R´ ediger les deux parties sur des copies S´ EPAR´ EES.

Universit´ es Paris 6 & Paris-Sud, ´ Ecole Normale Sup´ erieure, ´ Ecole Polytechnique.

M2 – Parcours de Physique Quantique

Physique statistique hors ´ equilibre - examen

Mercredi 16 d´ ecembre 2009

R´ ediger les deux parties sur des copies S´ EPAR´ EES.

Premi` ere partie

Probl` eme 1 : Obstacle en mouvement dans un superfluide (∼ 4)

Nous ´ etudions le probl` eme du mouvement d’un obstacle dans un superfluide. La phase condens´ ee de Bose est d´ ecrite par l’´ equation (de champ moyen) de Gross-Pitaevskii pour la fonction d’onde du condensat

ψ(x, t)

i ∂

∂t ψ(x, t) = − 1 2m

∂

∂x

ψ(x, t) +

U (x, t) + (|ψ(x, t)|

)

ψ(x, t) (1)

o` u (|ψ|

) d´ ecrit l’interaction entre bosons. ( ~ = 1). Nous traitons le probl` eme en dimension d = 1 pour simplifier

. ` A l’´ equilibre ψ(x, t) = √

n

e

o` u la densit´ e est reli´ ee au potentiel chimique par µ = (n

). Nous nous int´ eressons aux faibles excitations ψ(x, t) = √

n

+ ϕ(x, t)

e

avec

|ϕ| √

n

. On a donc n(x, t) = n

+ δn(x, t) ' n

+ 2 √

n

Re[ϕ(x, t)].

La r´ eponse de la densit´ e est reli´ ee ` a la perturbation (U (x, t)) via la compressibilit´ e (en Fou- rier) δ n(q, ω) = ˜ ˜ χ(q, ω) ˜ U (q, ω). ` A partir de l’´ equation de Gross-Pitaevskii on pourrait montrer (cela n’est pas demand´ e) que

˜

χ(q, ω) = n

m

q

ω

− ω

(q) (2)

o` u ω

(q) = q

c

+

donne le spectre de Bogoliubov (o` u c

=

n

(n

)).

1. Discuter physiquement la structure de la fonction de r´ eponse.

2. Comment modifier l’´ equation (2) pour satisfaire le principe de causalit´ e ?

3. On consid` ere un obstacle en mouvement, induisant la perturbation U (x, t) = f (x − V t) avec V > 0, o` u f(x) est une fonction positive, rapidement d´ ecroissante, localis´ ee autour de x = 0. La transform´ ee de Fourier correspondante est ˜ U (q, ω) = 2πδ(ω −qV ) ˜ f (q) o` u ˜ f (q) est la TF de f (x). Montrer que les fluctuations de densit´ e sont de la forme δn(x, t) = Φ(x−V t) o` u Φ = K ∗ f . Exprimer

K(x) comme une int´ egrale.

4. Cas V < c.– Calculer explicitement K(x). Donner une expression approch´ ee du profil de densit´ e δn(x, t) en supposant que la fonction K est “´ etroite” comparativement au profil de U (x, t). Dessiner l’allure de n(x, t).

5. Cas V > c.– Calculer K(x). Tracer l’allure de n(x, t). Commenter.

6. Que laissent penser ces observations sur la dissipation dans les deux cas ?

1. Normalis´e selonR

dx|ψ(x, t)|²=N, o`uN est le nombre de bosons.

2. Rappelons toutefois que la condensation de Bose n’existe pas end= 1. Consid´ererd >1 ne changerait pas fondamentalement notre analyse.

3. En simplifiant, faire attention `a (x+ i0⁺)²=x²+ i0⁺sign(x).

Probl` eme 2 : Effet Hall (∼ 7)

Nous ´ etudions la conductivit´ e d’un gaz d’´ electrons se mouvant dans un plan

xOy soumis ` a un champ magn´ etique perpendiculaire homog` ene (figure 1).

