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Non-lin´ earit´ es : param` etres

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

ECO 4272 : Introduction ` a l’´ Econom´ etrie Notes sur les mod` eles de r´ egression non lin´ eaires

Steve Ambler

D´epartement des sciences ´economiques Ecole des sciences de la gestion´ Universit´e du Qu´ebec `a Montr´eal

2018: Steve Amblerc

Hiver 2018

(2)

Introduction

I But : pr´esenter quelques strat´egies g´en´erales pour sp´ecifier et estimer des mod`eles ´econom´etriques non lin´eaires.

I Mod`eles non lin´eaires dans lesvariables, non les mod`eles non lin´eaires dans lesparam`etres.

I But secondaire : r´eviser un certain nombre de concepts.

1. Calcul d’intervalles de confiance pour des pr´edictions de changement.

2. Calcul de variances de combinaisons lin´eaires de variables al´eatoires.

3. Estimation d’une version ´equivalente d’un mod`ele.

4. Tests d’hypoth`ese et relation entre statistiquesF ett.

(3)

Non-lin´ earit´ es : param` etres versus variables

I Mod`ele de r´egression multiple g´en´eral : Yi =F(Xi , β) +ui

I Le terme d’erreur est additif.

(4)

Non-lin´ earit´ es dans les variables seulement

I Pour βj , j = 0,1, . . .k nous avons

∂Yi

∂βj =G(Xi).

I Les d´eriv´ees partielles ne d´ependent pas des param`etres.

I Nous pouvons r´e´ecrire le mod`ele sous la forme Y =Xβ+U

avec une red´efinition appropri´ee des variables dans la matrice X.

(5)

Non-lin´ earit´ es : param` etres

I Pour au moins un param`etreβj , i = 0,1, . . .k nous avons

∂Yi

∂βj = ˜G(Xi, β).

I Le mod`ele est non lin´eaire dans les param`etres.

(6)

MCNL

I Il est toujours possible de d´efinir le probl`eme min

β n

X

i=1

ui2 =

n

X

i=1

(Yi−F(Xi , β))2

I Un ordinateur avec un algorithme sophistiqu´e peut r´esoudre ce probl`eme.

I Il est possible aussi de calculer (au moins approximativement) une solution num´erique pour

E

βˆ−β βˆ−β0

.

I Etudier comment et pourquoi ce genre d’approximation´ fonctionne d´epasse le cadre de ce cours.

(7)

Exemple

I Fonction de production CES :

Yi = (θNiγ+ (1−θ)Kiγ)(1/γ)+ui.

I Les param`etres sontθ et γ.

I Il n’y a pas de transformation de ce mod`ele qui donne un mod`ele lin´eaire.

(8)

Transformation

I Mod`ele :

Yi =NiαKiβexp (ui),

I En logs :

ln (Yi) =αln (Ni) +βln (Ki) +ui.

I Avec rendements constants (α+β = 1 => β= 1−α) : ln (Yi)−ln (Ki) =α(ln (Ni)−ln (Ki)) +ui.

(9)

Strat´ egies pour d´ etecter les non-lin´ earit´ es

1. M´ethodes formelles : `a suivre dans le prochain chapitre.

2. M´ethodes graphiques :

2.1 Graphique des r´esidus contre soit la variable d´ependante soit une des variables explicatives.

2.2 Graphique avec la ligne de r´egression (conditionnelle) et les paires (Yi, Xji) o`uXji est l’ie observation sur la je variable explicative.

2.3 “Partial plots”

(10)

Mod` eles polynomiales

I Exemple :

Yi01Xi2Xi23Xi3+. . .+βrXir +ui.

I Pas de difficult´es pour l’estimation.

I Multicollin´earit´e possible.

I Tester la significativit´e de X.

I Intervalles de confiance pour les changements pr´edits.

(11)

Mod` eles logarithmiques

I Log–lin´eaire :

ln (Yi) =β01X1i+. . .+βkXki +ui.

I Lin´eaire–log :

Yi01ln (X1i) +. . .+βkln (Xki) +ui.

I Log–log :

ln (Yi) =β01ln (X1i) +. . .+βkln (Xki) +ui.

I Les R2 de deux r´egressions o`u la variable d´ependante n’est pas d´efinie de la mˆeme fa¸con (par exemple en logs et en niveaux) ne sont pas strictement comparables.

