3.1. Définitions : valeur moyenne, valeurs de crête, valeur efficace

(1)

ÉLECTRONIQUE

Chapitre 3

Signaux périodiques non sinusoïdaux

3.1. Définitions : valeur moyenne, valeurs de crête, valeur efficace

Valeur moyenne

La valeur moyenne s d’une grandeur temporelle ^{x t}

( )

calculée sur un intervalle de temps t₁⋅⋅t₂ est définie par l’expression suivante :

( )

2

2 1 1

1 ^t

t

s s t dt

t t

= −

∫

S’agissant d’un signal périodique, lorsque l’on parle de valeur moyenne sans préciser d’intervalle de temps, celle-ci est implicitement calculée sur une période :

Si ^{s T}

(

^{+ =}^t

) ( )

^{s t} ^,^∀^t^alors ⁰

( )

0

1 ^t ^T

t

s s t dt

T

=

∫

+ est indépendante de l’instant t . ₀ Nous noterons cette intégrale sous la forme symbolique

( )

[ ]

1

T

s s t dt

=T

∫

Valeurs de crête

Un signal électrique est toujours borné. Il existe donc toujours deux valeurs de crêtes qui correspondent au minimum s_min et au maximun s_max observés sur une période.

Valeur efficace

La valeur efficace d’un signal périodique s t est égale à la racine carrée de la valeur moyenne du carré

( )

du signal (en anglais root mean square, ou rms). Elle est notée S.

( ) ( )

[ ]

2 1 2

T

S s t s t dt

= = T

∫

La valeur S ainsi définie correspond à la valeur du signal continu qui produirait les mêmes effets énergétiques. C’est l’origine du qualificatif « efficace ».

Dans le cas particulier des signaux sinusoïdaux, la valeur efficace est égale à l’amplitude divisée par 2 :

[ ]

2 2 m

m

1 2

cos 2

T

s

S s t dt

T T

π

 

=  + ϕ =

 

∫

Le résultat sera différent a priori dans le cas plus général d’un signal non sinusoïdal.

(2)

Exemple : étudions le cas d’un signal triangulaire de période T et de valeur moyenne nulle, défini comme suit :

Pour 0

2 T t

− ≤ ≤ ^,^{s t}

( )

^a ⁴^t ¹

T

 

= −  + 

  et pour 0

2 t T

≤ ≤ ^,^{s t}

( )

^a ⁴^t ¹

T

 

=  − 

 

Calculons la valeur moyenne du carré :

( )

² ⁰ ² ² ² ² ²

2 2 2

0 0

2 2

1 4 4 2 4

1 1 1

3

T T T

T T

a t t a t a

s S s t dt dt dt dt

T T T T T T

+ + +

− −

       

 

= = =  +  +  −  =  −  =

     

 

 

∫ ∫ ∫ ∫

Pour un tel signal, la valeur efficace est égale à l’amplitude divisée par 3 : ² 3 S= s = a

3.2. Décomposition en série de Fourier

Spectre en fréquence d’un signal périodique Théorème de Fourier

Toute fonction périodique intégrable de période T (et de fréquence 1 ν =T ν =ν =

ν = ) peut s’écrire sous la forme de la somme de sa valeur moyenne s et d’une série, éventuellement infinie mais toujours convergente, de fonctions sinusoïdales de périodes , , , , ,

2 3

T T T

T n

ou, ce qui

revient au même, de « pulsations » ω ω ωω ω ωω ω ωω ω ω, 2 , 3 , ,nωωωω,

(((( )))) (((( ))))

1 1

2 cos 2 2 cos

n n n n

n n

s t s S n t s S n t

T

∞ ∞

∞∞ ∞∞

∞ ∞

= =

ππππ

 

= + + ϕ = + ω + ϕ

= +  + ϕ = + ω + ϕ

 

∑ ∑

Nous définirons les phases ϕ_n de telle sorte que les valeurs efficaces S non nulles soient positives. _n Le premier terme de la série, de période T égale à la période du signal, s’appelle le terme fondamental tandis que les termes suivants sont qualifiés de termes harmoniques.

Remarque : l’amplitude du terme fondamental n’est pas nécessairement la plus importante (sur l’exemple représenté ci-après, c’est l’harmonique n=3 qui a la plus grande amplitude). Il se peut même que le fondamental ait une amplitude nulle.

L’ensemble des deux graphes représentant sous forme de « bâtons » les coefficients S d’une part et les _n phases ϕ_n d’autre part, en fonction de n s’appelle le spectre fréquentiel du signal temporel. On y ajoute le terme S , égal à la valeur absolue de la valeur moyenne du signal,₀ S₀ = s , et la phase ϕ₀ qui est nulle si la valeur moyenne est positive ou nulle et égale à π si la valeur moyenne est négative.