Rq : Les op´ erateurs sont rep´ er´ es avec des ˆ. Ces derniers peuvent ˆ etre ´ epargn´ es au correcteur.

A/ Hamiltonien de Landau.– La dynamique d’une particule de charge e (suppos´ ee sans spin pour simplifier) est d´ ecrite par l’Hamiltonien :

H ˆ

= 1

2 m ~ ˆ v

= 1 2m

h ~ p ˆ − e ~ A(ˆ ~ r) i

(3) o` u le potentiel vecteur d´ ecrit un champ magn´ etique uniforme : rot A ~ = ∂

A

− ∂

A

= B.

1. Donner la dimension

de ω

=

.

A.N. : calculer ~ ω

(en eV) pour B = 1 T. Convertir cette ´ energie en Kelvin.

2. Montrer que [ˆ v

, v ˆ

] = i

.

3. On introduit ˆ v

(t)

= e

v ˆ

e

o` u a ∈ {x, y}. Donner les ´ equations du mouvement de Heisenberg

ˆ v

(t) = ? et

ˆ v

(t) = ?

B/ Conductivit´ e pour un ´ electron.– Nous introduisons un champ ´ electrique homog` ene, d´ ecrit par la perturbation ˆ H

(t) = −eE(t)ˆ x. L’invariance par translation du probl` eme nous permet de consid´ erer la densit´ e de courant moyenn´ ee spatialement ˆ j

def

= R

Surf

ˆ j

(~ r) =

ˆ v

. La conductivit´ e relie le champ ´ electrique ext´ erieur ` a la densit´ e de courant :

h ˆ j

(t)i

= Z

dt

X

b

σ

(t − t

) E

(t

) + O(E

) (4) 1. (Question importante) Exprimer σ

(t) et σ

(t) sous la forme de deux corr´ elateurs

du probl` eme ` a l’´ equilibre.

2. On ´ ecrit σ

(t) =

θ(t) X(t) et σ

(t) =

θ(t) Y (t). Calculer ˙ X(t) et ˙ Y (t). Pr´ eciser la valeur de X(0) et Y (0).

3. On introduit Z(t)

= X(t) + iY (t). Montrer que Z(t) =

e

. D´ eduire l’expression de σ

(t) et σ

(t). Expliquer physiquement la d´ ependance temporelle de ce r´ esultat.

C/ Conductivit´ e du gaz d’´ electrons.– Nous consid´ erons maintenant un gaz de N ´ electrons (les interactions entre ´ electrons ne sont pas consid´ er´ ees).

1. Comment interpr´ etez-vous que le r´ esultat pour σ

(t) soit ind´ ependant de la moyenne statistique/quantique ? D´ eduire la conductivit´ e du gaz de N ´ electrons (on note n = N/Surf la densit´ e surfacique moyenne d’´ electrons).

2. Calculer Σ(ω)

= ˜ σ

(ω) + i˜ σ

(ω). Commenter la structure analytique. D´ eduire la conduc- tivit´ e Hall du gaz σ

= ˜ σ

(ω = 0) = −˜ σ

(ω = 0) (pour B 6= 0).

3. On rappelle que le spectre de Landau de l’Hamiltonien (3) est E

= ~ ω

(n + 1/2), n ∈ N o` u chaque niveau de Landau est d´ eg´ en´ er´ e N

=

fois, o` u h = 2π ~ . Exprimer la conductivit´ e Hall en fonction du facteur de remplissage ν

=

LL

.

4. Relier la r´ esistance Hall R

= V /I (V et I sont d´ efinis sur la figure 1 ` a la conductivit´ e

Hall. Donner la valeur num´ erique de h/e

en kΩ. Commenter la courbe exp´ erimentale de

la figure 1.

e−

Ly

L_x E B

V

I

A x y

Figure 1 – A gauche : ` Gaz d’´ electrons bidimensionnel soumis ` a un champ magn´ etique per- pendiculaire homog` ene et ` a un champ ´ electrique longitudinal. A droite : ` R´ esistivit´ e Hall et longitundinale d’un gaz d’´ electrons bidimensionnel.