(12)

Effets d’interaction entre variables explicatives

1. Variable dichotomique – variable dichotomique : Yi01D1i2D2i +ui. D1 : diplˆome, D2 : masculin/f´eminin.

2. L’impact de l’obtention d’un diplˆome sur le salaire pourrait d´ependre aussi du sexe.

Yi01D1i2D2i3D1iD2i +ui.

(13)

Effets d’interaction (suite)

I Variables dichotomiques – variables continues.

Yi01Di2Xi +ui, X : ann´ees d’exp´erience,D diplˆome ou non.

I On pourrait avoir

Yi01Di2Xi3DiXi+ui.

I Troisi`eme possibilit´e :

Yi01Xi2DiXi +ui.

(14)

Variables continues – variables continues

I Interaction entre variables continues et variables continues : Yi01X1i2X2i3X1iX2i+ui. X1 : ann´ees d’exp´erience,X2 : nombre d’ann´ees d’´etudes.

(15)

Strat´ egie g´ en´ erale

I Identifier des non-lin´earit´es possibles (intuition, raisonnement

´

economique, etc.).

I Sp´ecifier une fonction non lin´eaire et l’estimer.

I Juger si la fonction non lin´eaire est une am´elioration (tests t, testsF,R2, etc.). Noter la qualification concernant

l’utilisation du R2 dans la sous-section sur les transformation logarithmiques.

I Faire un graphique de la relation estim´ee pour identifier des probl`emes ´eventuels.

I Utiliser des tests formels.

(16)

Exemple

I Mod`ele de r´egression simple estim´e : Yi01Xi+ui.

I Les r´esidus sont en moyenne n´egatifs pour des valeurs faibles deXi, positifs pour des valeurs interm´ediaires, et encore n´egatifs pour des valeurs ´elev´es.

I L’impact de Xi sur Yi diminue avecXi.

(17)

Exemple (suite)

I Deux sp´ecifications alternatives non lin´eaires possibles : Yi01ln (Xi) +ui;

Yi01Xi2Xi2+ui.

I Tester la significativit´e de ˆβ2, comparer lesR2 ou les ¯R2, regarder encore des graphiques des r´esidus contreXi.

(18)

Exemple (suite)

I Estimer un mod`ele g´en´eral quiemboˆıte les deux autres : Yi01Xi2Xi23ln(Xi) +ui.

I Les 2 mod`eles sont des versions contraintes de celui-ci.

I Tester les deux H0 suivantes :

H03 = 0 H13 6= 0;

H012= 0 H116= 0et/ouβ2 6= 0.

I Retenir le mod`ele dont le rejet est le plus fort (la p-value la plus faible).

I Pour des versions plus formelles de ce test, voir Davidson et MacKinnon (1982).

(19)

Changements pr´ edits

I Mod`ele illustratif :

Yi01X1i2X2i3X1iX2i+ui.

I Nous avons

∆ ˆY ≡Yˆ2−Yˆ1 =h

βˆ0+ ˆβ1X12+ ˆβ2X21+ ˆβ3X12X21i

−h

βˆ0+ ˆβ1X11+ ˆβ2X21+ ˆβ3X11X21i

= ˆβ1(X12−X11) + ˆβ3X21(X12−X11)

= ˆβ1(∆X1) + ˆβ3X21(∆X1)

⇒ ∆ ˆY

∆X1

= ˆβ1+ ˆβ3X21.

(20)

Changements pr´ edits : intervalles de confiance.

I Trois m´ethodes principales.

1. Matrice variance-covariance des param`etres.

2. Estimation d’une version ´equivalente du mod`ele.

3. StatistiqueFpour tester une restriction lin´eaire.

(21)

Matrice variance-covariance des param` etres

I Le changement peut ˆetre exprim´e comme une fonction lin´eaire des param`etres du mod`ele.

∆ ˆY

∆X1

0β,ˆ

δ : vecteur de constantes de dimensions (k+ 1)×1.

I Dans l’exemple de la section pr´ec´edente :

∆ ˆY

∆X1

= [0, 1, 0, X21]

 βˆ0

βˆ1 βˆ2 βˆ3

 .

(22)

Matrice variance-covariance des param` etres (suite)

I Nous avons :

E βˆ−β

= 0, E

βˆ−β βˆ−β0

= Σβˆ.