( )

s t T

t

+a−

−a

−

(3)

Attention ! Le spectre des valeurs efficaces permet d’évaluer quelles sont les énergies associées aux différentes harmoniques. Cependant, pour reconstituer le signal par synthèse additive, il est nécessaire de connaître aussi le spectre des phases.

Expression des coefficients de Fourier

La série de Fourier peut aussi bien s’écrire sous la forme d’un développement en cosinus et sinus, sous la forme :

( ) ( )

1 1 1

2 cos cos sin

n n n n

n n n

s t s S n t s a n t b n t

∞ ∞ ∞

= = =

= +

∑

ω + ϕ = +

∑

ω +

∑

ω

avec, bien sûr, les correspondances 2 cos 2 sin

n n n

a S

b S

 = + ϕ



= − ϕ

 d’où l’on déduit : S_n 2= a_n²+b_n² Les coefficients a et _n b sont alors donnés par les intégrales de Fourier : _n

[ ]

( )

[ ]

( )

2 cos

2 sin

n

T

n

T

a s t n t dt

T

b s t n t dt

T

 = ω



 = ω



∫

Réflexion générale sur les symétries

L’intégrale sur une période d’une fonction impaire est nulle, tandis que l’intégrale sur une période d’une fonction paire est égale à deux fois l’intégrale de 0 à

2 T :

( ) ( ) ( ) ( )

[ ]

( ) ( ) ( )

[ ]

2 0

T

f t f t f t dt f f t dt

f t f t f t dt f

= + − ⇒ = =

= − − ⇒ = =

∫ ∫

∫

Représentation temporelle Spectre de Fourier

Sn

( )

s t

t

−1

0 T 2T

T

ϕn

(4)

Parité paire

Si s t est une fonction paire, alors

( )

^{s t}

( )

^sin^{n t}^ω est une fonction impaire. On en déduit que les coefficients b du développement de Fourier en sinus sont nuls pour une telle fonction. _n

Fonction paire :

( ) ( ) ( )

1 ncos

n

s t s t s t s a n t

∞

=

= + − ⇒ = +

∑

ω

Parité impaire

Si s t est une fonction impaire, alors sa valeur moyenne s est nulle et,

( )

^{s t}

( )

^cos^{n t}^ω étant une fonction impaire, on en déduit que les coefficients a du développement de Fourier en cosinus sont nuls. _n

Fonction impaire :

( ) ( ) ( )

1 nsin

n

s t s t s t b n t

∞

=

= − − ⇒ =

∑

ω

Remarque : le théorème de Fourier s’énonce de façon encore plus simple lorsqu’il est appliqué à des fonctions périodiques de variable réelle à valeur complexe.

Toute fonction périodique intégrable de période T peut s’écrire sous la forme d’une série, éventuellement doublement infinie mais toujours convergente, de fonctions exponentielles imaginaires. En posant 2

T

ω = π, cette série s’écrit :

( )

ⁿ ^{in t}

n

s t c e

∞

ω

=−∞

=

∑

avec

( )

[ ]

1 in t

n

T

c s t e dt

T

=

∫

− ω

Les coefficients c sont a priori complexes. _n

Si s t , comme nous l’envisageons, est une fonction réelle, le développement en série complexe

( )

s’identifie au développement en cosinus et sinus de la façon suivante :

( )

1 1 1 1

cos sin

2 2

in t n n in t n n in t

n n n

n n n n n

a ib a ib

s t c e s a n t b n t s e e

∞ ∞ ∞ ∞ ∞

ω ω − ω

=−∞ = = = =

− +

   

= = + ω + ω = +   +  

   

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

en posant c₀ = s ,

2

n n

n

a ib

c = − pour n>0 et

2

n n

n

a ib

c = + pour n<0. Nous avons alors c₋_n =c^*_n

Toujours pour une fonction s t réelle, les coefficients

( )

c sont directement liés aux valeurs efficaces _n S _n et à la phase des harmoniques par les relations :

2 2

arg arg

n n n

n n

n n n

a b S

c c

−

 +

 = = =

 = − = ϕ



(5)

Exemple d’un signal en créneau impair

Analyse de Fourier

Considérons une fonction créneau symétrique d’amplitude b , de valeur moyenne nulle, « en sinus ».

Du fait de sa parité, cette fonction a un développement de Fourier en sinus.

Il existe une symétrie supplémentaire : la fonction translatée d’un quart de période est une fonction paire.

