Corrig´ e du contrˆ ole continu n

Universit´e Paris-Dauphine DUGEAD 1^er cycle

UE 13

Corrig´ e du contrˆ ole continu n

1

Exercice 1.

1. Comme la fonction exponentielle est d´efinie et de classeC^∞surR, la fonctionf est elle-aussi d´efinie et de classe C^∞, doncC², surR, en tant que combinaison lin´eaire de fonctions de classe C^∞.

De mˆeme, la fonction logarithme est d´efinie et de classe C^∞ sur ]0,+∞[. Pourx dans ]0,+∞[, la fonction x 7→ x+ 1 est une fonction affine donc C^∞ sur ]0,+∞[ qui prend ses valeurs dans ]0,+∞[. On la compose avec la fonction racine carr´ee qui est d´efinie et continue sur [0,+∞[, et de classe C^∞ sur ]0,+∞[. Donc, par composition, x 7→ √

x+ 1 est de classe C^∞ sur ]0,+∞[.

Finalement, par multiplication de fonctions de classe C^∞, la fonction g est donc d´efinie et de classe C^∞, doncC², sur ]0,+∞[.

2. Les d´eriv´ees successives de la fonction f sont donn´ees par f^′(x) = e^x+e^−x

2 ,

f^′′(x) = e^x−e^−x

2 ,

pour tout x∈R, de sorte que f(1) = e²−1

2e , f^′(1) = e²+ 1

2e etf^′′(1) = e²−1 2e . Le d´eveloppement limit´e def `a l’ordre 2 au point 1 est donc

f(x) = e²−1

2e +e²+ 1

2e (x−1) +e²−1

4e (x−1)²+ (x−1)²ε(x−1), o`u ε(t)_t→

→00.

De mˆeme, les d´eriv´ees successives de la fonction g sont donn´ees par g^′(x) =

√1 +x

x + ln(x)

2√ 1 +x, g^′′(x) = 1

x√

1 +x −

√1 +x

x² − ln(x) 4(1 +x)³², pour tout x∈]0,+∞[, de sorte que

g(1) = 0, g^′(1) =√

2 et g^′′(1) =− 1

√2. Le d´eveloppement limit´e deg `a l’ordre 2 au point 1 est donc

g(x) =√

2(x−1)− 1 2√

2(x−1)²+ (x−1)²ε(x˜ −1),

o`u ˜ε(t) →

t→00.

3. D’apr`es les formules de la question 2, la fonction h est ´egale `a h(x) = 2ef(x)√−^e22⁺¹e (x−1)−^e22⁻e¹

2(x−1)−g(x) = 2e

e²−1

4e (x−1)²+ (x−1)²ε(x−1)

1 2√

2(x−1)²−(x−1)²ε(x˜ −1) = 2e

e²−1

4e +ε(x−1)

1 2√

2−ε(x˜ −1), au voisinage de 1. Comme les fonctions εet ˜εont une limite ´egale `a 0 en 0, la fonction h a une limite au point 1 donn´ee par

h(x)_x→

→1

√2(e²−1).

4. La tangente de la fonction f au point 1 a pour ´equation y= ^e2₂⁻_e¹ +^e2₂⁺¹_e (x−1). D’apr`es la question 2, la fonction f v´erifie

f(x)− e²−1

2e −e²+ 1

2e (x−1) = e²−1

4e (x−1)² 1 +ε(x−1) ,

au voisinage de 1. Comme e²>1, le membre droit de l’´equation ci-dessus a un signe positif au voisinage de 1, ce qui prouve que la tangente de f au point 1 est au-dessus du graphe de f au voisinage de 1.

De mˆeme, la tangente de la fonction g au point 1 a pour ´equation y =√

2(x−1). D’apr`es la question 2, la fonction g v´erifie

g(x)−√

2(x−1) =− 1 2√

2(x−1)² 1 + ˜ε(x−1) ,

quantit´e qui a un signe n´egatif au voisinage de 1. Ainsi, la tangente de g au point 1 est-elle au-dessous du graphe de gau voisinage de 1.

5. Le coˆut moyenf_M est ´egale `a

∀x >0, fM(x) = f(x)

x = e^x−e^−x 2x , tandis que le coˆut marginal vaut

∀x >0, fm(x) =f^′(x) =e^x+e^−x

2 .

6. La variation relative du coˆutf au niveau de production x= 1 est ´egale `a

∆1(f)(x−1)

f(1) = f(x)−f(1) f(1) . On l’approche par la formule

∆1(f)

f(1) ≈e_f(1)∆1(x)

1 = f^′(1)

f(1)(x−1) = e²+ 1

e²−1(x−1).

Lorsque l’on augmente la production de 2%, celle-ci devient ´egale `a x = 1,02, de sorte qu’une valeur approch´ee de la variation relative du coˆut de production est donn´ee par

f(1,02)−f(1)

f(1) ≈0,02e²+ 1

e²−1(≈0,029 = 2,9%).

