Sup PCSI2 — Devoir 2004/05
ISoitA= ]0,+∞[. Une fonctionµ: A×A7→Aest unemoyenne si elle v´erifie les propri´et´es suivantes : (i) µ(a, b) =µ(b, a) quels que soienta >0 etb >0 ;
(ii) µ(a, a) =aquel que soita >0 ;
(iii) µ(ka, kb) =kµ(a, b) quels que soienta >0,b >0 etk >0 ; (iv) si 0< a < b, alorsa < µ(a, b)< b.
Q1 V´erifiez quef : (a, b)∈A27→ a+b
2 est une moyenne.
Q2 V´erifiez queg: (a, b)∈A27→√
abest une moyenne.
Q3 V´erifiez queh: (a, b)∈A27→ 2ab
a+b est une moyenne.
Q4 Comparezf(a, b),g(a, b) eth(a, b) lorsquea6=b.
Q5 Soient p, q et r trois moyennes. Montrez que la fonction (a, b) ∈ A2 7→ r p(a, b), q(a, b)
est encore une moyenne.
ISoitµune moyenne ; notonsϕla fonction qui, `axappartenant `aA, associeµ(1, x).
Q6 Montrez que ϕest continue en 1.
Q7 ´Etablissez une relation simple entreϕ(x) et ϕ(1/x).
[Devoir 2004/05] Compos´e le 6 janvier 2005
