Contrˆ ole Continu

Universit´e de Cergy-Pontoise 2008–2009

Contrˆ ole Continu

SV-S2-Groupe H

Dur´ee : 1 heure

Documents, calculatrices, et t´el´ephones portables interdits ! Exercice 1

Soient (u_n) et (v_n) les suites d´efinies par : (

u_n+1 = 3u_n+v_n u₀ = 12 4

(

v_n+1 = 2u_n+v_n v₀ = 1 3

1. Soit (z_n) la suite d´efinie par z_n = u_n−v_n. Montrez que (z_n) est g´eom´etrique et donnez sa raison.

2. Donnez la limite de (z_n) et l’expression de z_n en fonction den.

3. Exprimez u_n+1−u_n en fonction dez_n et montrez que (u_n) est d´ecroissante.

4. Montrez de mˆeme que (vn) est croissante.

5. En d´eduire que (u_n) et (v_n) sont adjacentes.

6. Exprimez u_n etv_n en fonction de n et donnez leur limite commune.

Exercice 2

Soit f la fonction deR² dans R d´efinie par : f(x, y) = xy

x²+y² si (x, y)6= (0,0) et f(0,0) = 0 1. Quel est l’ensemble de d´efinition de f ?

2. Montrez quef(x, y) n’a pas de limite quand (x, y)→(0,0). Ainsi f n’est pas continue en 0.

3. Montrez que, n´eanmoins, f est continue s´epar´ement par rapport `a chaque variable, y compris en 0.

4. Montrez que les d´eriv´ees partielles ∂f

∂x(0,0) et ∂f

∂y(0,0) existent et calculez-les.

5. Soit (a, b) un point de R² autre que (0,0). Montrez que les d´eriv´ees partielles ∂f

∂x(a, b) et

∂f

∂y(a, b) existent et calculez-les.

6. SoitDl’application deR² dansRd´efinie parD(x, y) = ∂f

∂x(x, y). L’applicationDadmet- elle une limite en (0,0) ?