Universit´e de Nantes Th´eorie de la mesure et int´egration
L 3 20 mars 2008
Contrˆ ole Continu
Dur´ee : 1h20
Exercice 1. D´ecrire la tribu engendr´ee sur [0,1] par les intervalles 0,12
et1
2,1 .
Exercice 2. Soient (Ω,F), (Ω1,F1) et (Ω2,F2) trois espaces munis d’une tribu. Soientf : Ω→Ω1×Ω2,f1: Ω→Ω1,f2: Ω→Ω2trois fonctions telles que pour toutω∈Ω,f(ω) = (f1(ω), f2(ω)). On suppose quef : (Ω,F)→(Ω1×Ω2,F1⊗ F2) est mesurable.
Montrer quef1: Ω→Ω1 etf2: Ω→Ω2sont mesurables.
On rappelle que la tribu produitF1⊗ F2 est la plus petite tribu contenantF1× F2={A×B; A∈ F1, B∈ F2}.
Exercice 3. Soit (Ω,F, µ) un espace mesur´e muni d’une mesure non nulle.
1. On poseNµ={N ⊂Atels queA∈ F et µ(A) = 0}.
Montrer queNµ est stable par r´eunion d´enombrable. L’ensembleNµ est-il une tribu sur Ω ?
2. Soient T une tribu sur Ω contenant F, ν une mesure positive sur T telle que pour tout ´el´ement de A ∈ F, ν(A) =µ(A).Montrer que
Nµ⊂ Nν.
3. Dans toute la suite, on noteFµ la plus petite tribu contenant F etNµ. On d´efinit ´egalement Q={Q⊂Ω tels qu’il existeS, T ∈ F avecS⊂Q⊂T et µ(T\S) = 0}.
On veut montrer queFµ=Q.
(a) Pour tout Q∈ Q, montrer qu’il existe un ´el´ement A∈ F et un ´el´ementB ∈ Nµ tels queQ=A∪B.
(b) Montrer queQest une tribu.
(c) D´eduire des questions pr´ec´edentes queQ=Fµ.
4. Soit µe la mesure d´efinie sur Q par : pour tout ´el´ement Q ∈ Q, µ(Q) =e µ(S) (o`u S est d´efini conform´ement `a la d´efinition deQ, cf. question 3). Montrer queµeest une mesure sur (Ω,Fµ).
5. Montrer queN
µe=Nµ.
Le couple (Fµ,µ) constitue le plus petit prolongement complet appel´e e le compl´et´e minimal du couple (F, µ).
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