ESTIMATION PAR INTERVALLES DE CONFIANCE
Table des matières
1 Intervalle de confiance. 2
2 Intervalle de confiance asymptotique. 2
3 Estimation par intervalle du paramètre d’une variable aléatoire de Bernoulli. 2 3.1 Intervalles de confiance obtenus par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev et majoration de la variance. 2 3.2 Intervalles de confiance asymptotiques obtenus par le théorème central limite et majoration de la
variance. . . 3 3.3 Intervalles de confiance asymptotiques obtenus par le théorème central limite et le théorème de Slutsky. 3 4 Estimation par intervalle de confiance de l’espérance d’une loi admettant un moment d’ordre 2. 3 4.1 Intervalle de confiance asymtotique de l’espérancemdeX ayant un écart-type connu . . . 3 4.2 Intervalle de confiance asymptotique de l’espérancemdeX ayant un écart-typeσinconnu . . . 3
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S’il existe des critères pour juger des qualités d’un estimateur ponctuel Tn de g(θ)(biais, risque, convergence), aucune certitude ne peut jamais être apportée quant au fait que l’estimation donne la vraie valeur à estimer.
La démarche de l’estimation par intervalle de confiance consiste à trouver un intervalle aléatoire qui contienneg(θ) avec une probabilité minimale donnée. L’utilisation dans certains cas du théorème limite central impose d’introduire la notion d’intervalle de confiance asymptotique.
Dans tout ce paragraphe(Un)n¾1et(Vn)n¾1désigneront deux suites d’estimateurs deg(θ)tels que pour toutθ∈Θ et pour toutn¾1,Pθ([Un¶Vn]) =1.
1 Intervalle de confiance.
Définition
Soitα∈[0, 1].[Un,Vn]est un intervalle de confiance deg(θ)au niveau de confiance 1−αsi pour toutθdeΘ, Pθ([Un¶g(θ)¶Vn])¾1−α.
Sa réalisation est l’estimation de cet intervalle de confiance.
Remarque
Cette dernière propriété équivaut à :
Pθ(g(θ)∈/[Un,Vn])¶α. αest appelé le niveau de risque de l’intervalle de confiance.
2 Intervalle de confiance asymptotique.
Définition
On appelle intervalle de confiance asymptotique de g(θ)au niveau de confiance 1−αune suite([Un,Vn])n¾1véri- fiant : pour toutθ deΘ, il existe une suite de réels(αn)à valeurs dans[0, 1], de limiteα, telle que pour toutn¾1,
Pθ([Un¶g(θ)¶Vn])¾1−αn.
Par abus de langage on dit aussi que[Un,Vn]est un intervalle de confiance asymptotique.
Remarque
Cette propriété est réalisée lorsque :
n→+∞lim Pθ([Un¶g(θ)¶Vn])¾1−α
3 Estimation par intervalle du paramètre d’une variable aléatoire de Ber- noulli.
3.1 Intervalles de confiance obtenus par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev et majora- tion de la variance.
Majoration de la variance et de l’écart-type d’une loi de Bernoulli
Étudions les variations de l’application∆:[0, 1]→Rdéfinie par∀p∈[0, 1],∆(p) =p(1−p)
∀p∈[0, 1],∆0(p) =1−2p.∆est donc croissante sur[0,1
2]et décroissante sur[12, 1]. On a donc max
p∈[0,1]∆(p) = ∆(12) = 14
∀p∈[0, 1],p(1−p)¶14 donc∀p∈[0, 1],p
p(1−p)¶12
Soit 0< α <1. Soit(X1,· · ·,Xn)unn-échantillon de la loi de Bernoulli de paramètrep(pest le paramètre à estimer).
On poseXn=X1+X2+· · ·+Xn
n .
Alors
Xn− 1 2p
nα , Xn+ 1 2p
nα
est un intervalle de confiance (exact) depau niveau de confiance 1−α.
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3.2 Intervalles de confiance asymptotiques obtenus par le théorème central limite et ma- joration de la variance.
Soit 0< α <1. On notetαl’unique réel strictement positif vérifiantΦ(tα) =1−α 2.
Soit(X1,· · ·,Xn)unn-échantillon de la loi de Bernoulli de paramètrep(pest le paramètre à estimer).
On poseXn=X1+X2+· · ·+Xn
n .
Alors
Xn− tα 2p
n , Xn+ tα 2p n
est un intervalle de confiance asymptotique de p au niveau de confiance 1−α.
Remarque
L’amplitude de l’intervalle de confiance trouvé est tα
pn qui diminue lorsquengrandit.
3.3 Intervalles de confiance asymptotiques obtenus par le théorème central limite et le théorème de Slutsky.
Soit 0< α <1. On notetαl’unique réel strictement positif vérifiantΦ(tα) =1−α 2.
Soit(X1,· · ·,Xn)unn-échantillon de la loi de Bernoulli de paramètrep(pest le paramètre à estimer).
On poseXn=X1+X2+· · ·+Xn
n .
Alors
Xn− tαp
Xn(1−Xn)
pn , Xn+ tαp
Xn(1−Xn) pn
est un intervalle de confiance asymptotique de pau niveau de confiance 1−α.
4 Estimation par intervalle de confiance de l’espérance d’une loi admettant un moment d’ordre 2.
4.1 Intervalle de confiance asymtotique de l’espérance m de X ayant un écart-type connu
Soit 0< α <1. On notetαl’unique réel strictement positif vérifiantΦ(tα) =1−α 2.
Soit(X1,· · ·,Xn)unn-échantillon i.i.d. de la loi deX oùσ >0 est connu etmest le paramètre à estimer.
On poseXn=X1+X2+· · ·+Xn
n .
Alors
Xn−tα σ
pn,Xn+tα σ pn
est un intervalle de confiance asymptotique demau niveau de confiance 1−α.
4.2 Intervalle de confiance asymptotique de l’espérance m de X ayant un écart-type σ inconnu
On noteVn= 1 n
n
X
i=1
(Xi−Xn)2etSn=p Vn. Alors
Xn−tα Sn
pn,Xn+tαSn pn
est un intervalle de confiance asymptotique demau niveau de confiance 1−α.
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