Cela implique que les coefficients de Fourier d’ordre pair sont nuls. Tous calculs faits, le développement en série de Fourier de cette fonction créneau s’écrit :

( )

² ¹

( )

1

sin 2 1

k k

s t b k t

∞

−

=

∑

 − ω  avec ₂ ₁ 4 1 2 1

k

b b

− = k

π −

Le spectre correspond à des valeurs efficaces ₂ ₁ ² ¹ 2 2 1

2 1

2

k k

b b

S k

− = − =

π − décroissant en 1

n, tandis que les phases ont toutes la même valeur ₂ ₁

k− 2

ϕ = − π :

( )

² ¹

( )

² ¹

1

2 cos 2 1

k k

k

s t S k t

∞

− −

=

∑

 − ω + ϕ 

( )

s t +b

−b

T

t

Sn

b

spectre en fréquence de la fonction créneau « en sinus » ϕn

(6)

Synthèse de Fourier

Réciproquement, nous pouvons reconstituer le signal initial en faisant la somme des différentes harmoniques. Les graphes suivants correspondent aux sommes partielles ^s^N

( )

t de la série de Fourier de la fonction créneau, limitées à la somme des N premières harmoniques non nulles, soit :

( )

² ¹

( )

² ¹

( )

1 1

4 1

2 cos 2 1 sin 2 1

2 1

N N

N k k

k k

s t S k t b k t

− − k

= =

=

∑

 − ω + ϕ =

∑

π −  − ω 

Au fur et à mesure que nous prenons en compte un plus grand nombre d’harmoniques de rang élevé, nous observons une convergence de la série vers le signal rectangulaire d’origine.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

11

4 1 1 1

sin 2 sin 6 sin 10 sin 46

3 5 23

s t a  t t t t 

= π  πν + πν + πν ++ πν 

fondamental + harmonique 3 + harmonique 5 +

+ harmonique 23

T t

2 T +b

−b

( ) ( ) ( ) ( )

3

4 1 1

sin 2 sin 6 sin 10

3 5

s t a  t t t 

=  πν + πν + πν 

π  

fondamental + harmonique 3 + harmonique 5

T t

2 T +b

−b

( ) ( ) ( )

2

4 1

sin 2 sin 6 3

s t a t t 

= π  πν + πν 

fondamental + harmonique 3

T t

2 T +b

−b

( ) ( )

1

4b sin 2

s t = πνt

π

fondamental

T t

2 T +b

−b

(7)

Exemple d’un signal triangulaire pair

Analyse de Fourier

Considérons un signal triangulaire symétrique d’amplitude a, de valeur moyenne nulle, « en moins cosinus ».

Du fait de sa parité, cette fonction a un développement de Fourier en cosinus. Il existe une symétrie supplémentaire : la fonction translatée d’un quart de période est une fonction paire. Cela implique que les coefficients de Fourier d’ordre pair sont nuls. Tous calculs faits, le développement en série de Fourier de cette fonction triangle s’écrit :

( )

² ¹

( )

1

cos 2 1

k k

s t a k t

∞

−

=

∑

 − ω  avec

( )

2 1 2 2

8 1

2 1

k

a a

− = − k

π −

Le spectre correspond à des valeurs efficaces

( )

2 1

2 1 2 2

4 2 1

2 2 1

k k

a a

S

k

− = − =

π − décroissant en 1₂

n ^{, tandis} que les phases ont pour valeur ϕ₂_k₋₁= π.

( )

² ¹

( )

² ¹

1

2 cos 2 1

k k

k

s t S k t

∞

− −

=

∑

 − ω + ϕ  ( )

s t T

t

+a−

−a

−

spectre en fréquence de la fonction triangle « en sinus » Sn

a

ϕn

(8)

Synthèse de Fourier

Réciproquement, nous pouvons reconstituer le signal initial en faisant la somme des différentes harmoniques. Les graphes suivants correspondent aux sommes partielles ^s^N

( )

t de la série de Fourier de la fonction triangle, limitées à la somme des N premières harmoniques non nulles, soit :

( )

² ¹

( )

² ¹ 2

( )

2

( )

1 1

8 1

2 cos 2 1 cos 2 1

2 1

N N

N k k

k k

s t S k t a k t

− − k

= =

=

∑

 − ω + ϕ =

∑

− π −  − ω 

Au fur et à mesure que nous prenons en compte un plus grand nombre d’harmoniques de rang élevé, nous observons une convergence de la série vers le signal triangulaire d’origine. Cette convergence est bien plus efficace que dans le cas d’une fonction « créneau ».

Remarque : la dérivée de la fonction triangle paire ci-dessus est proportionnelle à la fonction créneau impaire étudiée précédemment. La pente des triangles a pour valeur 4

a 4

T = aν.

( )

2

( )

2

( )

2

( )

1 1

cos 2 1

8 1 8 1

sin 2 1

2 1

k k

d k t

ds t a a

k t

dt k dt k

∞ ∞

= =

− ω

 

 

=

∑

− π − =

∑

π − ω  − ω 

En posant 2a ω =b

π , nous retrouvons bien le développement de Fourier de la fonction créneau impaire.