I Appliquant nos r`egles de base : Var

δ0βˆ

= Var δ0

βˆ−β

= E

δ0

βˆ−β βˆ−β0

δ

0E

βˆ−β βˆ−β 0

δ

δ0E

βˆ−β βˆ−β 0

δ

0Σβˆδ

(23)

Matrice variance-covariance des param` etres (suite)

I L’´ecart type associ´e `a notre pr´evision est SE

∆X1δ0βˆ

= ∆X1

q δ0Σˆβˆδ,

I Nous avons remplac´e Σβˆ par un estimateur convergent.

I Nous avons

∆ ˆY = ∆X1δ0βˆ±z∆X1 q

δ0Σˆβˆδ, z >0 o`u

Φ (−z) = (1−X)/2.

(24)

Estimation d’une version ´ equivalente du mod` ele

I Dans le cas de l’exemple :

Yi0+ (β13X21)X1i2X2i3(X1iX2i−X21X1i) +ui

≡β01X1i2X2i3Zi +ui

I L’estimation du mod`ele transform´e nous donne ˆγ1 et son ´ecart type, et nous pouvons facilement ´ecrire l’intervalle de

confiance pour la pr´ediction.

(25)

Estimation d’une version ´ equivalente du mod` ele (suite)

I Dans le cas g´en´eral on peut ´ecrire la combinaison lin´eaire de coefficients pour laquelle on veut calculer l’´ecart type sous la forme

δ0β=δ01β12β2+. . .+δkβk.

I Ceci donne δ0β

δ1 = δ0

δ11+ δ2

δ1β2+. . .+δk

δ1βk

I Le mod`ele transform´e devient Yi0−δ0

δ1

X1i + δ0

δ1

12 δ1

β2+. . .+δk δ1

βk

X1i

2

X2i −δ2

δ1X1i

+. . .+βk

Xki−δk δ1X1i

+ui.

(26)

Estimation d’une version ´ equivalente du mod` ele (suite)

I Int´egrant le terme δδ0

1X1i avec la variable d´ependante on obtient

Yi0

δ1

X1i

0+ δ0

δ1

12

δ1

β2+. . .+δk

δ1

βk

X1i

2

X2i−δ2

δ1X1i

+. . .+βk

Xki −δk

δ1X1i

+ui

≡β01X1i2Z2i +. . .+βkZki+ui.

(27)

Estimation d’une version ´ equivalente du mod` ele (suite)

I L’´ecart type associ´e `a ˆγ1 nous donne une fa¸con de calculer un intervalle de confiance.

SE(γb1) =SE δ0βˆ δ1

! .

I Donc

SE

δ0βˆ

1SE( ˆγ1).

(28)

Statistique F pour tester une restriction lin´ eaire

I Dans le cas de l’exemple :

H0: β13X21= 0, H1 : β13X216= 0

⇒F =t2=

βˆ1+ ˆβ3X21 SE

βˆ1+ ˆβ3X21

2

.

I Nous avons tout de suite que SE

βˆ1+ ˆβ3X21

=

βˆ1+ ˆβ3X21

√F .

(29)

Statistique F pour tester une restriction lin´ eaire

I Forme g´en´erale :

H0 : δ0β = 0, H1: δ0β6= 0.

Nous avons :

SE

δ0βˆ

=

δ0βˆ

√ F

.

(30)

Concepts ` a retenir

1. La distinction entre non-lin´earit´es dans les variables et non-lin´earit´es dans les param`etres.

2. Une compr´ehension intuitive des fa¸cons de d´etecter la pr´esence de relations non lin´eaires entre les variables d’un mod`ele ´econom´etrique.

3. Une compr´ehension intuitive des principaux types de mod`eles non lin´eaires.

4. La fa¸con de calculer l’impact pr´edit de la variation d’une variable explicative sur la variable d´ependante. L’id´ee qu’en g´en´eral cet impact pr´edit peut d´ependre de niveauxd’une ou de plusieurs variables explicatives.

5. Les trois fa¸cons principales de calculer des ´ecarts types et les intervalles de confiance pour les changements pr´edits : par l’utilisation de la matrice variance-covariance des param`etres estim´es, par l’estimation du mod`ele ´equivalent appropri´e, ou par le calcule de la statistiqueF pour tester la restriction appropri´ee sur une combinaison lin´eaire des coefficients du mod`ele.

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