L3S6 Math-Eco
Optimisation Non Lin´ eaire
Ann´ee 2010-2011 Contrˆole Terminal
Dur´ee : 2h Documents interdits ; calculatrice type coll`ege autoris´ee (non programmable).
Le barˆeme est donn´e `a titre indicatif et pourra ˆetre modifi´e.
Exercice 1 (4 points) Une entreprise fabrique trois types de machines : x1, x2 et x3. La fonction du coˆut conjointeC(x1, x2, x3) est :
C(x1, x2, x3) = 4x21+ 2x22+x23−2x1x2+x2x3−30x2−30x3
Combien de machines de chaque type l’entreprise doit-elle fabriquer pour minimiser son coˆut s’il lui faut un total de 100 machines ?
Exercice 2 (6 points) Une usine fabrique un certain produit dont le stock est not´ex(t) et le taux de production x0(t). On d´esire produire une quantit´e Q en un temps impos´e T, le coˆut de production ´etant
J = Z T
0
(a
2x0(t)2+bx(t))dt, a, b >0.
D´eterminer le taux de production optimal et comparer avec le coˆut corres- pondant `a une production `a taux constant. On supposera que
Q= bT2 a .
On suppose maintenant que les d´epenses sont actualis´ees `a un taux continu r >0. Cela se traduit par la minimisation de
Jr= Z T
0
e−rt(a
2x0(t)2+bx(t))dt.
au lieu deJ. Reprendre les questions pr´ec´edentes dans ce cas, en supposant cette fois-ci que
Q=erTbT2 a .
Exercice 3 (6 points) Un individu s’embarque pour un voyage de deux jours dans un bateau. Il emporte avec lui la quantit´e w ≥ 0 de nourriture.
Le premier jour il consomme une quantit´ec0et le deuxi`eme jour une quantit´e c1. En supposant qu’il puisse prˆeter ou emprunter de la nourriture `a un taux r le premier jour, il obtient alors
c1≤(1 +r)(w−c0). (1)
1
Il cherche `a maximiser la fonction d’utilit´e : maxc0,c1
√c0+β√ c1,
sous la contrainte (1). Le nombre β > 0 est un param`etre qui actualise la valeur de la nourriture. R´esoudre ce probl`eme d’optimisation (on justifiera bien l’existence du maximum).
Reprendre le probl`eme en consid´erant que l’individu est parti pour T jours et que l’on maximise
c0,c1,...,cmaxT−1,w1,...,wT
T
X
t=0
βt√ ct,
sous les contraintes
wt+1 = (1 +r)(wt−ct), t= 0, . . . , T −1.
Exercice 4 (4 points) Un individu a h´erit´e d’une mine. La licence de la mine expire dans 3 ans et ne sera pas renouvel´ee. Il reste 128 tonnes d’or dans la mine. Le prix est fix´e `a un euro la tonne. Le coˆut de l’extraction est qt2/xt, o`u qt est le taux d’extraction et xt le stock de l’or. Le plan de production optimal est alors donn´e par
q0,q1,qmax2,x1,x2,x3
3
X
t=0
(1− qt xt)qt, sous les contraintes
xt+1 =xt−qt, t= 0,1,2.
R´esoudre ce probl`eme de maximisation.
2
El´ ements de correction
Exercice 1
On obtient les ´equations
8x1−2x2+λ= 0, 4x2−2x1+x1−30 +λ= 0, 2x3+x2−30 +λ= 0, et on a aussi
x1+x2+x3−100 = 0.
On trouve alorsx1= 20, x2 = 30 etx3 = 50.
Exercice 2
1.On a x0(t) =u(t),u(t) est le taux de production. On cherche minu(t)≥0
Z T
0
(a
2u(t)2+bx(t))dt, sous l’´equation d’´etat
x0(t) =u(t), x(T) =Q, x(0) = 0.
On introduit le Hamiltonien
H(x, u, λ, t) = a
2u2+bx+λu.
D’ apr`es le principe du minimum de Pontryagin, on a λ0 =−Hx=−b,
et
Hu=au+λ= 0.
On obtient donc
λ(t) =C−bt.
et
u(t) =−λ(t)/a= (−C+bt)/a, puis
x0(t) = (−C+bt)/a, donc
x(t) = (−Ct+bt2/2)/a.
puisquex(0) = 0. On en d´eduit :
x(T) =Q= (−CT +bT2/2)/a puis
C =−aQ T + bT
2 3
puis
x(t) = bt2 2a +
Q T −bT
2a
t= Qt T + b
2at(t−T) On v´erifie bien quex(T) =Q etx(0) = 0. On a aussi
u(t) =x0(t) = bt a +
Q T −bT
2a
= Q T + b
a(t−T 2).
On v´erifie queu(t)≥0, puisque u(t)≥u(0) = Q
T − b a
T 2 = bT
a − b a
T 2 = b
a T 2 >0.
Enfin, on a
minu(t)≥0 Z T
0
(a
2u(t)2+bx(t))dt
= Z T
0
a 2
Q2 T2+bQt
T dt+b2 2a
Z T
0
t(t−T)dt+b2 2a
Z T
0
(t−T
2)2dt+bQ 2T
Z T
0
(t−T 2)dt
= a 2
Q2
T +bQT 2 + b2
2a Z T
0
t(t−T) + (t−T 2)2dt
= a 2
Q2
T +bQT 2 + b2
2a Z T
0
2t2−2tT +T2/4dt
= a 2
Q2
T +bQT
2 +b2T3
2a (2/3−1 + 1/4)
= a 2
Q2
T +bQT
2 −b2T3 24a = 23
24 b2T3
a . Dans le cas d’une production `a taux constant, on a
u(t) =c, x0(t) =c, puisx(t) =cx. Commex(T) =Q, on obtient
x(t) =Qt
T, u(t) = Q T, et
Z T
0
(a
2u(t)2+bx(t))dt= a 2
Q2 T +bQ
T Z T
0
tdt= a 2
Q2
T +bQT
2 = b2T3 a . On v´erifie bien que la premi`ere solution permet de baisser la fonction coˆut (on gagne 100·241 = 4.167%) par rapport `a la production `a taux constant.
Exercice 3
4
