´Electronique non lin´eaire

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Effet Joule Puissance Composants non lin´eaires

Multiplieur Amplificateur op´erationnel Soustracteur Int´egrateur Comparateur simple La diode

Electronique non lin´ ´ eaire

JR Seigne MP*,Clemenceau Nantes

September 7, 2021

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1 Loi d’Ohm

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Les deux formes de la loi d’Ohm Magn´etor´esistance

2 Effet Joule 3 Puissance

4 Composants non lin´eaires Multiplieur

Amplificateur op´erationnel Soustracteur

Int´egrateur

Comparateur simple La diode

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Hypoth` eses

On consid`ere un ´electron d’un milieu conducteur. Il subit les forces :

• Poids n´eglig´e : m~g

• Force ´electrique : −e~E

• Force magn´etique n´eglig´ee : −e~v∧B~

• Force exerc´ee par l’environnement assimil´ee `a une force de frottement fluide : −h~v

L’´equation diff´erentielle du mouvement est :

md~v

dt =−eE~ −e~v∧B~ −h~v+m~g Le r´ef´erentiel du conducteur est suppos´e galil´een.

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Simplification

On n´eglige le poids. On fait apparaˆıtre la pulsation cyclotron

~

ω_c = eB~

m . L’´equation diff´erentielle devient alors : d~v

dt +~v τ =−e

m~E+~ωc∧~v

Nous ´etudierons deux cas de figure : sans champ magn´etique (ou en n´egligeant son effet) et avec prise en compte du champ magn´etique (effet de magn´etor´esistance).

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Champ ´ electrique statique et uniforme

On poseτ =m/h, l’´equation diff´erentielle est donc : d~v

dt +~v τ =−e

mE~

La solution g´en´erale est de la forme~vg =A~exp−t

τ, la solution particuli`ere~v_p =−eτ

m E~. Avec les conditions initiales, on trouve l’expression suivante :

~ v =

~ v0+ eτ

m~E exp

−t τ

−eτ mE~

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Champ ´ electrique harmonique et uniforme

d~v dt +~v

τ =−e

mE~₀expjωt avec ~E₀ =E~0expjϕ0.

La solution g´en´erale est toujours de la forme~v_g =~Aexp−t τ, la solution particuli`ere~vp doit ˆetre cherch´ee sous forme complexe :

(jω+ 1

τ)~v_p =−e

mE~₀expjωt ce qui donne :

~v =~Aexp

−t τ

− eτ m(1 +jωτ)~E

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Densit´ e de courant

Par d´efinition, ladensit´e volumique de courant est :

~j =ρm~v =−ne~v

o`u ρm est la charge volumique mobile,n est la densit´e volumique de particules charg´ees mobiles par unit´e de volume du conducteur (on ne consid`ere que des ´electrons). On a donc :

~j est en A·m⁻² et quei =x

S

~j·d~S

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R´ egime permanent

Au bout de quelquesτ ≪10⁻¹⁰s, on peut consid´erer que exp−t/τ ≃0. Le r´egime transitoire est termin´e. La vitesse de l’´electron est proportionnelle au champ ´electrique :

Statique ~v =−eτ m ~E

~j = ne²τ

m E~ =γ0~E

Harmonique ~v =− eτ

m(1 +jωτ)~E =γ~E

~j = γ0

1 +jωτE~

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Statique ou ARQS

La densit´e de courant~j est proportionnelle au champ ´electrique

~E :

Loi d’Ohm locale : ~j =γ ~E = ne²τ m E~

o`uγ en Ω⁻¹·m⁻¹ est la conductivit´e ´electrique du conducteur.

A cette loi locale, valable en tout point du conducteur,` correspond une loi globale pour la totalit´e du conducteur :

Loi d’Ohm globale : u =R i

avecR= 1 γ

ℓ

S pour un conducteur de section S et de longueur ℓ. R en Ω est la r´esistance ´electrique du conducteur.

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L’´equation diff´erentielle avec pr´esence d’un champ magn´etique est pour la densit´e de courant :

τd~j

dt +~j =γ

~E− 1 ne~j∧B~

En statique, on obtient :

~j =γ

E~ +R_H~j∧B~ AvecB~ =B_θ~e_θ etE~ =Ez~ez, on arrive `a :

~j =−γRHjzB_θ~er +γ(Ez +RHjrB_θ)~ez

La densit´e de courant~j n’est plus colin´eaire au champ

´electriqueE~.

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Diminution de la conductivit´ e

En identifiant les composantes de~j, on a :







j_r =−γR_HB_θj_z j_z =γ(Ez+R_HB_θj_r)

j_z = γ

1 +γ²R_H²B_θ²E_z

Tout se passe comme si la conductivit´e ´etait diminu´ee par rapport `a la situation o`u le champ magn´etique est nulB_θ = 0 et o`u la conductivit´e ´etait γ.

