Licence de Math´ematiques Universit´e de Grenoble
Topologie, MAT352 1er semestre 2007/2008
Contrˆ ole continu n
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Dur´ee 2h, documents, calculettes et t´el´ephones interdits
Question de cours : Donner la d´efinition d’une valeur d’adh´erencead’une suite (un)n∈N.
Exercice 1 : NB : dans cet exercice, il est demand´e de justifier proprement toutes les
´etapes du raisonnement.
Soit (un)n∈N une suite de r´eels non nuls convergeant vers une limite l >0. Montrer que la suite (1/un)n∈N converge vers 1/l.
Exercice 2 :
1) On consid`ere le sous-ensemble de Q suivant E ={x∈Q, x≥1 et x≤√
2} ∪ {1/n, n∈N− {0}}.
Cet ensemble admet-il dans Q des bornes sup´erieure et inf´erieure ? Sont-elles dans l’en- semble ?
2) On consid`ere le sous-ensemble de R suivant E ={x∈Q, x≥1 et x≤√
2} ∪ {1/n, n∈N− {0}}.
Cet ensemble admet-il dans R des bornes sup´erieure et inf´erieure ? Sont-elles dans l’en- semble ?
Exercice 3 : Soient (un)n∈Net (vn)n∈Ndeux suites r´eelles. On note (wn)n∈Nla suite d´efinie par wn= max(un, vn).
1) Montrer qu’une valeur d’adh´erence de (wn) est une valeur d’adh´erence de (un) ou de (vn).
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2) Donner un exemple de suites (un) et (vn) ayant des valeurs d’adh´erence pour lequel (wn) n’a aucune valeur d’adh´erence.
3) On suppose que les suites (un) et (vn) convergent. Montrer que (wn) converge et que
n→+∞lim wn = max
n→+∞lim un , lim
n→+∞vn
.
4) On suppose que les suites (un) et (vn) sont born´ees. Montrer que (wn) est born´ee et que
lim sup
n→+∞ wn= max
lim sup
n→+∞ un , lim sup
n→+∞ vn
. On rappelle que lim sup
n→+∞ xn = lim
n→+∞sup
k≥n
xk.
Exercice 4 : Dans cet exercice, on note Q l’ensemble des nombres rationnels. Si x appartient `aQ, on noterax= pq avec la convention quep∈Zetq∈N− {0}sont premiers entre eux (rappel : cette ´ecriture est unique). On souhaite ´etudier la continuit´e de la fonction f :R→R d´efinie par
f(x) =
1
q si x= pq ∈Q 0 si x6∈Q
On rappelle qu’une fonctionf est continue en un pointxsi et seulement si, pour tout suite (xn)n∈N convergeant vers x, f(xn) converge vers f(x).
1) Montrer que pour toutx∈Q, il existe une suite (xn)n∈Nde nombres irrationnelsxn 6∈Q telle que xn→x quand n→+∞.
2) En d´eduire que f n’est pas continue en x si x∈Q.
3) Soit (un)n∈N une suite de nombres r´eels positifs. On suppose que (un) ne tend pas vers +∞. Montrer que l’on peut extraire de (un) une sous-suite (uϕ(n)) born´ee.
4) Soit (qn)n∈Nune suite de nombresentierspositifs. On suppose que (qn) ne tend pas vers +∞. Montrer qu’il existe un nombre Q ∈ N et une sous-suite (qϕ(n)) tels que qϕ(n) = Q pour tout n≥0.
5) Montrer que si xn = pqn
n est une suite de rationnels convergeant vers un irrationnel x6∈Q, alors qn →+∞ quand n →+∞.
6) En d´eduire que f est continue en tout point x irrationnel.
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