+x2 dx.
Indication : on pourra noter que (−1)k/(2k+ 1) =R1
0(−x2)kdx.
B.2En d´eduire que la suite (αn)n∈Nconverge versπ/4, et trouver un ´equivalent simple deαn−π/4 lorsque ntend vers∞.
On pose
bn= 1 2
Z 1
0
1−x2 2
n
dx et βn=
n
X
k=0
bk.
B.3 Montrer que (βn) converge vers π/4, avec une vitesse au pire g´eom´etrique, dans le sens o`u il existe K >0 etr∈[0,1[ (ind´ependants den) tels que
|βn−π/4|6Krn.
B.4De (αn) et (βn), qui converge asymptotiquement le plus vite versπ/4 ?
Partie C – Transform´ ee d’Euler d’une suite
On d´esigne parE leC-espace vectoriel des suites `a valeurs dansC. Siuest une telle suite, on noteun son terme d’indicen. On noteIl’application identit´e deE.
C.1Montrer que l’on d´efinit un endomorphismeT deE en posant :
∀u∈E, T(u) = (un+1)n∈N
Ainsi, pour tout entier natureln, len-i`eme terme de la suite T(u) v´erifie : (T(u))n=un+1. C.2Cet endomorphisme est-il injectif ? surjectif ?
On consid`ere ´egalement l’endomorphisme L de E d´efini par L =I+T. Enfin, on rappelle que pour tout endomorphisme F deE, on d´efinit par r´ecurrence l’endomorphisme it´er´e Fk parF0 =I et pour tout entier naturelknon nul,Fk=F◦Fk−1.
C.3Montrer que
n
X
k=0
n k
= 2n
C.4 Apr`es avoir justifi´e avec soin les hypoth`eses de son application, utiliser la formule du binˆome pour calculerLn= (I+T)n.
C.5En d´eduire, pouru∈E, l’´egalit´e :
(Ln(u))0=
n
X
k=0
n k
uk,
o`u (Ln(u))0d´esigne le terme d’indice 0 de la suiteLn(u).
C.6Soituune suite dansE admettant une limitel.
a V´erifier que
1
2n(Ln(u))0−l= 1 2n
n
X
k=0
n k
(uk−l) SoitN un entier naturel. Pour tout entier natureln > N, on pose :
SN(n) = 1 2n
N
X
k=0
n k
(uk−l) et TN(n) = 1 2n
n
X
k=N+1
n k
(uk−l).
bMontrer que :
|TN(n)|6sup{|uk−l|, k∈[[N+ 1, n]]}.
On posePN(x) =
N
X
k=0
xk
k! pourx∈C. cMontrer que :
|SN(n)|6 1
2nPN(n) sup{|uk−l|, k∈[[0, N]]}.
dJustifier que
n→lim+∞SN(n) = 0.
eMontrer que :
n→lim+∞
1
2n(Ln(u))0=l.
C.7Soitu∈E. On d´efinit une suitespar :s0= 0, etsn=
n−1
X
k=0
uk sin>1. On d´efinit ´egalement une suite S parSn = 1
2n
n
X
k=0
n k
sk.
a Montrer, pour tout entier natureln, l’´egalit´e :
n+1
X
k=0
n+ 1 k
sk=
n
X
k=0
n k
sk+
n
X
k=0
n k
sk+1.
bEn d´eduire, pour tout entier natureln, que : Sn+1−Sn = 1
2n+1(Ln(u))0. Indication : on pourra noter quesk+1=sk+uk.
cOn suppose que la suite de terme g´en´eral
n
X
k=0
uk converge vers un complexel. Latransform´ee d’Euler de cette suite est la suite de terme g´en´eral
n
X
k=0
1
2k+1(Lk(u))0. Montrer que cette transform´ee d’Euler converge versl.
C.8Montrer que (βn) est la transform´ee d’Euler de (αn).
