Contrˆ ole continu n

L3B – Topologie 2020-2021

Contrˆ ole continu n

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Mardi 10 novembre 2020 14h-17h

Exercice 1 : Question de cours

SoitDun sous-ensemble non vide deRet soitf :D →Rune fonctionK−lipschitzienne.

1. Montrer quef est uniform´ement continue sur D.

2. Montrer qu’il existe a, b∈ R tels que, pour tout x ∈D, |f(x)| ≤ a|x|+b. En d´eduire que si D est born´e, alors f est born´ee sur D.

Exercice 2 : Adh´erence et union

1. Soit A etB deux sous-ensembles de R tels que A⊂B. Montrer que A⊂B.

2. Soit A etB deux sous-ensembles de R. Montrer que A∪B =A∪B.

3. Soit (A_n)_n=1,...,N une famille finie deN ensembles deR. D´eduire de la question pr´ec´edente queS

n=1,...,NAn =S

n=1,...,NAn.

4. Montrer par un contre-exemple que si on consid`ere une famille infinie (A_n)_n≥1, alors S

n≥1A_n etS

n≥1A_n peuvent ˆetre diff´erents.

Exercice 3 : Image r´eciproque

On consid`ere l’ensembleA = {x∈R, e^x >cosx}.

1. En ´ecrivant A comme image r´eciproque d’un ensemble par une fonction, mon- trer que A est un ouvert de R.

2. En consid´erant la suite xn= 1/n, montrer que A n’est pas un ferm´e.

T.S.V.P.

Exercice 4 : Ensemble des valeurs d’une suite

Soit (u_n)n∈N une suite `a valeurs r´eelles. On consid`ere l’ensemble de ses valeurs

U = {u_n, n∈N} ⊂ R.

1. Montrer queU n’est jamais un ouvert de R.

2. On suppose que (u_n) converge vers 0∈R. Montrer que U =U ∪ {0}.

3. Donner un exemple de suite telle que U est un ferm´e de R et un exemple o`u U n’est pas un ferm´e.

4. Montrer que sup_nun appartient toujours `aU.

5. Montrer que siU n’est pas ferm´e, alors (u_n) a au moins une valeur d’adh´erence.

Que peut-on dire sur U siu_n tend vers +∞?

Exercice 5 : Fonctions p´eriodiques

Une fonctionf :R−→R est diteT-p´eriodique pour un certainT > 0 si

∀x∈R, f(x+T) =f(x).

1. Montrer que si f est T−p´eriodique, elle est aussi kT−p´eriodique pour tout k ∈N^∗ et que f(x+kT) =f(x) pour tout x∈Ret k ∈Z.

2. SoitT > 0 etf une fonctionT−p´eriodique qui admet en +∞ une limite finie

` = limx→+∞f(x). Montrer que f est constante ´egale `a `.

3. SoitT > 0 et soitf une fonction continue qui est T−p´eriodique. Montrer que f est born´ee sur R et atteint ses bornes.

4. Montrer qu’une fonction continue T−p´eriodique est uniform´ement continue sur R.

5. Montrer que si f est continue et 1/q−p´eriodique pour tout q∈N^∗, alors f est constante sur R.

6. Montrer que la fonction f :R →R d´efinie par f(x) = 1 si x∈ Q etf(x) = 0 si x6∈Qest 1/q−p´eriodique pour toutq ∈N^∗ mais n’est pas constante sur R.

Bar`eme indicatif : 2/4/2/6/6