Alg` ebre g´ eom´ etrique - TD4 G´ eom´ etrie axiomatique

Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 1

Ann´ee 2014-2015 Module 4M001

Alg` ebre g´ eom´ etrique - TD4 G´ eom´ etrie axiomatique

Exercice 1 : Soit P un ensemble et D un ensemble non vide de parties non vides, distinctes de P tout entier, de l’ensemble P. On appelle points de P les ´el´ements de P et droites de P les ´el´ements de D.

On suppose v´erifi´es les quatre axiomes suivants :

– (A) Par deux points distincts aetbde P passe une unique droite, not´ee (ab).

– (B) Deux droites distinctes DetD⁰ de P ont exactement un point commun, not´e D∩D⁰.

– (C) Pour tout triplet D, D⁰, D⁰⁰ de droites concourantes distinctes deP, pour tous points a, b∈D, a⁰, b⁰ ∈D⁰ eta⁰⁰, b⁰⁰ ∈D⁰⁰ tous distincts (et distincts du point de concours), les points (aa⁰)∩(bb⁰), (aa⁰⁰)∩(bb⁰⁰) et (a⁰a⁰⁰)∩(b⁰b⁰⁰) sont align´es.

– (D) Pour toute paire D, D⁰ de droites distinctes deP, pour tous points a, b, c∈D et a⁰, b⁰, c⁰ ∈D⁰ tous distincts, les points (ab⁰)∩(ba⁰), (ac⁰)∩(ca⁰) et (bc⁰)∩(cb⁰) sont align´es.

L’objectif de cet exercice est de montrer qu’`a une exception pr`es, il existe un corps K (commutatif), un K-espace vectoriel V de dimension 3 et une bijection P → P(V) identifiant D `a l’ensemble des droites projectives deP(V).

a) Montrer que P admet au moins deux points.

b) Montrer que toute droite de P contient au moins deux points.

c) Montrer qu’hormis dans un seul cas que l’on explicitera (appel´e ”sans int´erˆet”), P n’est pas r´eunion de deux droites. On suppose d´esormais que P n’est pas ”sans int´erˆet”.

d) Montrer que deux droites de P sont toujours en bijection.

e) On suppose qu’une droite de P est form´ee d’un nombre fini de points not´eq+ 1.

i) Montrer qu’alors #P = #D=q²+q+ 1.

ii) Montrer que q≥2 et #P ≥7.

f) On fixe une droite D∞∈ D et on note A:=P\D∞. Montrer que l’on peut d´efinir un ensemble non videD⁰ de parties non vides (et distinctes deA) deA (appel´ees droites de A), de sorte que les quatre axiomes suivants soient v´erifi´es :

– (A’) Par deux points distinctsaetb de Apasse une unique droite de A, not´ee (ab).

– (B’) Sia∈AetD∈ D⁰, il existe une unique droiteD⁰ ∈ D⁰passant paratelle queD∩D⁰=D ou ∅(on dit alors que DetD⁰ sont parall`eles).

– (C’) Pour tout triplet D, D⁰, D⁰⁰ de droites distinctes de A, concourantes ou parall`eles, pour tous pointsa, b∈D,a⁰, b⁰ ∈D⁰ eta⁰⁰, b⁰⁰ ∈D⁰⁰ tous distincts (et distincts du point de concours

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eventuel), si les droites (aa⁰) et (bb⁰) sont parall`eles, ainsi que les droites (aa<sup>00</sup>) et (bb<sup>00</sup>), alors les droites (a<sup>0</sup>a<sup>00</sup>) et (b<sup>0</sup>b<sup>00</sup>) sont parall`eles.

– (D’) Pour toute paireD, D⁰ de droites distinctes deA, pour tous pointsa, b, c∈Deta⁰, b⁰, c⁰ ∈ D⁰ tous distincts, si les droites (ab⁰) et (ba⁰) sont parall`eles, ainsi que les droites (ac<sup>0</sup>) et (ca<sup>0</sup>), alors les droites (bc<sup>0</sup>) et (cb<sup>0</sup>) sont parall`eles.

g) Montrer que le parall´elisme est une relation d’´equivalence sur D⁰.

h) Montrer qu’il suffit de montrer qu’il existe un corps K, un plan affineE surK et une bijection A→ E identifiantD⁰ `a l’ensemble des droites affines deE.

i) Montrer que si une droite de A ne contient que 2 ou 3 points (q = 2 ou 3), alorsA est un plan affine surFq. On suppose d´esormais que toute droite deA contient au moins quatre points.

j) Si quatre points distincts et non align´esa, b, a⁰, b⁰ v´erifient que (ab) est parall`ele `a (a⁰b⁰) et (aa⁰) est parall`ele `a (bb⁰), on dit que (a, b)R(a⁰, b⁰). Montrer la relation R s’´etend en une relation d’´equivalence (toujours not´eeR) sur l’ensemble des couples de points dans A.

k) Montrer que pour tous pointsa, a⁰, b de A, il existe un uniqueb⁰ ∈Atel que (a, b)R(a⁰, b⁰).

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l) On appelle vecteur toute classe d’´equivalence pour la relation R et on note E l’ensemble de ces classes d’´equivalence (on noterab−ala classe d’un couple (a, b)). Montrer qu’il existe une structure canonique de groupe ab´elien sur E.

m) D´efinir, pour tout v∈E, la translationtv :A→A de vecteurv.

n) On fixe un point O ∈A (ce qui permet d’identifierA et E), une droiteD⁰ de A passant par O et un point, not´e 1, sur la droite D⁰ et distinct deO.

i) D´efinir, pour tout a∈D⁰, l’homoth´etie ha:A\D⁰ →A\D⁰ de centre O et de rapport a.

ii) Montrer que pour toutx6=y /∈D⁰, (ha(x)ha(y)) est parall`ele `a (xy) et, six+y /∈D⁰, on a h_a(x+y) =h_a(x) +h_a(y).

iii) Montrer queh_a s’´etend en une application naturelle h_a :E →E qui est un morphisme de groupes. Montrer ´egalement queh_a+b(x) =h_a(x) +h_b(x) pour tousa, b∈D⁰ etx∈E.

iv) Montrer enfin que h_a est l’unique morphisme de groupe E → E tel que l’image de toute droite est contenue dans une droite parall`ele etha(1) =a, puis quehaest un isomorphisme de groupes si a6=O.

o) MunirD⁰ d’une structure de corps (commutatif) naturelle.

p) Montrer que E est un espace vectoriel sur le corps D⁰.

q) Montrer queA est bien un plan affine de directionE sur le corpsD⁰. r) Conclure.

s) Que se passe-t-il si l’on enl`eve l’axiome (D) ? Ou l’axiome (C) ?

t) PourA:=R², on d´efinit l’ensemble des droitesD⁰ de la fa¸con suivante : les droites deAsont soit les droites affines usuelles dansR² qui sont verticales ou de pente ≤0, soit les droites ”bris´ees”

d´efinies par des ´equations de la forme

y=a(x−t) six≤t , y= 2a(x−t) six≥t ,

poura >0 et t∈R. Montrer que Av´erifie les axiomes (A’) et (B’), mais pas l’axiome (C’).

u) Montrer le th´eor`eme d’Hessenberg : les axiomes (A), (B) et (D) impliquent l’axiome (C).

L’axiome (C) n’est donc pas n´ecessaire.

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