 Intervalles de confiance

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X  – MAP 

PC  –  juin  – Intervalles de confiance

Igor Kortchemski –igor.kortchemski@cmap.polytechnique.fr

Corrigé des exercices non traités surhttp:// www.normalesup.org/ ˜ kortchem/ MAPun peu après la PC.

 Intervalles de confiance

E ^{xercice 1.}

(Monte Carlo et intervalle de confiance exapourπ)Soit ((X_i, Y_i))_i≥ une suite de veeurs aléatoires indépendants tels que pour touti≥,X_ietY_isont des variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur [,]. PosonsZ_i =siX_i^+Y_i^≤etZ_i =sinon. Finalement, on pose

S_n=  n·

Xn i=

Z_i,

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

1.0Jet de 100 points uniformes dans le carre

Figure– Dans ce exemple,S_= _^ ·(il y apoints dans la r´egion pleine).

() Identifier la loi deZ_.

() Montrer queS_nconverge presque s ˆurement versπ.

() Montrer queP(|S_n−π| ≥x)≤ ^

x^n pour toutx >.

Indication.On pourra utiliser l’inégalité de Bienaymé–Tchebychev.

() Expliquer comment simuler un intervalle de confiance deπd’amplitude au plus⁻^ `a

%

E ^{xercice 2.}

(Intervalles de confiance asymptotiques avec le TCL) Soit (X_n)_n≥ une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi. On suppose queX_ ede carré intégrable, de moyennemet de varianceσ^>. On pose

mb_n=X_+· · ·+X_n

n , bσ_n^=  n−

Xn k=

(X_k− mb_n)^.

Pour des queions, demande d’explications etc., n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail.



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() Juifier que√

n·^m^bⁿ⁻^m

σ converge en loi versN(,), une gaussienne centr´ee r´eduite.

() En d´eduire un intervalle de confiance asymptotique pour m au niveau% (en suppo- santσ connu).

() Montrer queσb_nconverge presque s ˆurement versσ. L’eimateurσb_n^ e-il sans biais ? Indication.On pourra d´emontrer que ⁿ⁻_n^·

σb_n^=_

n

Pn k=X_k^

−mb^_n. () Montrer que

√

n·mb_n−m σb_n

−→loi n→∞

N(,).

() En d´eduire un intervalle de confiance asymptotique pour m au niveau% (en suppo- santσ inconnu).

E ^{xercice 3.}

(Intervalles de confiance asymptotiques)Le but de cet exercice ed’eimer le temps d’attente du RER B, qui suit une loi exponentielle de paramètre λ >  inconnu. Soit (E_i)_i≥ une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi exponentielle de paramètre λ >inconnu. On posebλ_n= Ê^⁺^···_n^+Eⁿ et

σb_n^=  n−

n

X

k=

(E_k−bλ_n)^.

() Donner un intervalle de confiance asymptotique pour ^_λ au niveau%.

() Comment obtenir un intervalle de confiance asymptotique pourλau niveau% ?

 A chercher pour la prochaine fois `

E ^{xercice 4.}

(Référendum) Avant un référendum, on effeue une enquête pour eimer la proportionpde personnes votant oui. On interroge un échantillon représentatif denpersonnes et on noteFb_nla proportion du nombre de réponses oui dans l’échantillon.

() Quelle ela loi denbF_n(en faisant des hypoth`eses raisonnables) ?

() D´emontrer que √

n q

bF_n(−bF_n)

bF_n−p loi

−→

n→∞

N(,).

En d´eduire un intervalle de confiance asymptotiquebI_n `a% pourp.

() En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, obtenir un intervalle de confiance exa bJ_n à%.

() On rappelle l’in´egalit´e de concentration (vue en Amphi) pour la loi binomiale : P(|Binom(n, p)−np|> r)≤exp −r^

n

! .

Utiliser cette inégalité pour obtenir un intervalle de confiance exaKb_n à%.



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() Quel intervalle choisiriez-vous ?

 Plus appliqu´e

E ^{xercice 5.}

^(Enquête) On effeue une enquête, durant une épidémie de grippe, dans le but de connaˆıtre la proportion p de personnes présentant ensuite des complications graves. On observe un échantillon représentatif depersonnes et pour un tel échantillonpersonnes ont présenté des complications.

