Problème : Fonctions dilatantes On dit qu’une fonction continue f :R→R est dilatante si
∀x, y∈R, |f(x)−f(y)|>|x−y|.
Dans tout le problème, f désigne une fonction continue dilatante.
1. Quelques exemples
(a) Donner un exemple très simple de fonction dilatante.
(b) Pour quelles valeurs de a∈R, la fonctionga:x7→ax est dilatante ? (c) Pour quelles valeurs deα∈R+?, la fonction gα:x7→xα est dilatante ? (d) La fonctiong:x7→ |x|est-elle dilatante ?
(e) La fonctiong:x7→ex est-elle dilatante ? 2. Généralités sur les fonctions dilatantes
On rappelle quef :R→Rdésigne une fonction continue dilatante.
(a) Montrer quef est injective.
(b) Montrer quef est strictement monotone.
(c) Montrer quef n’est ni minorée, ni majorée.
(d) Montrer quef est bijective.
Que dire de f−1 en terme de régularité ?
3. Dans cette question, on suppose qu’il existe a < b∈Rtel que f([a, b])⊂[a, b].
(a) Montrer qu’il existe c∈[a, b]tel que f(c) =c.
(b) Dans le cas oùf est croissante, peut-on avoirf(a)> a ouf(b)< b?
Dans le cas oùf est croissante, donner la restriction def au départ à [a, b].
(c) Déterminer la restriction def au départ à [a, b]dans le cas oùf est décroissante.
On suppose désormais jusque la fin du problème quef est croissante.
4. On noteCf la courbe représentative de f dans un repère orthonormée.
(a) On suppose que, pour tout x∈R,f(x)< x.
MontrerCf admet en +∞une asymptote parallèle à la droite d’équation y=x.
(b) Que dire de Cf si, pour toutx∈R,x < f(x)? (c) On noteU ={x∈R / f(x) =x}.
i. Montrer que siU est vide alors on se trouve dans l’un des deux cas précédents.
ii. Montrer queU est un intervalle.
iii. Montrer que si U est non vide et borné alorsU est un segment (éventuellement réduit à un point).
iv. Que dire deU si U est non bornée ?
(d) Donner un exemple d’applicationf croissante, continue et dilatante pour chacune des formes de U possibles.
5. On suppose que U est non vide.
On considère la suite (un) définie paru0 ∈R, et pour toutn∈N,un+1=f−1(un).
(a) Montrer que(un)est monotone.
(b) Montrer que si u0 ∈U alors(un) est constante.
(c) Montrer que(un)est convergente. On note `la limite de (un).
(d) Montrer que si u0 ∈/U alors`est une extrémité deU. 6. Dans cette question, on suppose quef :R→R est dérivable.
Montrer quef est dilatante si, et seulement si, pour toutx∈R,|f0(x)|>1.
* * * FIN DU SUJET * * *
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