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Calcul de la r´ esistance

L’intensit´e est donn´ee par : i =x

~j·d~S =x

~j·dS~ez =x

jz(r)rdrdθ L’invariance par rotation d’angleθ et la relationu =Ezℓ permet d’´ecrire :

i =uγπ ℓ

Z a 0

2r 1 +^γ_n²₂^B_e2⁰²_a^r₂²

dr

On posex = nea γB0

, l’int´egrale devient :

i =uγπa² ℓ

n²e² γ²B₀²

Z ^γB0

ne

0

2x

1 +x²dx =uγπa² ℓ

n²e²

γ²B₀² ln(1 + γ²B₀² n²e²)

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Magn´ etor´ esistance

En l’absence de champ magn´etique : R = u i = 1

γ ℓ πa². En pr´esence du champ magn´etique propos´e ici, on trouve :

R= 1 γ

ℓ πa²

γ²B₀² n²e² ln(1 + γ²B₀²

n²e²)

x²≥ln(1 +x²), la r´esistance est plus ´elev´ee. On retrouve le cas sans champ magn´etiqueB0 = 0 en effectuant un

d´eveloppement limit´e de ln(1 +x²)≃x².

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Puissance m´ ecanique

La puissance de la force ´electrique est : P_1e⁻=−eE~ ·~v

En r´egime permanent, nous avons vu que~v =−eτ m~E. La puissance fournie `a un ´electron est donc proportionnelle au carr´e du champ ´electrique :

P_1e⁻ = e²τ m ~E² Si l’on raisonne par unit´e de volume :

p_vol = ne²τ

m ~E²=γ ~E²=~j·E~ =~j² γ

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Puissance ´ electrique

Comme pour la loi d’Ohm, il y a une forme locale et une forme globale pour la loi de Joule :

Loi de Joule locale : pvol =~j ·~E =γ ~E²=~j² γ

En calculant la puissance globale pour le conducteur de volume Sℓ, on a :

pJoule= (~j·E~)Sℓ= (Eℓ) (jS)

Loi de Joule globale : pJoule =u i

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Puissance moyenne

La puissance instantan´ee estp(t) =u(t)i(t), tr`es souvent seule la puissance moyenne est significative :

Evolution quelconque :´ P_moy = 1

∆t

Z t₀+∆t t₀

u(t)i(t)dt

´Evolution p´eriodique : Pmoy = 1 T

Z t₀+T t0

u(t)i(t)dt

La puissance dans un conducteur ohmique en continu est : P =Pmoy =RI² = U²

R puisquei(t) =I et u(t) =U =RI ∀t.

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R´ esistance en r´ egime sinuso¨ıdal

On consid`ere la r´esistanceR = 1/G aliment´ee par l’intensit´e i(t) =Imcosωt, la puissance instantan´ee est

p(t) =RI_m² cos²ωt. La puissance moyenne est donn´ee par : Pmoy = 1

T

Z t₀+T t0

p(t)dt =RI_m² 1 T

Z t₀+T t0

cos²ωtdt Nous savons que la moyenne de la fonction cos²ωt est 1/2 :

1 T

Z t₀+T t₀

cos²ωtdt = 1 2π

Z α₀+2π α₀

cos²(ωt) (ωdt) = 1 2

P_moy =RI_m² 2 = U_m²

2R =GU_m²

2 =R I_eff² =G U_eff²

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Valeur efficace

Son carr´eS_eff² est la moyenne du carr´e de la grandeur instantan´ees²(t) :

S_eff² =hs²(t)i= 1

∆t

Z t₀+∆t t₀

s²(t)dt

u(t) =U0+U_mcos (ωt+ϕ) Tension efficace : Ueff =

r

U₀²+U₁² 2 Utile pour les calculs des valeurs moyennesh1

2m~v²i,h1 2kx²i, h1

2Cu²i, h1 2Li²i. . .

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Grandeurs mesur´ ees

Contrˆoleur num´erique Oscilloscope num´erique

modeDC U₀ average mode DC U₀

average mode AC 0

modeAC +DC r

U₀²+U₁²

2 RMS modeDC

r

U₀²+U₁² 2

modeAC U1

√2 RMS modeAC U1

√2

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Cas g´ en´ eral en r´ egime sinuso¨ıdal

Une imp´edanceZ =R+jX = 1/Y, dont le module est

|Z|=√

R²+X², est travers´ee par l’intensit´ei(t) =Imcosωt.

La tension `a ses bornes est :

u(t) =|Z|Imcos(ωt+ϕ)avecϕ= argu

i = argZ = arctanX R AvecU_m =|Z|I_m, la puissance moyenne dissip´ee est :

P_moy = 1 T

Z t0+T t₀

p(t)dt= U_mI_m T

Z t0+T t₀

cosωtcos(ωt+ϕ)dt

P_moy =U_effI_eff cosϕ=ℜ(Z)I_eff² =ℜ(Y)U_eff²

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Utilisation des complexes

On peut utiliser les complexes pour obtenirla puissance moyennemais il ne faut pas les utiliser pour la puissance instantan´ee :







i(t) =Imexpjωt

u(t) =U_mexpj(ωt+ϕ)

hp(t)i=hi(t)u(t)i= 1

2ℜ[i(t)u^∗(t)]

Pmoy =hp(t)i= 1

2ℜ[UmImexp−jϕ] = 1

2UmImcosϕ

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Il fournit en sortie une tension image du produit des deux tensions d’entr´ee :

us(t) =k ue1(t)×ue2(t) = ue1(t)×ue2(t) V0

Le coefficientk - inverse d’une tension - correspond `a une tensionV<sub>0</sub> = 10V pour le multiplieur tr`es courant AD534.