T t

2 T

( ) ( ) ( ) ( )

3 2 2 2

8 1 1

cos 2 cos 6 cos 10

3 5

s t a t t t 

= −  πν + πν + πν 

π  

fondamental + harmonique 3 + harmonique 5 +a

−a

( ) ( ) ( )

2 2 2

8 1

cos 2 cos 6 3

s t a t t 

= −  πν + πν 

π  

fondamental + harmonique 3

T t

2 T +a

−a

( ) ( )

1 2

8a cos 2

s t = − πνt

π

fondamental

T t

2 T +a

−a

(9)

3.3. Puissance, relation de Parseval

Théorème de Parseval

Nous admettrons, sans démonstration, le théorème suivant :

La valeur moyenne du carré d’une fonction périodique, aussi bien nommée « carré de sa valeur efficace », est égale à la somme des carrés des valeurs efficaces de chaque terme de son développement en série de Fourier.

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

² ² ² ² ²

1 1 0

2 cos

n n n n

n n n

s t s S n t s t S s S S

∞ ∞ ∞

∞∞ ∞∞ ∞∞

∞ ∞ ∞

= = =

= + ω + ϕ

= +

∑ ∑ ∑ ∑

ω + ϕ ⇒⇒⇒⇒ ==== ==== ++++

∑ ∑ ∑ ∑

====

∑ ∑ ∑ ∑

Remarque : si le développement en série de Fourier est exprimé en cosinus et sinus, le théorème s’énonce de la même façon, les carrés des valeurs efficaces des termes en cosinus et sinus étant respectivement, avec les notations d’usage,

2

2 an

et

2

2 bn

( ) ( )

² ² ² ² ²

1 1 1

cos sin

2

n n

n n n

a b

s t s a n t b n t s t S s

∞ ∞ ∞

= = =

= +

∑

ω +

∑

ω ⇒ = = +

∑

+

Si le développement est exprimé en exponentielles imaginaires, alors le théorème de Parseval s’écrit tout

simplement :

( )

ⁿ ^{in t}

( )

² ² ⁿ²

n n

s t c e s t S c

∞ ∞

ω

=−∞ =−∞

=

∑

⇒ = =

∑

Interprétation en terme de puissance

Une conséquence immédiate du théorème de Parseval est la suivante : La puissance moyenne dissipée par effet Joule dans une résistance par un courant périodique quelconque est égale à la somme des puissances moyennes dissipées par sa composante continue, son terme fondamental et chacune de ses harmoniques.

Voici une autre façon équivalente d’exprimer cette loi :

Le carré de la valeur efficace d’un courant périodique quelconque est égal à la somme des carrés des valeurs efficaces des toutes les composantes de son développement en série de Fourier.

Exemple : considérons la fonction triangle étudiée précédemment dont nous connaissons le développement en série de Fourier.

( )

2

( )

2

( )

2

( )

2

( )

1 1

8 1 4 2 1

cos 2 1 2 cos 2 1

2 1 2 1

k k

a a

s t k t k t

k k

∞ ∞

= =

=

∑

− π −  − ω =

∑

π −  − ω + π

D’après le théorème de Parseval, le carré se sa valeur efficace est donné par la limite d’une série :

( )

2 2

1

4 2 1

2 1

k

S a

k

∞

=

 

=  

 π − 

 

∑

« MAPLE » sait calculer cette série et retrouver ainsi le résultat démontré à la première section de ce chapitre. Et vous ?

> uk:=4*a*sqrt(2)/Pi^2/(2*k-1)^2:

serie:=uk^2,k=1..infinity:

Sum(serie)=sum(serie);

∑

=

k 1

∞ 

 



32 a² π⁴(2 k − 1)⁴

a² 3

(10)

3.4. Filtrage d’un signal périodique

Effet d’un filtre linéaire sur la composition spectrale

Par définition de la linéarité, l’action d’un filtre sur une combinaison linéaire de signaux d’entrée et de leurs dérivées est égale à la même combinaison linéaire des réponses du filtre à chacun des signaux individuels. Cela se traduit par cette propriété de linéarité sur des amplitudes complexes :

e_n s_n, _n e_k _n s_n, _n

n n

u →u ∀k ⇒

∑

α u →

∑

α u ∀α ∈

Si nous connaissons la réponse du filtre à chaque composante sinusoïdale du signal d’entrée, c’est-à-dire si nous en connaissons la fonction de transfert ^{H j}

( )

^ω , nous pouvons en déduire la réponse du filtre à n’importe quel signal périodique de période 2

T = π

ω dont nous connaissons la décomposition de Fourier.

