V. Nouvelle construction de la fonctionnelle de Poisson lin´eaire et g´en´eralisation non lin´eaire conjecturale

V. Nouvelle construction de la fonctionnelle de Poisson lin´eaire et g´en´eralisation non lin´eaire conjecturale

Il est int´eressant de chercher `a raffiner la construction du paragraphe pr´ec´edent et `a d´efinir des termes compl´ementaires “non cuspidaux”

K_ψ^G,ρ: (G×G×Qr)(F)\(G×G×GLr)(A)→C et

Ke_ψ^G,ρ: (G×G×Q^op_r )(F)\(G×G×GLr)(A)→C permettant de r´ealiser l’´egalit´e

K_ψ^G,ρ+K_ψ^G,ρ=Ke_ψ^G,ρ+Ke_ψ^G,ρ

sur (G×G×GLr)(A) tout entier, et donc de d´efinir directement un noyau automorphe (G×G×GLr)(F)\(G×G×GLr)(A)→C

comme pr´evu dans la conjecture I.11.

On doit imp´erativement trouver un tel raffinement si l’on cherche `a construire des noyaux du transfert global parρ qui soient compatibles avec le transfert local en toute placex∈ |F| sans exception. On part alors d’une famille de fonctions locales deψ_(r)-type de Whittaker

K_ψ^G,ρ:G(F_x)×GL_r(F_x)→C

qui sont des “noyaux locaux” du transfert parρen toute placex∈ |F|: cela signifie que leur d´ecomposition spectrale ne fait apparaˆıtre que des paires (π_x, π⁰_x) de repr´esentations lisses admissibles irr´eductibles unitaires deG(F_x) et GL_r(F_x) telles queπ_x⁰ soit le transfert local deπ_xparρen un sens d´ej`a connu sans ambigu¨ıt´e.

Afin de r´ealiser ce programme, on a besoin d’une “formule de Poisson non lin´eaire avec termes de bord”

relative `a ρ(ouρr<sup>0</sup>, r<sup>0</sup> ≥2) qui s’applique `a toutes les fonctions “de typeL global” surG(A) (ouGr⁰(A)).

Autrement dit, on a besoin de d´efinir sur l’espace des fonctions de type Lglobal une fonctionnelle lin´eaire, compl´ementaire de l’´evaluation

h7→ X

γ∈G(F)

h(γ),

telle que leur somme, not´ee par convention

h7→“ X

γ∈G(F)

h(γ)”,

v´erifie la formule de Poisson

“ X

γ∈G(F)

h(γ)” = “ X

γ∈G(F)

bh(γ)”, ∀h .

Dans le but de proposer une d´efinition conjecturale d’une telle “fonctionnelle de Poisson non lin´eaire relative `aρ(ouρr⁰,r⁰ ≥2)”, on pose la d´efinition suivante :

D´efinition V.1.–

En n’importe quelle placex∈ |F| −S_ρ, consid´erons une fonction sph´erique hx:G(Ox)\G(Fx)/G(Ox)→C

qui est “de typeLlocal” relativement `aρ:GboΓF →GLr(C).

Autrement dit, elle se d´ecompose spectralement sous la forme hx(g) =|detG(g)|⁻x¹² · |detρ(g)|⁻x¹² ·

Z

ImTb_x^d

dλ·Lx

ρ, λ⁻¹, q⁻

1

x2

·hx,λ(g), g∈G(Fx),

o`udλd´esigne toujours la mesure de Plancherel sur l’espaceImTb<sub>x</sub><sup>d</sup>/S<sup>x</sup><sub>G</sub>des caract`eres unitairesλde l’alg`ebre de Hecke sph´erique H^G_x,∅ de G(F_x), et chaque g 7→ h_x,λ(g) est une fonction sph´erique, vecteur propre de valeur propreλ, et dont la d´ependance en λ∈Tb_x^d est polynomiale.

Alors, pour tout entierN ∈N, on noteh^N_x la fonction surG(Fx)d´efinie par la d´ecomposition spectrale h^N_x(g) =|det_G(g)|⁻x¹² · |det_ρ(g)|⁻x¹² ·

Z

ImTb_x^d

dλ·L_x

ρ, λ⁻¹, q⁻x¹²

·I_x^N

ρ, λ, q⁻x¹²

·h_x,λ(g), g∈G(F_x),

o`u I_x^N(ρ, λ, Z)d´esigne le polynˆome en λ∈Tb_x^d etZ qui est le produit du polynˆome Lx(ρ, λ, Z)⁻¹

et du monˆome de degr´eN qui figure dans le d´eveloppement en s´erie formelle de l’inverse Lx(ρ, λ, Z).