Multiplieur×k

b

b

e₁ e2

is 6= 0

u_s i2 = 0

i1= 0

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On multiplieue1(t) =Um1cosω1t etue2(t) =Um2cosω2t : u_s(t) = Um1Um2

V0

cosω1t cosω2t

us(t) = Um1Um2

2V0

[cos(ω1+ω2)t+ cos(ω1−ω2)t]

t us(t)

bbb b

U_m

−Um

b b

b

2π ω₂ π

ω₂ 4π

ω₂

0 _4π

ω₁

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On constate sur le graphique que la tensionu_s(t) issue du produit de signaux de pulsationsω1 et ω2 est bien la superposition d’un signalhaute fr´equence correspondant `a ω1+ω2 et d’un signalbasse fr´equence ω1−ω2 :

t u_s(t)

bbb

U_m

−Um

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Con¸cu pour r´ealiser des op´erations math´ematiques courantes.

b bb b

+ -

b b

ε

us

V₊ V₋ ^i+≃0

i−≃0

i_s 6= 0

µ0≃10⁶ f0= ^ω₂π⁰ ≃10Hz

R´egime lin´eaire : us =µ ε=µ(V+−V₋) = µ0

1 +j ω ω0

ε R´egime de saturation : us = +Vsat et us =−Vsat pour

ε >0resp. <0.

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ε u_s

bbb

V_sat

−Vsat

Saturation

Saturation

R´egimelin´eaire

R´egime lin´eaire : u_s =µ ε avec|µ| ≫1 autorise `a consid´ererε≃0.

R´egime de saturation : u_s = +Vsat pour ε >0 et us =−Vsat pourε <0.

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Soustracteur

b bb b

+ -

b b

b bbbb b

b

us

u1

u₂

R1

R₂ R₁

R2

Montage soustracteur en r´egime lin´eaire : u_s = R2

R₁(u2−u1)

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Loi des noeuds en terme de potentiel. . .

On travaille sur l’exemple du nœud suivant :

bb

b V_N

b b

b b

b

b

i₀

b

b b

non mod´elis´ee

par une imp´edance V1

V2

V3

Z₁ Z₂

Z₃ N

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. . . encore appel´ ee th´ eor` eme de Millmann

La loi des noeuds donne : i₀+V₁−V_N

Z1

+V₂−V_N Z2

+ V₃−V_N Z3

= 0 Appliquer le th´eor`eme de Millmann consiste `a exprimer le potentiel au nœudN :

V_N =

i0+V1

Z₁ + V2

Z₂ + V3

Z₃ 1

Z₁ + 1 Z₂ + 1

Z₃

= i0+Y1V1+Y₂V2+Y₃V3

Y₁+Y₂+Y₃

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Retour au soustracteur

V₋= u1

R1

+ us

R2

1 R₁ + 1

R₂

et V+= u2

R1

+ 0 R2

1 R₁ + 1

R₂

L’amplificateur op´erationnel est id´eal et en r´egime lin´eaire : ε=V+−V₋ = 0 donc V+=V₋

On peut donc en d´eduire le lien entre les tensions d’entr´eeu1

etu₂ et la tension de sortie :

us = R₂ R1

(u2−u1)

Le montage est un v´eritable soustracteur pourR1 =R2.

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b bb b

+ -

b bbb b b

u_e

u_s R

C

Montage int´egrateur en r´egime lin´eaire : En notation fr´equentielle : u_s =− 1

jRCωu_e En notation temporelle : u_s(t) =− 1

RC Z

u_e(t)dt

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Absence de r´etroaction entre la sortie et les entr´ees + et −.

b bb b

+ -

b b

ε

u_s u1

u2

Montage comparateur simple en r´egime non lin´eaire : Saturation haute 1 : u₁ >u₂,ε >0 etu_s = +Vsat

Saturation basse 0 : u₁ <u₂,ε <0 etu_s =−V_sat

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Les deux mod` eles initiaux

b bid

ud

u i

i=i⁰expα(u−U^se

uil) i=

G^d

yn

(u−U^s

eu)il

b b

0 Interrupteur ouvert Useuil≃0,7V

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Mod` ele simplifi´ e avec seuil

b bid

ud

u_d i_d

i^d= i⁰expα(u^d

−U^s

eu)il

ud=Useuil∀id>0

b b

0 Interrupteur ouvert Useuil≃0,7V

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Mod` ele id´ eal

b bid

ud

u_d i_d

i^d= i⁰exp(u^d

− U^s

eu)il

Interrupteurferm´eud=0∀id>0

b b

0 Useuil≃0,7V

Interrupteur ouvert id = 0

∀ud <0