( ) ( ) ( ) ( )

( )

e e0 e0 e e s s0 s0 s s

1 1

s e

cos 2 cos cos 2 cos

avec

arg

n n n n

n n

u t U U n t u t U U n t

U U H jn

H jn

∞ ∞

= =

= ϕ + ω + ϕ ⇒ = ϕ + ω + ϕ

 = × ω



ϕ = ϕ +  ω 

  



∑ ∑

Filtrage passe-bas : isolation de la composante continue

Un filtre passe-bas idéal aurait une fonction de transfert égale à 1 pour les fréquences inférieures à sa fréquence de coupure et une fonction de transfert nulle pour les fréquences supérieures. Ce filtre idéal n’existe pas, mais l’on s’en rapproche d’autant plus que l’on choisit un filtre linéaire d’ordre élevé.

A titre d’exemple, nous allons examiner l’action d’un filtre passe-bas du premier ordre sur une tension sinusoïdale redressée double alternance dont le chronogramme et le spectre sont représentés ci-après :

Une telle tension est obtenue en appliquant une tension sinusoïdale de période 2T aux bornes d’un pont de diodes dans le but de réaliser une source continue à partir d’une source sinusoïdale.

en max

( )

U u ue t umax−

0 T 2T t

ϕen

( )

e max max 2

1

e0 e

1

2 1 4

sin cos

4 1

2 cos

n

n n

n

u t u t u n t

T n

U U n t

∞

=

∞

=

π  

= = π − π − ω 

= + ω + ϕ

∑

(11)

La valeur efficace du signal est la même que celle d’un signal sinusoïdal de même amplitude, soit ^max 2 u .

La composante continue a pour valeur _e0 2u^max U =

π , ce qui correspond à 81 % de la puissance du signal.

Le fondamental a pour valeur efficace _e1 2 2 _max U = 3 u

π , ce qui correspond à 18 % de la puissance du signal. (Rappelons, selon le théorème de Parseval, que cette contribution à la puissance est proportionnelle au carré de la valeur efficace correspondante).

L’ensemble des harmoniques ne pèse donc que pour moins de 1 % de la puissance du signal.

Le but recherché étant d’obtenir une tension qui se rapproche le plus possible d’une tension continue, on réalise un filtrage passe-bas avec une pulsation de coupure très petite devant la « pulsation » du signal :

c

2 T ω π

Nous utilisons un filtre passe-bas du premier ordre dont la fonction de transfert a pour expression

( )

¹

H j 1 ω = j x

+ ^{, avec} c

x= ω ω ^.

Voici le résultat du filtrage, calculé à l’aide d’un outil informatique, dans deux cas : 1) On choisit _c 2

T

ω = π : en conséquence de ce mauvais choix, le filtrage est insuffisant. Toutefois, on peut considérer avec une bonne approximation que l’ondulation résiduelle se limite au fondamental dont l’amplitude est égale à l’amplitude du fondamental du signal d’entrée, à savoir 4 ^max

3 u

π , multipliée par le module de la fonction de transfert pour la pulsation de coupure, à savoir 1 2. La phase est égale à la phase du fondamental plus l’argument de H, soit 3

4 4

π π ϕ = π − = ^.

( )

u ts

0 T 2T t

ϕsn

( ) ^max

s

2 2 2 3

1 cos

3 4

u t

u t T

  π π 

= π  +  + +  umax

sn max

U u H

(12)

Pour cette valeur de ω_c, le taux d’ondulation après filtrage, rapport de l’amplitude de l’ondulation résiduelle à la valeur moyenne du signal est voisine de 2

3 . On remarque toutefois que l’ondulation n’est pas vraiment sinusoïdale : comme on l’indique le spectre, l’harmonique 2 est encore visible.

2) On choisit _c 1 2 20 T

ω = π : le filtrage est bien meilleur.

Pour cet valeur de ω_c, le taux d’ondulation après filtrage, rapport de l’amplitude de l’ondulation résiduelle à la valeur moyenne du signal est voisine de 2

0, 033

− 3 20≈ −

× . C’est déjà beaucoup mieux, mais encore tout à fait intolérable pour certaines utilisations électroniques.

Si l’on choisit _c k

ω =ω, avec k très grand par rapport à l’unité, l’amplitude de l’ondulation est divisée par k . Le signal filtré a alors une expression approchée :

( )

^max

s

2 2 2

1 sin

3

u t

u t k T

π

 

≈  − 

π  

Remarque générale : dans un filtrage passe-bas la réponse est très proche de la somme d’une fonction constante à laquelle on ajoute un nombre fini de fonctions sinusoïdales. Une telle fonction est continue et à dérivées de tous ordres continues. Le filtrage passe-bas fait disparaître les discontinuités de tous ordres.

Filtrage passe-haut : élimination de la composante continue

Un filtre passe-haut idéal aurait une fonction de transfert égale à 1 pour les fréquences supérieures à sa fréquence de coupure et une fonction de transfert nulle pour les fréquences inférieures. Ce filtre idéal n’existe pas, mais l’on s’en rapproche d’autant plus que l’on choisit un filtre linéaire d’ordre élevé.