Remarques :

(i) On note l’´egalit´e

X

N∈N

I_x^N(ρ, λ, Z) = 1

dans l’anneau des s´eries formelles enZ `a coefficients dansC[Tb_x^d]^SxG. Elle implique que, pour toutg∈G(Fx), la s´erie

X

N∈N

h^N_x(g)

converge versh_x(g).

(ii) Pour tout entierN∈N, laψx-transform´ee de Fourierhc^N_x deh^N_x relativement `aρest `a support compact dansG(Fx).

(iii) Il est possible de g´en´eraliser la d´efinition ci-dessus `a toutes les fonctions de type L sur G(Fx) en n’importe quelle placex∈ |F|, mais nous n’en aurons pas besoin.

Cette d´efinition permet de formuler la conjecture suivante :

Conjecture V.2.–

(i) Pour toute fonction produit

h= O

x∈|F|

hx:G(A)→C

qui est de typeLglobal relatif `aρ, et pour toute placex₀∈ |F| −S_ρ en laquelle le facteur localh_x0 de hest sph´erique, la s´erie

X

N∈N

X

γ∈G(F)



h^N_x

0⊗



 O

x6=x0

hx







(γ) est convergente, et sa sommeS(h)ne d´epend pas du choix de la placex0.

(ii) La fonctionnelle lin´eaire induite sur l’espace des fonctions de typeL global relatif `aρsur G(A) h7→S(h)

est laiss´ee invariante par la ψ-transformation de Fourier relative `aρ, et il en est donc de mˆeme de la fonctionnelle

h7→



 X

γ∈G(F)

h(γ)



+



 X

γ∈G(F)

bh(γ)



−S(h) = “ X

γ∈G(F)

h(γ)”.

Remarque :

D`es lors que la partie (i) de la conjecture implique qu’elle est bien d´efinie, la fonctionnelle h7→S(h)

est invariante par translation `a gauche ou `a droite parG(F), et il en est donc de mˆeme de la fonctionnelle h7→“ X

γ∈G(F)

h(γ)”.

On prouve facilement : Proposition V.3.–

Si E est une alg`ebre finie s´eparable de degr´e r sur F, qui correspond `a une action du groupe de Galois ΓF sur l’intervalle {1,2, . . . , r}, le tore “lin´eaire”

TE= ResE/FGm, muni de la repr´esentation standard

ρ_E :Tb_EoΓ_F =



 Y

1≤i≤r

C^×



oΓ_F →GL_r(C)

de son dualTbE= Q

1≤i≤rC^×, v´erifie la conjectureV.2ci-dessus.

Plus pr´ecis´ement, les fonctions localement constantes `a support compact sur AE = A⊗F E sont les fonctions de typeL global relatif `aρE surTE(A) =A^×E, et la fonctionnelle de Poisson standard

h7→ X

γ∈E

h(γ)

co¨ıncide avec la fonctionnelle de la conjectureV.2 h7→“ X

γ∈T_E(F)

h(γ)”.

Remarque :

Cette proposition s’applique en particulier au tore lin´eaire d´eploy´eG^rm. On retrouve alors la fonctionnelle de Poisson

h7→ X

γ∈F^r

h(γ)

surA^r.

Avec plus de travail, on d´emontre au paragraphe VII.2 de [Lafforgue, 2012] : Th´eor`eme V.4.–

Le groupe lin´eaire

GLr,

muni de la repr´esentation standard de GLcr= GLr(C), v´erifie la conjecture V.2ci-dessus.

Plus pr´ecis´ement, les fonctions localement constantes `a support compact sur M_r(A) sont les fonctions

“de type L global” relatif `a la repr´esentation standard de GLcr sur GLr(A), et la fonctionnelle de Poisson standard

h7→ X

γ∈M^r(F)

h(γ)

co¨ıncide avec la fonctionnelle de la conjectureV.2 h7→“ X

γ∈GLr(A)

h(γ)”.

