Universit´e de Nantes 8 mai 2008
L 3 Probabilit´es appliqu´ees
Contrˆ ole Continu
Dur´ee : 1h20
Exercice 1. Soit(Sn)une marche al´eatoire simple ´equilibr´ee issue de0.
1. Montrer que pour tout k≤n,
P(S2n= 2k) = 2−2n 2n
n+k
.
2. En d´eduire que
2k
2nP(S2n = 2k) = 2−2n
2n−1 n+k−1
−
2n−1 n+k
.
Soienta, b >0. On noteNn(a, b)le nombre de chemins de marches al´eatoires issus deaqui sont enb `a l’instantn etNn0(a, b) le nombre de ces chemins qui passent en0.
3. Justifier graphiquement l’´egalit´e
Nn0(a, b) =Nn(−a, b).
4. On note Nn6=0(0, b) l’ensemble des chemins qui relient 0 `a b en n ´etapes sans toucher 0. Montrer le th´eor`eme de Ballot,
Nn6=0(0, b) =Nn−1(1, b)−Nn−1(−1, b) = b
nNn(0, b).
Soit0 ≤k≤n. On notep2k,2n la probabilit´e que le dernier retour en 0 de la marche al´eatoire de longueur 2n soit en 2k, i.e.p2k,2n=P(S2k= 0, S2k+16= 0, . . . , S2n 6= 0).
5. Montrer que p2k,2n =P(S2k = 0)P(S16= 0, . . . , S2n−2k 6= 0).
6. En d´ecomposant selon le point d’arriv´ee de la marche al´eatoire, montrer que
P(S16= 0, . . . , S2m6= 0) = 2
m
X
k=1
2k
2mP(S2m= 2k)
7. Conclure en montrant que
p2k,2n= 2−2n k
2k
n−k 2n−2k
. 8. Montrer finalement que lorsque n→ ∞, n−k→ ∞,
p2k,2n∼ 1 πp
k(n−k).
Ind. : On pourra utiliser la formule de Stirling :n!∼n→∞`n
e
´n√ 2πn.
Exercice 2. On suppose que l’on dispose d’un m´elange al´eatoire complet sur un paquet de k cartes. Etant donn´ee une (k+ 1)eme carte, on la place au hasard dans le paquet de k cartes.
Montrer que l’on obtient ainsi un m´elange al´eatoire complet.
On consid`ere maintenant le m´elange al´eatoire suivant. Etant donn´e un paquet deN cartes, on prend la carte du dessus du paquet puis on la remplace au hasard dans le paquet.
On va marquer la carte qui est en dessous du paquet au d´ebut en la coloriant en rouge (toutes les autres cartes sont suppos´ees bleues). On note S1 =T1 le premier instant o`u l’on place une carte en dessous de la rouge, S2 =T1+T2 le second instant o`u l’on place une carte sous la rouge, etc. . .
1. Montrer qu’`a l’instant Sk les cartes en dessous de la rouge sont en m´elange al´eatoire complet.
2. Justifier le fait que Tk suit une loi g´eom´etrique dont on donnera le param`etrepk. 3. En d´eduire que
E[SN]∼N→∞NlnN.
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