Universit´e des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Math´ematiques
Licence (S 5)
M 52 : TOPOLOGIE ET CALCUL DIFF ´ERENTIEL 10 janvier 2012
Dur´ee 4 heures
Les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es. On aura soin d’´enoncer pr´ecis´ement les th´eor`emes utilis´es.
Le bar`eme est indicatif.
Les parties I et II sont `a r´ediger sur des copies s´epar´ees.
Partie I (` a r´ ediger sur une copie s´ epar´ ee)
Exercice 1 (6 points)
Soit (E,k.k) unR-espace vectoriel norm´e de dimensionn, et Kun compact deEtel que 0∈K. On note◦
A={u∈ L(E)|u(K)⊂K}.
1. Quelle est la dimension de l’espace vectorielL(E) ? 2. Exhiber un ´el´ement deA.
3. Soit u ∈ L(E) : rappeler pourquoi u est automatiquement continue et donner la d´efinition de kukop. Montrer que, si la suite (uk) converge vers udans (L(E),k.kop), alors∀x∈E, uk(x)−−−−−→
k→+∞ u(x).
4. En d´eduire queA est ferm´e dans (L(E),k.kop).
5. Justifier l’existence de M >0 tel que∀x∈K, kxk ≤M, et der >0 tel queS(0, r)⊂K. En d´eduire que∀u∈A, ∀x∈E, ku(x)k ≤Mrkxk. Que peut-on dire dekukoppour u∈A?
6. Montrer queAest compact, puis que{detu|u∈A}est une partie born´ee deR.
7. V´erifier que pour toutu∈Aet toutk∈N∗, on auk=u◦. . .◦u∈A. En d´eduire que pour tout u∈A,|detu| ≤1.
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Exercice 2 (4 points)
Soit E l’ensemble des fonctions continues de [0; 1] dans R, et φ ∈E. Pour toutf ∈E, on note
Nφ(f) =kf φk∞ o`uf φest la fonctionx7→f(x)φ(x).
1. Montrer que Nφ d´efinit une norme surE si et seulement si on a l’´egalit´e {f ∈E |f φ= 0E}={0E} (0E d´esigne la fonction identiquement nulle).
2. On suppose quef φest identiquement nulle sur [0; 1]. Montrer quef(x) = 0 pour tout x∈φ−1(R∗). En d´eduire que si φ−1(R∗) est dense dans [0; 1], alorsNφ est une norme surE.
3. On suppose queφ−1(R∗) n’est pas dense dans [0; 1].
(a) Montrer qu’il existe x0 ∈ [0; 1], etV un voisinage de x0 dans [0; 1], tels queV ∩φ−1(R∗) =∅. En d´eduire qu’il existe un intervalle non vide ]a;b[⊂[0; 1] sur lequelφest identiquement nulle.
(b) Construire (graphiquement) une fonction f ∈E telle que f(x)>0 si x∈]a;b[
f(x) = 0 sinon En d´eduire que{f ∈E |f φ= 0E} 6={0E}.
4. Donner une condition n´ecessaire et suffisante surφpour que Nφ soit une norme surE.
5. On pose φ(x) = xsin πx
si x∈]0; 1] et φ(0) = 0. V´erifier queφ ∈E et d´eterminer φ−1(R∗). Est-ce queNφ est une norme surE?
Partie II (` a r´ ediger sur une copie s´ epar´ ee)
Exercice 3 (1 points)
L’ ensembleN ={(x, y, z)∈R3;z=x2+y2}est-il une sous-vari´et´e deR3? Si oui, d´eterminer le plan tangent en tout point deN.
Exercice 4 (5 points)
SoitE =Mn(R) l’espace vectoriel des matricesn×nr´eelles muni de la norme d’op´erateur||.||E. On rappelle que, pour tousX, Y ∈E,||XY||E≤ ||X||E||Y||E. On noteIla matrice unit´e.
On consid`ere la fonctionf :E→E d´efinie parf(X) =X3.
1. Montrer que f est de classe C1 et montrer, en tout point X de E, la formule :
∀H ∈E Df(X).H=X2H+XHX+HX2. D´eterminer en particulierDf(I).
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2. Montrer que, pour toutH ∈E,
||(Df(X)−Df(Y)).H||E≤3(||X||E+||Y||E)||X−Y||E||H||E
et en d´eduire l’in´egalit´e :
||Df(X)−Df(Y)|| ≤3(||X||E+||Y||E)||X−Y||E
3. On consid`ere dans cette question la restriction de f `a la boule ouverte B=B(I,13).
(a) Montrer que pour tousX, Y ∈B,||Df(X)−Df(Y)|| ≤8||X−Y||E. (b) En d´eduire que pour tout X ∈ B, ||13Df(X)−IdE|| < 89 et que
Df(X)∈Gl(E).
(c) Montrer quef|B est unC1-diffomorphisme local, et quef(B) est un ouvert.
(d) On d´efinit g : B →E par la formule g(X) =f(X)−3X. Montrer quegest diff´erentiable. En appliquant l’in´egalit´e des accroissements finis `ag, montrer que, pourX, Y ∈B,
kg(X)−g(Y)k ≤ 8
3||X−Y||E.
(e) En d´eduire que la restriction de f `a B est injective et r´ealise un diff´eomorphisme de classeC1 deB surf(B).
Exercice 5 (4 points)
Soitnet pdeux entiers, U un ouvert deRn et f etg deux applications de classe C2 de U dans Rp. On suppose qu’il existe une fonctionλ : U → R de classeC1, telle que pour touta∈U on aitDf(a) =λ(a)Dg(a).
1. Montrer que pour touti∈ {1, . . . , p}et j ∈ {1, ..., n}et pour touta∈U on a :
∂fi
∂xj(a) =λ(a)∂gi
∂xj(a).
2. En utilisant l’identit´e de Schwarz, montrer que pour touti ∈ {1, . . . , p}, tousj, k∈ {1, ..., n} et touta∈U on a
∂λ
∂xk
(a)∂gi
∂xj
(a) = ∂λ
∂xj
(a)∂gi
∂xk
(a).
3. En d´eduire que pour touti∈ {1, ..., p}les vecteurs (∂x∂λ
1(a), ....,∂x∂λ
n(a)) et (∂x∂gi
1(a), ...,∂x∂gi
n(a)) sont colin´eaires.
4. On suppose ici que U est un ouvert connexe, que p ≥ 2 et que pour tout a ∈U le rang deDg(a) est au moins ´egal `a 2. Montrer qu’alors la fonction λest constante. Montrer que, si de plus il existe b ∈U tel que f(b) =g(b) = 0, alorsf =λg.
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