Remarques :

(i) La d´emonstration de ce th´eor`eme utilise

• le th´eor`eme de d´ecomposition spectrale de Langlands,

• la description par Moeglin et Waldspurger du spectre automorphe discret de GL_r,

• les propri´et´es des fonctionsLlin´eaires globales rappel´ees dans le th´eor`eme III.2,

• les estim´ees de Jacquet et Shalika pour les modules des valeurs propres de Hecke des facteurs locaux non ramifi´es des repr´esentations automorphes cuspidales unitaires de GLr(A).

(ii) Bien que nous ne l’ayons pas v´erifi´e par ´ecrit, on devrait pouvoir g´en´eraliser la d´emonstration de ce th´eor`eme jusqu’`a montrer que la conjecture de transfert automorphe global parρdeG`a GLrimplique la conjecture V.2 pour le groupe r´eductifGmuni deρ:GboΓF →GLr(C).

On rappelle que, par hypoth`ese, la repr´esentation de transfertρ: GboΓF → GLr(C) induit un homo- morphisme

ρT :Tb→Tbr= (C^×)^r

du tore maximalTb deG, dual du tore maximalb T deG, dans le tore maximalTb_r= (C^×)^r de GL_r(C).

Si ΓF agit dans GLr(C) par permutation desrvecteurs de la base canonique deC^r, cette action d´efinit uneF-alg`ebre s´eparable E de degr´er. Le dualTbE du toreTE = ResE/FGms’identifie `a Q

1≤i≤r

C^× muni de l’action par permutation de Γ_F, et l’homomorphisme

ρ_T :Tb→Tb_r= (C^×)^r=Tb_E

devient ΓF-´equivariant, donc admet un homomorphisme dual bien d´efini surF ρ^∨_T :TE→T .

Cet homomorphisme identifieT au tore quotient du tore “lin´eaire” TE = Res_E/FGm par le sous-tore Tρ

dual du conoyauTb_ρ deρ_T.

Par int´egration le long des fibres de

TE(A)→T(A), on d´eduit de la proposition V.3 :

Corollaire V.5.–

Supposons comme ci-dessus que ΓF agit sur C^r par permutation de ses r vecteurs de base, d´efinissant uneF-alg`ebre s´eparable E de degr´er.

Et supposons de plus que les homomorphismes

TE(Fx) → T(Fx), x∈ |F|, T_E(A) → T(A),

et TE(F) → T(F) induits parρ^∨_T :TE→T soient surjectifs.

Alors, associant `a la repr´esentation ρ<sub>T</sub> :TboΓ<sub>F</sub> →GL<sub>r</sub>(C)le caract`ere det_ρT :T→Gm trivial, on a : (i) Les fonctions “de typeL” local [resp. global] surT(F_x)[resp. T(A)] sont les fonctions

hx:tx7→

Z

Tρ(Fx)

dtρ·hx(txtρ) [resp. h:t7→

Z

Tρ(A)

dtρ·h(t tρ)]

d´eduites par int´egration des fonctionshx [resp. h] localement constantes `a support compact surEx = E⊗FFx [resp.A^E=E⊗FA].

(ii) Les fonctions de type Lglobal surT(A)v´erifient la conjectureV.2.

Remarque :

Pour que les hypoth`eses de surjectivit´e de ce corollaire soient v´erifi´ees, il suffit d’apr`es le “th´eor`eme 90”

de Hilbert que le noyauTρ de l’´epimorphismeρ^∨_T :TE→T soit de la forme T_ρ∼= ResE⁰/FGm

pour une certaineF-alg`ebre s´eparableE⁰.

A partir de ce corollaire, on d´` emontre dans le paragraphe VII.5 de [Lafforgue, 2012] : Th´eor`eme V.6.–

Sous les hypoth`eses du corollaireV.5ci-dessus, le groupe r´eductifGmuni deρ:GboΓF →GLr(C)v´erifie la conjectureV.2apr`es moyennisation par les op´erateurs de coefficients unipotents constants

Z

N_B(F)\NB(A)

du .