7. La d´eriv´ee de la fonction f v´erifie

∀x >0, f^′(x) = e^x+e^−x 2 >0,

de sorte que la fonction f est strictement croissante sur ]0,+∞[. Comme la fonction f est de plus continue sur ]0,+∞[, et qu’elle a des limites ´egales `a 0 en 0, et `a +∞en +∞, il s’agit d’une bijection de ]0,+∞[ sur ]0,+∞[.

8. Soit y∈]0,+∞[. La valeur de la bijection r´eciproquef⁻¹ en y est par d´efinition donn´ee par le r´eelx solution de l’´equation

y=f(x) = e^x−e^−x

2 .

Il s’agit donc de r´esoudre cette ´equation en fonction dey. En posantX=e^x, cette ´equation est

´equivalente `a

y = X−X¹

2 = X²−1 2X , puis `a

X²−2yX −1 = 0.

Le discriminant de ce trinˆome est ´egal `a

∆ = 4(y²+ 1)>0, de sorte que

X =y±p y²+ 1.

Cependant, X=e^x est une quantit´e positive, ce qui induit que e^x =X=y+p

y²+ 1, c’est-`a-dire que

x= ln(y+p

y²+ 1).

D’o`u l’expression de la bijection r´eciproque f⁻¹

∀y >0, f⁻¹(y) = ln(y+p

y²+ 1).

9. Lorsquex > e, la quantit´ef(x)g(x) est strictement positive de sorte que l’´elasticit´e e(f g) est bien d´efinie et vaut

e(f g)(x) =x (f g)^′(x)

f(x)g(x) =xf^′(x)g(x) +f(x)g^′(x)

f(x)g(x) =xf^′(x)

f(x) +xg^′(x) g(x), soit, d’apr`es les formules de la question 2,

e(f g)(x) =xe^x−e^−x

e^x+e^−x + 2(x+ 1) +xln(x) 2(1 +x) ln(x) . Exercice 2.

1. Un sous-ensembleE de R² est born´e si et seulement s’il existe un r´eel K >0 tel que

∀X∈E, d(0, X) =kOX^−→k ≤K, o`u O = (0,0).

Un sous-ensembleE de R² est compact si et seulement s’il est ferm´e et born´e.

2. Le vecteur ~u = AB^−→ = (0,5) est un vecteur directeur de la droite passant par A = (2,5) et B = (2,10), qui a donc une ´equation de la forme

5x+c= 0.

Comme le pointA= (2,5) appartient `a cette droite, le coefficient cvaut c=−10,

de sorte qu’une ´equation de cette droite est 5x−10 = 0.

3. Un point M = (x, y) appartient au cercle de centre O = (5,8) et de rayon r = 3 si et seulement si

d(O, M) = 3, c’est-`a-dire

(x−5)²+ (y−8)² = 9.

Une ´equation de ce cercle est donc donn´ee par

x²+y²−10x−16y+ 80 = 0.

4. Ensemble A. L’ensemble A est la r´eunion du demi-plan ferm´e d’´equation x+y ≤ 2, et du cercle de centre

−³2,⁵₂

, et de rayon q35

2 , dont l’´equation estx²+y²+ 3x−5x= 9. En voici une repr´esentation graphique:

- 6

0 1

1 2

2 A

C

−³2,⁵₂ ,

q35 2

La fronti`ere de l’ensemble A(en gras sur la repr´esentation graphique ci-dessus) est incluse dans l’ensemble A.

De plus, les points M_n de coordonn´ees (−n, n) appartiennent `a l’ensemble A pour tout entier n: comme leur distance `a l’origine d(O, M_n) = √

2n tend vers +∞, lorsque n tend vers +∞, l’ensemble A n’est pas born´e.

Ensemble B. L’ensembleB est l’intersection du demi-plan ouvert x <0 et du demi-plan ferm´e y ≥0, dont voici une repr´esentation graphique:

- 6

0 1

1 B

La fronti`ere de l’ensemble B se compose de la demi-droite d’´equations x <0 et y = 0 (en gras ci-dessus), qui est contenue dans B, et de la demi-droite d’´equations x = 0 et y ≥ 0, qui n’est pas contenue dans B: la fronti`ere de Bn’est donc pas contenue dansB.

De plus, les points M_n de coordonn´ees (−n, n) appartiennent `a l’ensemble B pour tout entier n≥1: comme leur distance `a l’origined(O, Mn) =√

2ntend vers +∞, lorsquentend vers +∞, l’ensemble B n’est pas born´e.

Ensemble C. L’ensemble C est ´egal au plan R² priv´e de la droite D d’´equation 2x+y−2 = 0.

En voici une repr´esentation graphique:

- 6

0 1

1 2

C

C D

La fronti`ere de l’ensemble C est ´egale `a la droite D d’´equation 2x+y−2 = 0: elle n’est donc

pas contenue dans C.

De plus, les points M_n de coordonn´ees (n, n) appartiennent `a l’ensemble C pour tout entier n: comme leur distance `a l’origine d(O, M_n) = √

2n tend vers +∞, lorsque n tend vers +∞, l’ensemble C n’est pas born´e.