Q1. Un estimateur efficace A. Peut être biaisé.

(1)

Professeur F. Pelgrin EDHEC Business School Données, Analyse, Décisions

Séance 8 : Exercices

Estimateur

Exercice 1 : QCM

Q1. Un estimateur efficace A. Peut être biaisé.

B. A une variance minimale parmi tous les estimateurs.

C. Est caractérisé par une efficacité relative plus petite que 1 par rapport à tous les estimateurs sans biais.

D. Aucune de ces réponses n’est correcte.

Q2. Un estimateur sans biais est

A. Un estimateur dont la loi d’échantillonnage a le même support que la population.

B. Une variable aléatoire d’espérance égale à la valeur du paramètre caractéristique d’une population que l’on cherche à connaître.

C. Une statistique dont l’espérance est égale à la valeur du paramètre estimé quelle que soit la valeur de ce dernier.

D. Une statistique dont la moyenne empirique est égale à la valeur du paramètre estimé.

Q3. L’erreur quadratique moyenne

A. Est supérieure ou égale à la variance de l’estimateur.

B. Est supérieure ou égale au biais au carré de l’estimateur.

C. Est égale à la variance de l’estimateur si ce dernier est biaisé.

D. Est une mesure de dispersion d’un estimateur.

Q4. La variance empirique A. Est un nombre.

B. Est une variable aléatoire qui ne peut être normalement distribuée lorsque la taille de l’échantillon est petite.

C. Suit un khi-deux à (n-1) degrés de liberté si la population est normalement distribuée.

D. Dilaté par (n-1) et divisée par la variance de la population suit toujours un khi-deux à (n-1) degrés de liberté.

1

(2)

Q5 La distribution de la moyenne empirique

A. Est égale à la distribution des valeurs possibles de la variable dans la population.

B. Est la distribution des valeurs des moyennes calculées sur chaque échantillon disponible.

C. A la même nature discrète ou continue que la distribution de la population dans lequel est tiré l’échantillon.

D. Est normale si la distribution de la variable échantillonnée est normale.

Q6. La distribution d’échantillonnage

A. D’une statistique est une distribution de probabilité des valeurs prises par cette statis- tique mesurées sur tous les échantillons possibles.

B. D’une moyenne empirique a pour support un ensemble qui contient (au sens large) le support des valeurs observées dans la population.

C. D’une variance empirique est toujours normalement distribuée.

D. D’une moyenne empirique a pour support les valeurs de la distribution de la population.

Exercice 2 : Cette exercice est la suite de l’exercice 2 de la séance 7.

Dans une population de taille N = 4, les valeurs prises par la variable d’intérêt sont les suivantes

{−4, −2, 2, 4} .

1. Calculer la moyenne µ et la variance σ

²

de cette variable dans la population.

2. On s’intéresse à tous les échantillons avec remise de taille n = 2 (issus de cette population).

2.1. Calculer la moyenne et la variance pour tous les échantillons avec remise de taille n = 2.

2.2. Calculer la moyenne des moyennes (resp., des variances) des échantillons.

2.3. Définir un estimateur pour la moyenne, sa loi (distribution) d’échantillonnage et in- terpréter le résultat de la moyenne des moyennes à partir d’une ou de propriétés d’un estimateur.

2.4. Définir un estimateur pour la variance, sa loi (distribution) d’échantillonnage et in- terpréter le résultat de la moyenne des moyennes à partir d’une ou de propriétés d’un estimateur.

Exercice 3 : Soient X

₁

,· · · ,X

_n

n variables aléatoires indépendantes et identiquement dis- tribuées avec X

_i

∼ N (µ; σ

²

). On s’intéresse à l’estimateur de la moyenne µ défini par X ¯

_n

=

_n¹

n

P

i=1

X

_i

.

1. Montrer qu’il s’agit d’un estimateur sans biais de la moyenne µ.

2. Montrer que la variance de cet estimateur décroit lorsque la taille de l’échantillon s’accroît.

3. Pour aller plus loin (les fondements mathématiques de la convergence en moyenne qua- dratique ou en probabilités et cette démonstration ne sont pas à connaître), en déduire que X ¯

_n

est un estimateur convergent de µ. Interpréter ce résultat.

2

(3)

Exercice 4 : Pour aller plus loin (cet exercice n’est pas au programme de révisions de ce cours)

Soient X

₁

,· · · ,X

_n

n variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées avec X

_i

∼ N (µ; σ

²

). On s’intéresse à l’estimateur de la variance défini par S

_n²

=

_n−1¹

n

P

i=1

X

_i

− X ¯

_n

2

. 1. Montrer qu’il s’agit d’un estimateur sans biais de la variance σ

²

Q1. Un estimateur efficace A. Peut être biaisé.

