Contrˆ ole continu n

Universit´e Joseph Fourier 1^`ere ann´ee de Licence

MAT128 Analyse ´el´ementaire 2^`eme semestre 2006/2007

Contrˆ ole continu n

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Dur´ee 1h30. Documents, calculatrices et t´el´ephones portables interdits.

Question de cours :

Enoncer le th´eor`eme de Rolle (on prendra garde `a ne pas oublier d’hypoth`eses).

Exercice 1 : Donner le domaine de d´efinition et de d´erivabilit´e des fonctions suivantes.

Calculer leur d´eriv´ees.

f₁(x) =e^x3ln(1 +x²) f₂(x) = cos √

1−x

f₃(x) = ^Arcsin(2x−3^x+1)

f₄(x) = (1 + Arctan(x²))³

Exercice 2 : On consid`ere la fonction f : R → R d´efinie par f(x) = x e^−x2. Dresser le tableau de variation de cette fonction, et tracer approximativement son graphe. Quelle est la valeur du maximum de f ?

Exercice 3 : Etablir les identit´es suivantes, soit par un argument direct, soit en calculant la d´eriv´ee de chaque membre.

sin(Arccos(x)) = √

1−x², |x| ≤1 cos(Arctan(x)) = 1

√1 +x² , x∈R

Exercice 4 : On consid`ere la fonctionf(x) = Arccos(2x² −1), d´efinie sur [−1,1].

1. Montrer que f est continue sur [−1,1] et quef est paire (c’est-`a-dire que f(x) =f(−x) pour tout x∈[−1,1]).

2. Montrer que f est d´erivable en tout point x∈]−1,0[∪]0,1[ et calculer sa d´eriv´ee.

3. En d´eduire une expression plus simple de f sur ]0,1[, puis sur ]−1,0[.

4. Tracer le graphe de la fonction f.