L3B – Topologie 2019-2020
Contrˆ ole continu n
o3
Mercredi 11 d´ecembre 2019 – 10h30-12h15
Questions de cours : Soit X un espace vectoriel et soient N1 et N2 deux normes sur X. Supposons qu’il existe une constante C > 0 telle que pour tout x ∈ X on a N2(x)≤C·N1(x).
1. Quelle inclusion est vraie pour les boules ouvertes BN1(x, R1) et BN2(x, R2) (on donnera le sens de l’inclusion et une condition sur les rayons et on fera une preuve compl`ete) ?
2. D´emontrer que si U est ouvert pourN2 alors U est ouvert pourN1.
3. Montrer que si (xn) tend versx pour la norme N1, alors (xn) tend versx pour la norme N2. En d´eduire que si K est s´equentiellement compact pour N1, alors K est s´equentiellement compact pour N2.
4. D´emontrer que si C est connexe par arcs pour N1, alors C est connexe par arcs pourN2.
Exercice 1 : Soit A = Q× {−1,1} un sous-ensemble de R2. Calculer son adh´erence, son int´erieur et sa fronti`ere.
Exercice 2 : Soit (E,k · k) un espace vectoriel norm´e. On d´efinit une operation
hopqui agit sur les sous-ensembles deE comme suit : siA ⊂E, alors hop(A) =˚A, c’est-`a-dire l’int´erieur de son adh´erence.
1. Montrer que si A⊂B, alorsA ⊂B et ˚A⊂B.˚ 2. Montrer que si A est ferm´e, alors hop(A)⊂A.
3. Montrer que si A est ouvert, alors A⊂ hop(A).
4. Pour E = R, donner un exemple d’ensemble A tel que A est strictement plus grand que hop(A) et un exemple o`u hop(A) est strictement plus grand que A.
5. Soit x un point isol´e d’un ensemble A⊂E, c’est-`a-dire qu’il existe ε >0 tel que B(x, ε)∩A={x}. Montrer que x6∈ hop(A).
6. Montrer que pour tout A ⊂ E, hop(hop(A)) = hop(A) (indication : on pourra commencer par justifier que ˚A⊂A).
Exercice 3 : Pour tout polynˆome P ∈R[X], on pose kPk=
Z 1
0
|P(x)|dx .
1. Montrer que k · kest une norme sur R[X].
2. Dans cette question, on se restreint aux polynˆomes de degr´e au plusd. On utilisera sans d´emonstration que k · k est aussi une norme sur Rd[X] puisqu’il s’agit d’un sous-espace deR[X].
(a) Montrer que
Nd : P ∈Rd[X] 7−→ Nd(P) = max
i=0,...,d|P(i)| ∈R+
est une norme sur Rd[X].
(b) Montrer que la fonction ev d´efinie de Rd[X] muni de Nddans R muni de| · | par ev(P) = P(1) est une application lin´eaire continue. Calculer sa norme triple |||ev|||= inf{K >0,∀P ∈Rd[X], |P(1)| ≤K.Nd(P)}.
(c) Montrer que Ad = {P ∈ Rd[X], P(1) = 1} est un ferm´e de Rd[X] muni de la norme Nd.
(d) En d´eduire que Ad est un ferm´e de Rd[X] muni de la norme k · k.
(e) Montrer que Ad n’est pas un compact de Rd[X] (indication : consid´erer la suite Pn= 1 +n(X−1)).
3. Dans cette question, on consid`ere de nouveau tous les polynˆomes sans restriction de degr´e.
(a) Montrer que kXnk tend vers 0 quandn tend vers +∞.
(b) L’ensemble A = {P ∈ R[X], P(1) = 1} est-il un ferm´e de R[X] muni de la norme k · k?
(c) L’application ev d´efinie de R[X] muni de k · k dans R muni de | · | par ev(P) =P(1) est-elle une application lin´eaire continue ?
Bar`eme indicatif : 5/2/7/8