D/ Epilogue.– ´ Le calcul que nous venons de faire, qui a montr´ e que ρ

∝ B, ne permet pas d’expliquer la quantification mise en ´ evidence exp´ erimentalement. Pour cela nous devons invo- quer la pr´ esence de d´ esordre (impuret´ es, d´ efauts structurels) expliquant la localisation d’une par- tie des ´ etats quantiques, et donc leur non-participation au transport ´ electronique. L’effet remar- quable est que la contribution des ´ etats d’un niveau de Landau ` a la conductivit´ e est insensible ` a la pr´ esence du d´ esordre. Pour davantage d’informations, on pourra aller lire la conf´ erence Nobel de K. von Klitzing : http ://nobelprize.org/nobel

prizes/physics/laureates/1985/klitzing−lecture.html

Annexe :

• Convention pour les transformations de Fourier : f(q, ω) = ˜

Z

dtdx e

f(x, t) et f(x, t) = Z dω

2π dq 2π

f(q, ω) ˜ e

(5)

• Quelques constantes fondamentales : e ' 1.602 10

C, ~ ' 1.054 10

J.s et k

' 1.380 10

J.K

.

4. Il s’agit des ´electrons pi´eg´es `a une interface de semiconducteurs GaAs/GaAlxAs1−x, par exemple.

5. Ne pas confondre “dimension” et “unit´e”.

Seconde partie

Probl` eme 3 : Nombre de Prandtl, viscosit´ e non-lin´ eaire et mod` ele BGK pour un gaz dilu´ e (∼ 10)

Les diff´ erentes questions (et a fortiori les parties A et B) sont dans une large mesure ind´ ependantes Les ph´ enom` enes de transport dans un gaz dilu´ e peuvent ˆ etre d´ ecrits par une ´ equation de Boltzmann. On se propose ici de travailler dans un cadre classique, avec une forme simplifi´ ee de l’op´ erateur de collision

:

∂

∂t + ~ v · − →

∇

f (~ r, ~ v, t) = − f − f

τ , (6)

o` u f (~ r, ~ v, t) d´ esigne la fonction de distribution des vitesses au point ~ r ` a l’instant t, et τ est une constante de temps (positive). La fonction de distribution f

est associ´ ee ` a l’´ etat d’´ equilibre thermodynamique local : avec des notations usuelles,

f

(~ r, ~ v, t) = n m 2πkT

exp

"

− m (~ v − ~ u)

2kT

#

(7) o` u n d´ esigne la densit´ e volumique de particules. On se placera en dimension d = 3, bien que tous les calculs puissent ˆ etre men´ es ` a terme dans une dimension quelconque sans difficult´ e additionnelle. On notera que la solution d’´ equilibre local f

fait intervenir le champ de vitesse local ~ u(~ r, t) et le champ de temp´ erature locale T(~ r, t), qui v´ erifient :

n~ u = Z

~ vf d~ v = Z

~

vf

d~ v et 3 n k m T =

Z

(~ v − ~ u)

f d~ v = Z

(~ v − ~ u)

f

d~ v. (8) Une fois l’´ equation (6) r´ esolue pour certaines conditions initiales et aux limites, on peut obtenir le flux de chaleur J ~

et le tenseur des pressions via :

J ~

= m 2

Z

~ ξ ξ

f d~ ξ

← → P = m

Z

ξ ~ ~ ξ f d~ ξ

o` u l’on a pos´ e ~ ξ = ~ v − ~ u. (9)

A/ Conductivit´ e thermique, viscosit´ e, et nombre de Prandtl Le but est ici de calculer le nombre de Prandtl du gaz, d´ efini par

P r = η c

κ (10)

o` u η d´ esigne la viscosit´ e dynamique, κ est le coefficient de conductivit´ e thermique, et c

est la chaleur sp´ ecifique par unit´ e de masse ` a pression constante. Dans toute cette question A, on se limitera ` a une solution perturbative du probl` eme g´ en´ eral (6), que l’on cherchera de la forme f = f

+ f

, o` u la correction f

est d’ordre 1 en τ .