() Donner un intervalle de confiance pourpau risque%.

() On désire que la valeur eimée bp diffère de la proportion inconnue exaep de moins de.avec une probabilité égale à%.Quel sera l’effeif d’un tel échantillon ? () Quel devrait être le risque pour obtenir le même intervalle qu’à la queion précédente

en conservant l’effeifn=?Quelle conclusion peut-on en tirer ?

 Pour aller plus loin

E ^{xercice 6.}

(Stabilisation de la variance)On dispose d’un échantillonX_, . . . , X_nde variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre< θ <.

() On note X_n= ^X^⁺^···_n^+Xⁿ la moyenne empirique desX_i.Que donne la loi forte des grands et le TCL ?

() Trouver une fonion g telle que √

n(g(X_n)−g(θ)) converge en loi vers une loi loi gaus- sienne centr´ee r´eduite.

() On notez_αle quantile d’ordre−α/de la loi normale (P(Z≥z_α) =α/siZeune loi normale centrée réduite). En déduire un intervalle de confiance asymptotiquebI_n,α (qui dépend dez_α,netX_n) tel que lim_n→∞P

θ∈bI_n,α

=−α.

Rappel (théorème de Cochran, extension de la proposition .. du poly). Soit X un veeur colonne aléatoire de Rⁿ de loi N(m, σ^I_n) (avec m ∈ Rⁿ, σ > ) et Rⁿ = E_ ⊕ · · · ⊕E_p une décomposition de Rⁿ en somme diree de p sous-espaces veoriels orthogonaux de dimen- sionsd_, . . . , d_pavecd_+· · ·+d_p=n. SoitP_kla matrice du projeeur orthogonal surE_k etY_k=P_kX la projeion orthogonale deXsurE_k. Alors :

() les veeurs aléatoires (Y_, . . . , Y_p) sont indépendants etY_k suit la loiN(P_km, σ^P_k) ; () les variables aléatoires réelles (kY_i −P_imk^)_≤i≤p sont indépendantes et kY_k−P_kmk^/σ^

suit la loiχ^(d_k).



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E ^{xercice 7.}

( Étalonnage) On considère que la réponse d’un appareil de mesure à un signal déterminie ξ e égale à aξ plus un bruit gaussien centré de variance b, o ù (a, b)∈ R×R^∗₊. On se propose d’étalonner l’appareil (c’e-à-dire eimer les valeurs deaetb) en envoyant une suitex = (x_, x_, . . . , x_n) de signaux connus. On note Y_i =ax_i+

√

bU_i la réponse aui-ième signal o ù on suppose que les coordonnées du veeurU= (U_, U_, . . . , U_n) sont des variables aléatoires gaussiennes centrées réduites indépendantes. On noteY = (Y_, Y_, . . . , Y_n),

Ab_n= Pn

i=x_iY_i P_n

i=x_i^ et bB_n= Pn

i=(Y_i−x_iAb_n)^

n− .

() Donner la loi deAb_n. `A quelle condition sur la suite (x_i)_i≥a-t-onE

h(Ab_n−a)^i

→lorsque n→ ∞?

On compl`ete e_ = _k^x_x_k en une base orthonorm´ee (e_, . . . , e_n) deRⁿ. NotonsP la projeion orthogonale surE_= Ve(e_) etQla projeion orthogonale surE_= Ve(e_, . . . , e_n).

() DéterminerP Y etQY. En déduire queAb_netbB_nsont des variables aléatoires indépendantes.

Donner l’esp´erance et la variance deBb_n.

() Montrer qu’il exie une conantec(dépendant dex) telle que la variable aléatoirecÂ√^bⁿ⁻â

bB_n

suive une loi de Student.

() Donner un intervalle de confiance `a % pour le param`etrea, suivant que l’on connaˆıt la valeur debou non.



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 Intervalles de confiance

E xercice 1.

E xercice 2.

E xercice 3.

 A chercher pour la prochaine fois `

E xercice 4.

 Plus appliqu´e

E xercice 5.

 Pour aller plus loin

E xercice 6.

E xercice 7.

E ^{xercice 1.}

E ^{xercice 2.}

E ^{xercice 3.}

E ^{xercice 4.}

E ^{xercice 5.}

E ^{xercice 6.}

E ^{xercice 7.}