A titre d’exemple, nous allons examiner l’action d’un filtre passe-haut du second ordre sur une tension en forme de rampe linéaire dont le chronogramme et le spectre sont représentés ci-dessous :

( )

u ts

0 T 2T t

ϕsn

umax

sn max

U u H

( ) ^max

s

2 1 2

1 sin

30

u t

u t T

π

 

≈ π  − 

(13)

Nous utilisons un filtre passe-haut du second ordre, de type « Butterworth », dont la fonction de transfert a pour expression

( )

2

1

2 1

1 H j

jx x ω =

+ −

, avec

c

x= ω ω ^.

Voici le résultat du filtrage, calculé à l’aide d’un outil informatique, dans deux cas : 1) La pulsation de coupure du filtre est petite devant la pulsation du fondamental _c 1 2

5 T

ω = π :

Représentation temporelle

sn max

( ) U u u ts

0 T 2T t

max

2

−u

max

2 +u

H

ϕsn

Spectre de Fourier

( )

ue t

0 T 2T t

ϕen

( )

e max max

0 1

1 sin

2

t T n

t n t

u t u u

T n

∞

< < =

 ω 

= − = −  − 

π



∑



umax

−

en max

U u

(14)

Le premier effet est évident : la composante continue est supprimée, nous avons à faire, après le filtrage passe-haut, à un signal de valeur moyenne nulle. La fréquence de coupure du filtre étant très basse par rapport à la fréquence du fondamental, celui-ci est pratiquement transmis sans aucune atténuation et il en est de même a fortiori pour toutes les harmoniques.

2) On choisit _c 2 T ω = π^:

Nous observons de la même façon l’élimination de la composante continue : nous avons toujours à faire, après le filtrage passe-haut, à un signal de valeur moyenne nulle. Cependant, cette fois, la fréquence de coupure est telle que le fondamental et les premières harmoniques sont atténués et cela a pour effet de déformer la rampe qui n’est plus linéaire. Nous constatons que la discontinuité de la fonction est inchangée : le « gap » entre la valeur minimale et la valeur maximale a la même valeur u_max qu’avant le filtrage passe-haut.

Remarque générale : les discontinuités de tous ordres, aussi bien de la fonction elle-même que de ses dérivées, sont le fait des harmoniques de rangs les plus élevées et celles-ci ne sont pas affectées par un filtrage passe-haut. Le filtrage passe-haut conserve les discontinuités de tous ordres.

Filtrage passe-bande : isolation du fondamental

Un filtre passe-bande idéal aurait une fonction de transfert égale à 1 pour les fréquences comprises dans sa bande passante et une fonction de transfert nulle pour les fréquences extérieures à cette bande. Bien sûr, ce filtre idéal n’existe pas et les filtres réels ont des caractéristiques plus sophistiquées.

A titre d’exemple, nous allons examiner l’action d’un filtre passe-bande du second ordre sur une tension alternative constituée d’une succession périodique de morceaux d’exponentielles décroissantes et croissantes.

Cette tension u t est obtenue aux bornes d’un condensateur de capacité C soumis à une tension créneau ^e

( )

rectangulaire d’amplitude 0⋅⋅u_g et de période T à travers une résistance R. On pose τ =RC. Le chronogramme et le spectre de u t sont représentés ci-après dans le cas particulier ^e

( )

τ =T 2π. On remarque qu’il n’y a pas d’harmoniques de rang pair. Sauriez-vous le démontrer ?

sn max

( ) U u u ts

0 T 2T t

ϕsn max

2

−u

max

2 +u

H

(15)

Afin d’extraire de ce signal la composante fondamentale, nous allons lui appliquer un filtre passe-bande du second ordre de fréquence centrale égale précisément à la fréquence du fondamental.

La fonction de transfert a pour expression

( )

¹ ₁

1 H j

j Q x x ω = +  − 

 

, avec 2 x=ωT

π ^.

Voici le résultat du filtrage, calculé à l’aide d’un outil informatique, pour deux valeurs différentes du facteur de qualité Q :

1) Choisissons Q=2.

( )

u ts

0 T 2T t

ϕsn g

2 +u

g

2

−u

H

en g

( ) U u ue t

0 T 2T t

ϕen

( )

(

( )

)

( )

g e

g

2

1 pour 0

2 pour

2 2

avec 1

t

T

u f t t T

u t T T

u f t t T

f t e e

−τ

− τ

 − < <

=

 

  −  < <

  



= + ug

+

sn g

U u

(16)

Le filtrage est alors quasiment satisfaisant si l’on a pour objectif d’isoler le fondamental. Bien sûr la composante continue est éliminée et tout juste reste-t-il un soupçon d’harmonique 3. A fortiori, le filtrage serait encore meilleur pour de plus grandes valeurs de Q.

