Universit´e Joseph Fourier 1`ere ann´ee de Licence
MAT128 Analyse ´el´ementaire 2`eme semestre 2006/2007
Contrˆ ole continu n
o2
Dur´ee 1h30. Documents, calculatrices et t´el´ephones portables interdits.
Question de cours :
Donner le domaine de d´efinition de la fonctionx7→Argth(x) et tracer son graphe. Donner l’expression de la d´eriv´ee de cette fonction.
Exercice 1 : Calculer les int´egrales suivantes
I = Z 1
0
sin3(x) cos2(x)dx J = Z π
0
sin2(x)dx K = Z 1
0
x3−2x2+ 3x+ 1 x−2 dx .
Exercice 2 : Grˆace `a un changement de variables, montrer que Z 1
0
1
1 +exdx= Z e
1
1
y(1 +y)dy . En d´eduire la valeur de R1
0 1 1+exdx.
Exercice 3 : A l’aide du changement de variables x=−1 + 2 sin(t), calculer la valeur de
l’int´egrale Z 1
−3
√3−2x−x2dx .
Exercice 4 : A l’aide d’une int´egration par partie, donner une primitive de la fonction f(x) =xArctan(x).
Exercice 5 : Calculer l’int´egrale I = R1
0 exsinxdx (indication : on pourra effectuer deux int´egrations par partie successives).
Exercice 6 : Int´egrer les ´equations diff´erentielles suivantes :
2y0(x) + cos(x)y(x) = 0, y0(x)−y(x) = sin(x) + sinh(x).
Pour chacune d’entre elles, d´eterminer ´egalement l’unique solution v´erifiant la condition initialey(0) = 0.