Professeur F. Pelgrin EDHEC Business School Données, Analyse, Décisions

Séance 8 : Exercices

Estimateur

Exercice 1 : QCM

Q1. Un estimateur efficace A. Peut être biaisé.

B. A une variance minimale parmi tous les estimateurs.

C. Est caractérisé par une efficacité relative plus petite que 1 par rapport à tous les estimateurs sans biais.

D. Aucune de ces réponses n’est correcte.

Q2. Un estimateur sans biais est

A. Un estimateur dont la loi d’échantillonnage a le même support que la population.

B. Une variable aléatoire d’espérance égale à la valeur du paramètre caractéristique d’une population que l’on cherche à connaître.

C. Une statistique dont l’espérance est égale à la valeur du paramètre estimé quelle que soit la valeur de ce dernier.

D. Une statistique dont la moyenne empirique est égale à la valeur du paramètre estimé.

Q3. L’erreur quadratique moyenne

A. Est supérieure ou égale à la variance de l’estimateur.

B. Est supérieure ou égale au biais au carré de l’estimateur.

C. Est égale à la variance de l’estimateur si ce dernier est biaisé.

D. Est une mesure de dispersion d’un estimateur.

Q4. La variance empirique A. Est un nombre.

B. Est une variable aléatoire qui ne peut être normalement distribuée lorsque la taille de l’échantillon est petite.

C. Suit un khi-deux à (n-1) degrés de liberté si la population est normalement distribuée.

D. Dilaté par (n-1) et divisée par la variance de la population suit toujours un khi-deux à (n-1) degrés de liberté.

1

Q5 La distribution de la moyenne empirique

A. Est égale à la distribution des valeurs possibles de la variable dans la population.

B. Est la distribution des valeurs des moyennes calculées sur chaque échantillon disponible.

C. A la même nature discrète ou continue que la distribution de la population dans lequel est tiré l’échantillon.

D. Est normale si la distribution de la variable échantillonnée est normale.

Q6. La distribution d’échantillonnage

A. D’une statistique est une distribution de probabilité des valeurs prises par cette statis- tique mesurées sur tous les échantillons possibles.

B. D’une moyenne empirique a pour support un ensemble qui contient (au sens large) le support des valeurs observées dans la population.

C. D’une variance empirique est toujours normalement distribuée.

D. D’une moyenne empirique a pour support les valeurs de la distribution de la population.

Exercice 2 : Cette exercice est la suite de l’exercice 2 de la séance 7.

Dans une population de taille N = 4, les valeurs prises par la variable d’intérêt sont les suivantes

{−4, −2, 2, 4} .

1. Calculer la moyenne µ et la variance σ

de cette variable dans la population.

2. On s’intéresse à tous les échantillons avec remise de taille n = 2 (issus de cette population).

2.1. Calculer la moyenne et la variance pour tous les échantillons avec remise de taille n = 2.

2.2. Calculer la moyenne des moyennes (resp., des variances) des échantillons.

2.3. Définir un estimateur pour la moyenne, sa loi (distribution) d’échantillonnage et in- terpréter le résultat de la moyenne des moyennes à partir d’une ou de propriétés d’un estimateur.

2.4. Définir un estimateur pour la variance, sa loi (distribution) d’échantillonnage et in- terpréter le résultat de la moyenne des moyennes à partir d’une ou de propriétés d’un estimateur.

Exercice 3 : Soient X

,· · · ,X

n variables aléatoires indépendantes et identiquement dis- tribuées avec X

∼ N (µ; σ

). On s’intéresse à l’estimateur de la moyenne µ défini par X ¯

=

P

X

.

1. Montrer qu’il s’agit d’un estimateur sans biais de la moyenne µ.

2. Montrer que la variance de cet estimateur décroit lorsque la taille de l’échantillon s’accroît.

3. Pour aller plus loin (les fondements mathématiques de la convergence en moyenne qua- dratique ou en probabilités et cette démonstration ne sont pas à connaître), en déduire que X ¯

est un estimateur convergent de µ. Interpréter ce résultat.

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Exercice 4 : Pour aller plus loin (cet exercice n’est pas au programme de révisions de ce cours)

Soient X

,· · · ,X

n variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées avec X

∼ N (µ; σ

). On s’intéresse à l’estimateur de la variance défini par S

=

P

X

− X ¯

. 1. Montrer qu’il s’agit d’un estimateur sans biais de la variance σ

.

2. Déterminer la variance de cet estimateur.

3. Cet estimateur est-il (faiblement) convergent ?

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