A-1/ (Pr´ eliminaires, pas essentiels pour la suite) Avec des arguments dimensionnels (sans cal- cul), indiquer la d´ ependance de η et κ par rapport aux param` etres du probl` eme (τ , k, la densit´ e n, la temp´ erature T . . . ). Quelle conclusion peut-on en tirer concernant le nombre de Prandtl ?

6. Cette approximation `a un temps de relaxation se trouve dans la litt´erature sous le nom de “mod`ele BGK”

(Bhatnagar, Gross, Krook).

A-2/ Dans un premier temps, on souhaite calculer la conductivit´ e thermique κ. Pour ce faire, on suppose le gaz au repos (et donc ` a pression nT constante), soumis ` a un gradient de temp´ erature stationnaire suivant l’axe Ox. Calculer f

. En d´ eduire le flux de chaleur J ~

. Montrer que

κ = 1 6 m τ ∂

∂T Z

v

f

d~ v

. (11)

Calculer finalement κ.

y

x

Figure 2 – G´ eom´ etrie consid´ er´ ee pour l’´ ecoulement de cisaillement uniforme (laminaire et stationnaire), avec une densit´ e n = cste. Le champ de vitesse ~ u repr´ esent´ e est tel que u

= ay.

La temp´ erature est ind´ ependante du point ~ r.

A-3/ Afin de calculer la viscosit´ e, on se place dans des conditions isothermes, en consid´ erant un ´ ecoulement laminaire et stationnaire avec un profil de vitesse d’´ ecoulement ~ u = a y x, o` ˆ u la fr´ equence a d´ esigne le taux de cisaillement, et ˆ x est un vecteur unitaire de l’axe des x (voir la figure 2). Il s’agit d’un ´ ecoulement de cisaillement uniforme pour lequel la force visqueuse par unit´ e de surface (c’est-` a-dire la composante xy du tenseur des pressions) s’´ ecrit

P

= −η ∂u

∂y = −η a. (12)

Calculer la correction f

, puis P

, et en d´ eduire la viscosit´ e.

A-4/ Rappeler la valeur de la chaleur sp´ ecifique c

dans le cadre des approximations retenues ici (on supposera le gaz monoatomique), et donner pour finir l’expression du nombre de Prandtl.

Pour la plupart des gaz dilu´ es, on a P r ' 2/3. Que peut-on en conclure ?

A-5/ (subsidiaire) Quelle est la valeur du nombre de Prandtl Pr en dimension d quelconque ? B/ Ecoulement de cisaillement et viscosit´ e non-lin´ eaire

Les consid´ erations pr´ ec´ edentes sont valables dans la limite dite Newtonienne (faible taux de cisaillement, i.e. a → 0). Nous nous proposons d´ esormais, de nouveau pour l’´ ecoulement de cisaillement uniforme (cf Figure 2), de calculer la viscosit´ e non-lin´ eaire η(a), que nous d´ efinirons naturellement par le rapport −P

/a (cf par exemple l’´ equation (12)).

B-1/ Pour aborder ce probl` eme, il est judicieux de se placer dans le r´ ef´ erentiel lagrangien, c’est-

`

a-dire le r´ ef´ erentiel mobile du centre de masse. Nous cherchons ainsi des solutions de l’´ equation de Boltzmann, homog` enes dans ce r´ ef´ erentiel, et donc de la forme

f (~ r, ~ v, t) = f e (~ v − ~ u, t) (13) o` u ~ u = ayˆ x est la vitesse locale au point ~ r. Montrer que l’´ equation (6) s’´ ecrit alors

∂

∂t − a ξ

∂

∂ξ

f e ( ξ, t) = ~ − f e − f

τ . (14)

Bien entendu, ξ

et ξ

d´ esignent les composantes cart´ esiennes de ξ ~ = ~ v − ~ u. Notre formulation pr´ esente l’int´ erˆ et d’´ eliminer toute d´ ependance spatiale de la description (f

ne d´ epend que de ~ ξ et t.).

