Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 1
Ann´ee 2014-2015 Module 4M001
Alg` ebre g´ eom´ etrique - CC1 Contrˆ ole continu n
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14 octobre 2014
Exercice 1 : Dans un espace affine de dimension sup´erieure ou ´egale `a 3, on consid`ere n droites (n ≥ 2). On suppose que deux droites de cette famille ont toujours un point commun. Montrer l’alternative suivante : soit toutes ces droites sont concourantes, soit elles sont coplanaires.
Exercice 2 : SoitABC un triangle dans un plan affine,M un point tel que les droites (AM), (BM) et (CM) rencontrent respectivement (BC), (AC) et (AB) enA0,B0 etC0. On noteKle sym´etrique de A0 par rapport `a (AB) parall`element `a (CC0), etI le point d’intersection des droites (AB) et (A0K).
Soient (α, β, γ) les coordonn´ees barycentriques deM dans le rep`ere affine (A, B, C).
a) Faire une figure.
b) Exprimer les coordonn´ees barycentriques des points A0,B0,C0 dans le rep`ere (A, B, C).
c) Exprimer les coordonn´ees barycentriques des points I etK dans le rep`ere (A, B, C).
d) Que peut-on dire des trois pointsB0,C0 etK?
Exercice 3 : Soit K un corps et V un K-espace vectoriel de dimension≥2.
a) Rappeler la d´efinition d’une homographie deP(V).
b) Montrer que siK =C, toute homographie de P(V) admet un point fixe.
c) Montrer que si K =Ret dimP(V) est paire, alors toute homographie de P(V) admet un point fixe.
d) Le r´esultat de la question pr´ec´edente reste-t-il vrai si dimP(V) est impaire ? Quelles sont les possibilit´es pour le nombre de points fixes d’une homographie de P1(R) ? Donner un exemple pour chaque cas.
e) Connaissez-vous un corpsK o`u il existe des homographies sans point fixe en toute dimension.
f) On suppose K quelconque et dimV = 2. Soient a, b ∈ P(V) distincts. Montrer que le sous- groupe de PGL(V) form´e des homographies de P(V) qui fixent aet best isomorphe au groupe multiplicatifK∗.
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