L3S6 Math-Eco
Optimisation Non Lin´ eaire
Ann´ee 2009-2010 Contrˆole Terminal
Session 2 Dur´ee : 2h
Documents et calculatrices interdits.
Exercice 1 Une firme a´eronautique fabrique des avions qu’elle vend sur deux march´es ´etrangers. Soit q1 le nombre d’avions vendus sur le premier march´e et q2 le nombre d’avions vendus sur le deuxi`eme march´e. Les fonc- tions de demandes dans les deux march´es respectifs sont :
p1 = 60−2q1
p2 = 80−2q2
Les deux prix de ventes sont p1 et p2. La fonction de coˆut total de la firme est
C= 50 + 40q,
o`uq est le nombre total d’avions produits. Trouver le nombre d’avions que la firme doit vendre pour maximiser son b´en´efice. On justifiera bien l’existence de maximum.
Exercice 2 Soit f(x, y) = 5x2+ 6y2−xy.
a) D´eterminer le minimum de f sous la contrainte d’in´egalit´ex+ 2y≤24.
b) Ecrire l’algorithme d’Uzawa pour approcher le minimum de f sous les contraintes d’in´egalit´e
x≥0, y≥0, x+y≥1, x+ 2y ≤24.
Exercice 3 Un chocolatier veut concevoir une boˆıte cylindrique en carton ferm´ee. Le coˆut du carton est proportionnel `a la surface utilis´ee. Le carton dor´e est 4 fois plus cher que le carton dont sont faits les deux fonds. Le rayon du cylindre est r et sa hauteur h. La boˆıte doit contenir un volume V de chocolats. Le chocolatier souhaite choisirr eth afin de minimiser le coˆut du carton.
a) ´Ecrire le probl`eme d’optimisation associ´e b) R´esoudre le probl`eme.
Exercice 4 Un bonneteur vous propose de payer 4 euros le droit d’entrer dans le jeu suivant : vous pouvez lancer le mˆeme d´e (`a6faces)3fois de suite.
Au premier et au second jet, vous pouvez d´ecider d’arrˆeter ou de continuer.
Il vous paiera en euros le dernier score obtenu. Quelle strat´egie optimale adopteriez vous ? Le prix d’entr´ee est-il raisonnable ?
Exercice 5 On d´efinit xn+1 = xn+yn, yn+1 = 2xn+yn+un, pour n = 0,1,2 et Xn = (xn, yn). On d´esire passer de X0 = (x0, y0) donn´e `a X3 = (0,0)en minimisant le crit`ere
C = 1
2(u20+u21+u22).
Trouver les3 commandes optimales u0, u1 etu2. Exercice 6 R´esoudre pourT = 10,minPT−1
t=0(u2+x2)+50(x(T)−2)2 sous les contraintes d’int´egrit´e et de dynamique
u(t)∈ {−2,−1,0,1,2}, x(t)∈ {0,1, . . . ,8}, x(0) = 8, x(t+1) =x(t)−u(t).
Exercice 7 Consid´erons un investisseur qui poss`ede une somme S `a la banque. N’ayant aucun autre revenu que les int´erˆets qui lui sont vers´es, il cherche quelle est la meilleure fa¸con (au sens de son agr´ement) de d´epenser son argent sur l’horizon [0, T]. On suppose que son agr´ement est pour tout tempsE = 2√
r. L’agr´ement futur compte moins que le pr´esent. La fonction qu’il va maximiser est donc
Z T
0
exp(−βt)E(t)dt.
Dans le mˆeme temps, la banque lui verse des int´erˆets proportionnels `a son capital restant `a la banquex(t). L’´equation r´egissant ses ´economies est donc
x0(t) =αx(t)−r(t).
On suppose quex(T) = 0. Ecrire le principe du maximum de Pontryagin et montrer que
x0(t) =αx(t)−r(0) exp((2α−2β)t).
Calculer alors la trajectoire et comparer au cas o`u il d´epenserait toujours la mˆeme somme (i.e. r(t) est constant). On pourra utiliser l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz : |Rb
af(x)g(x)dx| ≤ q
Rb
af(x)2dx q
Rb
ag(x)2dx Exercice 8 Soit un syst`eme ´evoluant sous la contrainte dynamique
x(t+ 1) = 0.5x(t) + 0.3u(t), 0≤u(t)≤x(t), x(0) = 1.
On cherche `a d´eterminer le contrˆoleu(t), t= 0,1,2qui maximise la fonction
J(u) =
3
X
t=0
(2x(t)−u(t)).
1) On commence `a poser u(0) =u(1) =u(2) = 1/10. Calculer J(u).
2) ´Ecrire le principe d’Hamilton-Jacobi-Bellman et d´ecrire les ´etapes de la r´esolution du probl`eme d’optimisation.
3) Calculer la solution du probl`eme d’optimisation.
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