Autrement dit, pour toute fonction produit h= O

x∈|F|

hx:G(A)→C

qui est “de typeLglobal relatif `aρ”, et pour saψ-transform´ee de Fourier relative `aρ bh= O

x∈|F|

bh_x:G(A)→C, on a :

(i) Pour toute placex0∈ |F| −Sρ en laquelle le facteur localhx [resp.bhx] deh[resp.bh] est sph´erique, la s´erie

X

N∈N

Z

NB(F)\NB(A)

du· X

γ∈G(F)



h^N_x0⊗



 O

x6=x₀

hx







(γu)

[resp. X

N∈N

Z

N_B(F)\N_B(A)

du· X

γ∈G(F)



bh^N_x

0⊗



 O

x6=x0

bh_x







(u⁻¹γ)]

est convergente, et sa somme ne d´epend pas du choix de la placex₀. (ii) Les deux sommes associ´ees dans (i)`ahetbhsont ´egales.

Rappelons que l’on cherche `a construire `a partir de la fonction “cuspidale”

K_ψ^G,ρ: (G×G×Qr)(F)\(G×G×GLr)(A)→C une fonction compl´ementaire “non cuspidale”

K_ψ^G,ρ: (G×G×Q_r)(F)\(G×G×GL_r)(A)→C telle que la somme

K_ψ^G,ρ+K_ψ^G,ρ: (G×G×GL_r)(A)→C soit invariante `a gauche par (G×G×GL_r)(F) tout entier.

Une telle construction est r´ealis´ee dans le chapitre VIII de [Lafforgue, 2012] dans le cas du transfert partout non ramifi´e, c’est-`a-dire lorsqueS_ρ=∅ et queK_ψ^G,ρ

x :G(F_x)×GL_r(F_x)→Cest un noyau local du transfert local non ramifi´e par ρen toute placex∈ |F|.

Dans cette construction, la fonction compl´ementaire

K_ψ^G,ρ: (G×G×GLr)(A)→C

est d´efinie `a partir des “termes de bord” de la “formule de Poisson non lin´eaire relative `aρ” pour les fonctions de typeLglobal sur le groupe crois´eGr−1(A).

Afin de montrer que cette fonction compl´ementaire est invariante `a gauche parQ_r(F) et “non cuspidale”, on a besoin d’en savoir en peu plus sur le support de la fonctionnelle de Poisson “de bord”

h7→“ X

γ∈G(F)

h(γ)”−



 X

γ∈G(F)

h(γ)



=



 X

γ∈G(F)

bh(γ)



−S(h).

La formulation de cette propri´et´e g´eom´etrique n´ecessaire `a la construction demande d’introduire un objet g´eom´etrique auxiliaire, d´ej`a introduit par Braverman et Kazhdan, le “semi-groupe dual” de la repr´esentation de transfertρ:GboΓ_F →GL_r(C).

On rappelle d’abord la d´efinition des semi-groupes : D´efinition V.7.–

Etant donn´´ e un groupe r´eductifGsur un corps k, un semi-groupe Gde groupe Gest une vari´et´e affine int`egre qui contientGcomme ouvert dense et telle que le morphisme de multiplicationG×G→Gse prolonge en

G×G→G .

Si G est un groupe r´eductif quasi-d´eploy´e sur un corps k, muni d’un tore maximal T d´efini sur k, l’adh´erence sch´ematiqueT deT dans un semi-groupe normal Gde groupeGest une vari´et´e torique affine normale de toreT sur laquelle agit le groupe de WeylSG. On montre que, r´eciproquement, toute vari´et´e torique affine normaleT de toreT sur laquelle agitSG provient d’un semi-groupe normalGde groupeG, unique `a unique isomorphisme pr`es. Par combinaison avec la th´eorie des vari´et´es toriques, on a donc : Proposition V.8.–

Soit un groupe r´eductifGquasi-d´eploy´e sur un corpsk, muni d’un tore maximalT d´efini surk.

Se donner un semi-groupe normal G de groupe G sur k ´equivaut `a se donner, dans le r´eseau XT des caract`eres deT, un cˆone poly´edral satur´eX_T stable par l’action du groupe de WeylSG et par celle du groupe de GaloisΓk ou, ce qui revient au mˆeme, son cˆone dual X^∨

T dans le r´eseauX_T^∨ des cocaract`eres de T. Revenons maintenant `a notre groupe r´eductif G quasi-d´eploy´e sur le corps de fonctions F, et `a notre repr´esentation de tranfert

ρ:GboΓF →GLr(C) qui induit un homomorphisme

ρ_T = (ρ¹_T, . . . , ρ^r_T) :Tb→Tb_r= (C^×)^r. On peut poser :

D´efinition V.9.–

On appelle “semi-groupe dual de la repr´esentation ρ” le semi-groupe normal G de groupe G associ´e au cˆone satur´eX_T^∨ deX_T^∨=X

Tb engendr´e par les poidsρ¹_T, . . . , ρ^r_T :Tb→C^× de la repr´esentationρ ou, ce qui revient au mˆeme, par les S_G-orbites des plus hauts poids des facteurs irr´eductibles deρ:Gb→GL_r(C).