N.B. Dans le cas particulier 2 τ = T

π, le terme fondamental a pour expression : _g 2 2

sin 4

u t

T π π

 − 

 

π  

2) Choisissons Q=0, 2.

Si l’on a pour objectif d’isoler le fondamental, il est clair que le filtrage est insuffisant. Cependant la composante continue est éliminée ainsi que les composantes des ordres les plus élevés : le signal filtré est continu (c’était déjà le cas) à dérivée continue (ce n’était pas le cas).

Filtrage coupe-bande

Un filtre coupe-bande idéal aurait une fonction de transfert nulle pour les fréquences comprises dans sa bande interdite et une fonction de transfert égale à 1 pour les fréquences extérieures à cette bande. Bien sûr, ce filtre idéal n’existe pas et les filtres réels ont des caractéristiques plus sophistiquées.

De tels filtres sont fréquemment utilisés en électronique en particulier pour éliminer toute trace de 50 Hz et de 100 Hz des sources d’énergie continue issues d’une alimentation secteur.

3.5. Caractère dérivateur d’un filtre

Dérivateur idéal

Un filtre dérivateur parfait délivrerait idéalement un signal de sortie proportionnel à la dérivée du signal d’entrée.

( )

^e

( )

s

u t K du t

= dt

Le coefficient K est homogène à un temps. Si ce coefficient est négatif, on doit plutôt parler de dérivateur inverseur.

sn g

( ) U u u ts

0 T 2T t

ϕsn g

2 +u

g

2

−u

H

(17)

Nous savons qu’il faudrait pour cela que la fonction de transfert soit de la forme ^{H j}

( )

^{ω = ω}^{j K}^{, ce qui}

correspond à un diagramme de Bode en amplitude, rectiligne et de pente positive 20 dB / décade+ . La phase de la fonction de transfert est égale, pour toute fréquence, à

2 +π (

2

−π pour un dérivateur inverseur).

Exemples de réalisation

Un filtre dérivateur idéal, dont la fonction de transfert est proportionnelle à jω, diverge par conséquent en hautes fréquences.

Concrètement un tel filtre dérivateur idéal n’existe pas, mais nous savons en réaliser qui se rapprochent de cette propriété avec une excellente approximation dans un domaine de fréquence toujours limité par une fréquence de coupure haute.

C’est le cas des filtres passe-haut du premier ordre considérés très en deçà de leur fréquence de coupure :

0

0 0

0

1 1

H H j H

j

ω ω

= ω

+ ω ω ω

∼

C’est le cas également des filtres passe-bande du second ordre considérés très en deçà de leur fréquence centrale :

0

0 0

0 0 0

1

H H

H j

jQ Q

ω ω

= ω

ω

 ω ω  + ω − ω 

∼

Remarque : dans l’approximation d’un amplificateur opérationnel idéal, le montage inverseur ci-dessous délivre en sortie une tension u t proportionnelle à la dérivée du signal d’entrée. ^s

( )

^e

( )

s

u t RCdu t

= − dt ϕ

0 2 +π

20 dB /

+ décade

0

−20 +20

−40

HdB

0,1 1 10 ^K^ω( )^lg ^K^ω( )^lg

+40 0,1 1 10

π

2

−π

diagramme de Bode d'un dérivateur parfait

(18)

( )

^dB ^{20 log}

2

H RC

H j jRC

= ω



ω = − ω⇒  ϕ = −π

Ce montage fonctionne très bien et nous pourrions penser avoir ainsi réalisé un dérivateur inverseur idéal.

Mais c’est oublier les limites de fonctionnement de l’amplificateur opérationnel :

1) fondamentalement un A.O. est un filtre passe-bas : il existe une fréquence de coupure haute et au- delà ce cette fréquence, l’amplificateur renvoie un signal atténué et déphasé.

2) Tout aussi fondamentalement, l’A.O. est limité par les saturations de tension en sortie : en aucun cas il ne saurait être question de dépasser en sortie un intervalle de tension −V_sat⋅⋅ +V_sat dont l’amplitude V est toujours inférieure à la tension d’alimentation de l’amplificateur. _sat

Action d’un filtre dérivateur sur un signal périodique

Le développement de Fourier de la dérivée d’un signal périodique est égal à la somme des dérivées du fondamental et des harmoniques :

( ) ( ) ( )

1 1

2 cos 2 cos

n n n n 2

n n

s t s S n t ds t n S n t

dt

∞ ∞

= =

π

 

= + ω + ϕ ⇒ = ω  ω + ϕ + 

 

∑ ∑

Bien sûr, la valeur moyenne disparaît dans l’opération de dérivation. Les valeurs efficaces du fondamental et des harmoniques sont multipliées par nω tandis que les phases sont incrémentées de

2 π.

Remarque : la continuité n’est pas nécessairement conservée dans une opération de dérivation (il existe des fonctions continues à dérivées discontinues). Cela se traduit en terme de spectre par le fait qu’après dérivation les hautes fréquences prennent un poids plus important.