B-2/ En int´ egrant l’´ equation (14) avec des poids bien choisis, ´ etablir les relations suivantes dnkT

dt = −b a P

, dP

dt + P

τ = −c P

, dP

dt + P

τ = nkT

τ , (15) o` u b et c sont des coefficients num´ eriques dont on donnera la valeur.

B-3/ En d´ eduire que l’´ equation d’´ evolution de la temp´ erature se met sous la forme d

dt + 1 τ

d

dt T = b a

τ T. (16)

Sans calcul, commenter succinctement le comportement temporel de T (croissance ? d´ ecroissance ?).

Quel ph´ enom` ene physique ce comportement traduit-il ? Peut-on trouver des solutions station- naires au probl` eme ?

B-4/ Comment se comporte, aux temps longs, la solution de (16) ? Indication : l’identit´ e suivante 18

1 + 4

3 sh

x

sh

x = ch(6x) − 1 (17)

permet de trouver celle des racines du polynˆ ome X(1 + X)

= b(aτ )

, qui a la plus grande partie r´ eelle.

B-5/ Montrer qu’aux temps longs, la viscosit´ e adimensionn´ ee η

= − P

a τ nkT devient ind´ epen- dante du temps. Quelle en est l’expression ?

B-6/ Montrer que l’on retrouve bien les r´ esultats de la partie A.

B-7/ Un fluide est dit rh´ eo´ epaississant si sa viscosit´ e croˆıt avec le taux de cisaillement ; on parle de fluide rh´ eofluidifiant dans le cas contraire. Dans quelle cat´ egorie notre gaz dilu´ e ´ emarge t-il ? B-8/ On cherche d´ esormais ` a obtenir une information plus microscopique que celle qui est pr´ esente dans les moments de la distribution de vitesse. On d´ efinit une vitesse r´ eduite

~ c =

r m

2kT ~ ξ , (18)

dont on cherche la densit´ e de probabilit´ e aux temps longs sous une forme d’´ echelle : f e

(~ c) = 1

n 2kT

m

f e ( ~ ξ, t). (19)

On s’int´ eresse ainsi ` a un sc´ enario d’´ evolution auto-similaire de f e ( ~ ξ, t), o` u toute la d´ ependance temporelle est encod´ ee dans la temp´ erature. Par souci de simplicit´ e, on se limite au cas c

= 0 (i.e. ξ

= 0), et on note ~ c

la composante transverse [couple (c

, c

)], de module c

= p

c

+ c

. Etablir l’´ equation diff´ erentielle v´ erifi´ ee par f e

(~ c

), que l’on supposera isotrope (fonction uni- quement de c

). Montrer ensuite que

f e

(~ c

) = 1

π

λ c

Γ 3

2 − 1 λ , c

o` u λ = 4 3 sh

1

6 ch

1 + 9a

τ

(20) et Γ(x, ) =

Z

t

e

dt d´ esigne la fonction Gamma incompl` ete

B-9/ Mettre en ´ evidence un taux de cisaillement critique a

, au del` a duquel f e

(~ c

) est singuli` ere au voisinage de ~ c

= ~ 0. Pr´ eciser la valeur de a

et discuter le comportement de f e

(~ c

) au voisinage de l’origine.

R´ ef´ erences : R.W. Zwanzig, J. Chem. Phys. 71, 4416 (1979) ;

V. Garz´ o and A. Santos, Kinetic Theory of Gases in Shear Flows, Kluwer Academic, 2003.

pour des d´ eveloppements r´ ecents (syst` emes dissipatifs), V. Garz´ o & E. Trizac, arXiv :0911.3290.