Remarque :

Cette notion avait d´ej`a ´et´e introduite par Braverman et Kazhdan, en des termes diff´erents mais ´equivalents.

On note aussitˆot :

Lemme V.10.–

(i) LorsqueG= GLr etρest la repr´esentation standard de Gb= GLr(C), le semi-groupeGdual deρn’est autre que le semi-groupe matricielMr.

(ii) Dans le cas g´en´eral, et pour tout degr´er⁰≥2, le semi-groupeGr⁰ dual de la repr´esentation crois´ee ρr⁰ :Gbr⁰oΓF →GLrr⁰(C)

s’identifie `a la normalisation du sous-sch´ema ferm´e

{(g, g⁰)∈G×M_r⁰ |det_G(g) = det(g⁰)}.

Int´eressons-nous d’abord `a la vari´et´e torique affine normaleT de toreT qui d´efinit le semi-groupe normal Gde groupe G. On a :

Lemme V.11.–

Supposons comme plus haut queΓF agit sur l’espaceC^r deGLr(C)par permutation de sesr vecteurs de base, d´efinissant uneF-alg`ebre s´eparable E de degr´er.

Alors l’homomorphisme de tores

ρ^∨_T :T_E= Res_E/FGm→T , dual deρT :Tb→ Q

1≤i≤rC^×=TbE, se prolonge en un homomorphisme de vari´et´es toriques TE = Res_E/FA¹→T

qui identifieT au quotient de TE par le sous-tore Tρ deTE dual deTbρ= Coker

Tb−−→^ρT TbE

. Remarque :

L’´enonc´e signifie que les caract`eres bien d´efinis surT sont exactement les caract`eres bien d´efinis surTE

que le sous-toreTρ deTE laisse invariants.

Il implique que tout point g´eom´etrique deT est image d’au moins un point g´eom´etrique deT_E, et que deux points g´eom´etriques deT_E ont mˆeme image dansT si et seulement si les adh´erences de leurs orbites sous l’action deT_ρ se rencontrent.

On d´eduit de ce lemme et du corollaire V.5 : Corollaire V.12.–

Sous les hypoth`eses du corollaire V.5, consid´erons toujours le tore T muni de la repr´esentation ρ<sub>T</sub> : TboΓ<sub>F</sub> →GL<sub>r</sub>(C) `a laquelle on associe le caract`ere det_ρT :T →Gm trivial.

Alors, siT^≤1 d´esigne l’ouvert deT r´eunion deT et des orbites de codimension1, les fonctions “de type L” local [resp. global] relatif `aρT

T(Fx) → C, x∈ |F|, [resp. T(A) → C]

se prolongent par continuit´e `aT^≤1(Fx)[resp. T^≤1(A)].

Remarque :

En fait, ces fonctions se prolongent par continuit´e `a T^reg(Fx) [resp. T^reg(A)] si T^reg ⊃T^≤1 d´esigne le plus grand ouvert deT au-dessus duquel le sous-toreTρ deTE agit librement dansTE.

On sait d’apr`es la th´eorie g´en´erale des semi-groupes normaux que les orbites deGsous la double action deG`a gauche et `a droite sont en nombre fini, et toutes localement ferm´ees.

Elles sont engendr´ees par les orbites deT sous l’action deT.

Deux orbites de T engendrent la mˆeme orbite deGsi et seulement si elles sont images l’une de l’autre par l’action du groupe de WeylS_G.

En particulier, les orbites de codimension 1 de G correspondent aux orbites de codimension 1 de T, modulo l’action deSG.