Attention ! Toutes les fonctions intégrables (condition d’existence d’un développement de Fourier) ne sont pas dérivables. Autrement dit, il existe des fonctions admettant un développement en série de Fourier dont la dérivée n’est pas définie en tout point et n’admet donc pas de développement de Fourier : il suffit de prendre pour exemple la fonction

« créneau ». La dérivée d’un signal rectangulaire idéal serait nulle en tout point et infinie aux instants où se produit le changement de niveau. Un tel comportement est descriptible dans le cadre mathématique de la théorie des distributions qui sera étudiée en second cycle universitaire. On dit alors que la dérivée d’une fonction créneau est une distribution d’impulsions de Dirac en peigne alterné.

ue ∞ u_s

C

R

( )

^R₁

H j jRC

jC

ω = − = − ω ω

(19)

Exemple 1 : dérivation d’un signal « triangulaire » par un filtre passe-haut du premier ordre Réalisons le montage électrique suivant :

Un générateur basse fréquence délivrant un signal triangulaire « en moins cosinus » alimente une cellule CR passe-haut. On observe à l’oscilloscope le signal de sortie, à savoir la tension aux bornes de la résistance. La résistance R est très grande par rapport à la résistance interne du générateur si bien que celui-ci peut être assimilé à un générateur idéal de tension.

La théorie nous dit que les régimes de charge du condensateur imposent un courant i t et, par

( )

conséquent, une tension u t continus qui soient des fonctions exponentielles du temps de constante de ^s

( )

temps τ =RC alternativement croissantes puis décroissantes sur chaque demi période.

Si la période T du signal triangulaire est égale à 30τ (premier cas de figure ci-dessous), ce régime exponentiel est parfaitement observable. Le signal de sortie ne ressemble en rien à la dérivée du signal d’entrée et c’est bien normal : sur le fondamental déjà le filtre n’agit pas dans son domaine dérivateur, alors a fortiori les harmoniques sont-elles à peine modifiées par ce filtre.

Si la période T du signal triangulaire est égale à 100τ (deuxième cas de figure ci-dessous), le signal de sortie commence à ressembler à la dérivée du signal d’entrée.

Si la période T du signal triangulaire est égale à 300τ (troisième cas de figure ci-dessous), le signal de sortie s’identifie pratiquement à la dérivée du signal d’entrée : les temps de commutation sont si bref que le signal a une allure quasi rectangulaire. Nous constatons toutefois que ceci a été obtenu au prix d’une forte atténuation du signal : le comportement dérivateur du filtre passe-haut du premier ordre est d’autant meilleur que la division de tension entre l’entrée et la sortie se fait importante.

( )

u ts u ts( ) u ts( )

t

t t

30

T= τ T=100τ T=300τ

m

Sn

u

ϕn ϕ_n ϕ_n

m

Sn

u m

Sn

u 0,1um

0,1um

− 0,1um

0,1um

−

0,1um

−

( )

u ts

C

( )

R u te

générateur

« B.F. »

( )

u te T

t um

+ −

um

− −

(20)

Exemple 2 : dérivation d’un signal « créneau » par un filtre passe-haut du premier ordre Réalisons le montage électrique suivant :

Un générateur basse fréquence délivrant un signal rectangulaire « en sinus » alimente une cellule CR passe-haut. On observe à l’oscilloscope la tension aux bornes de la résistance. La résistance R est très grande par rapport à la résistance interne du générateur si bien que celui-ci peut être assimilé à un générateur idéal de tension.

Pour une telle excitation, fonction discontinue du temps, les régimes de charge du condensateur imposent un courant i t et, par conséquent, une tension

( )

u t discontinue qui correspond pour chaque demi ^s

( )

période à une fonction exponentielle du temps, de constante de temps τ =RC, alternativement décroissante puis croissante.

Si la période T du signal rectangulaire est égale à 30τ (premier cas de figure ci-dessous), ce régime exponentiel est parfaitement observable.

Si la période T du signal rectangulaire est égale à 100τ (deuxième cas de figure ci-dessous), le signal sera décrit comme constitué d’impulsions alternativement positives et négatives.

Si la période T du signal rectangulaire est égale à 300τ (troisième cas de figure ci-dessous), les temps de commutation sont si bref que l’on ne distingue pratiquement plus la largeur des impulsions. Dans ce dernier cas le signal de sortie est très fortement atténué.

( )

u ts

C

( )

R u te

générateur

« B.F. »

( )

u te T

t um

+ −

um

− −

t t t

30

T= τ T=100τ T=300τ

m

Sn

u

ϕn ϕ_n ϕ_n

m

Sn

u _m

Sn

u

( )

u ts

2um

( )

u ts

2um

( )

u ts

2um