Utilisant ce fait, on peut d´emontrer `a partir du corollaire V.12 : Proposition V.13.–

Sous les hypoth`eses du corollaireV.5 ou du corollaireV.12, supposons en outre que ρ:GboΓ_F →GL_r(C)

induit un isomorphisme

Z^F

Gb

−→∼ Zbρ

deZ^F

Gb ={z∈Z

Gb|σ(z) =z , ∀σ∈ΓF} dans le commutateur Zbρ⊂GLr(C)de la repr´esentation ρ.

Choisissons pour

detρ:G→Gm

l’unique caract`ere d´efini sur F tel que, pour toute composante ρⁱ_T de ρ_T = (ρ¹_T, . . . , ρ^r_T) :Tb →Tb_r= (C^×)^r qui est le plus haut poids de l’une des composantes irr´eductibles de Gb−→^ρ GLr(C), on ait

hdetρ, ρⁱ_Ti=hδB, ρⁱ_Ti o`u δB :B→B/NB=T →Gm d´esigne le caract`ere modulaire.

Alors, si G^≤1 d´esigne l’ouvert de Gr´eunion deGet des orbites de codimension 1, on a : (i) Les fonctions “de typeL” local [resp. global] relatif `aρ

G(Fx) → C, x∈ |F|, [resp. G(A) → C]

se prolongent par continuit´e `aG^≤1(F_x)[resp. G^≤1(A)].

(ii) Pour tout degr´er⁰≥2, les fonctions “de typeL” local [resp. global] surG_r⁰(F_x),x∈ |F|, [resp.G_r⁰(A)]

se prolongent par continuit´e `a l’ouvert de

G_r⁰(F_x) ⊂ G(F_x)×M_r⁰(F_x) [resp. Gr⁰(A) ⊂ G(A)×Mr⁰(A)]

image r´eciproque deG^≤1(Fx)[resp. G^≤1(A)].

Remarque :

Le fait que l’homomorphisme Z^F

Gb → Zb_ρ induit par ρ soit un isomorphisme implique que les facteurs irr´eductibles de la repr´esentation ρ:GboΓ_F →GL_r(C) apparaissent tous avec la multiplicit´e 1.

Cette proposition permet de compl´eter la conjecture V.2 par la conjecture suivante : Conjecture V.14.–

Sous les hypoth`eses de la propositionV.13ci-dessus, on a :

(i) Pour toute fonction produit de typeL global relatif `aρsurG(A), h= O

x∈|F|

h_x:G(A)→C,

la diff´erence

“ X

γ∈G(F)

h(γ)”− X

γ∈G(F)

h(γ)

d´epend lin´eairement des seules restrictions de chaque facteurh_x,x∈ |F|, aux orbites de codimension 1 deG(Fx).

(ii) Pour tout degr´er⁰≥2, et pour toute fonction de type Lglobal relatif `aρ_r⁰ sur G_r⁰(A), h:Gr⁰(A)→C,

la diff´erence

“ X

γ∈G_r0(F)

h(γ)”− X

γ∈G_r0(F)

h(γ)

d´epend lin´eairement des seules restrictions de haux points de G_r⁰(A)⊂G(A)×M_r⁰(A) de la forme

(m, δ) avec m∈G^≤1(A)etδ∈Mr⁰(F)−GLr⁰(F).

Le casr⁰=r−1 de la conjecture V.14(ii) ci-dessus est ce que l’on a besoin de connaˆıtre sur la fonctionnnelle de Poisson de bord

h7→“ X

γ∈Gr−1(F)

h(γ)”− X

γ∈Gr−1(F)

h(γ),

outre la formule de Poisson surG_r−1(A)

“ X

γ∈Gr−1(F)

h(γ)” = “ X

γ∈Gr−1(F)

bh(γ)”

pour construire des termes compl´ementaires “non cuspidaux”

K_ψ^G,ρ: (G×G×Qr)(F)\(G×G×GLr)(A)→C,

Ke_ψ^G,ρ: (G×G×Q^op_r )(F)\(G×G×GLr)(A)→C, qui r´ealisent l’´egalit´e

K_ψ^G,ρ+K_ψ^G,ρ=Ke_ψ^G,ρ+Ke_ψ^G,ρ et d´efinissent des noyaux du transfert par ρde la forme

K^G,ρ=K_ψ^G,ρ+K_ψ^G,ρ: (G×G×GLr)(F)\(G×G×GLr)(A)→C.

Cette construction est r´ealis´ee, dans le cas partout non ramifi´e, au chapitre VIII de [Lafforgue, 2012].