Ann´ee 2012-2013 MATMECA
Analyse Fonctionnelle et Int´egration : TD1.
Exercice 1. Pour chacune des d´efinitions suivantes, d´eterminer si k·k est une norme sur R2 ou non, et justifier vos conclusions.
a. ||x|| = (|x1|+|x2|)2, b. ||x|| = |x1 −x2|, c. ||x|| = 3|x1|+ min (|x1|,|x2|), d.
||x||= 3|x1|+ max (|x1|,|x2|).
Exercice 2. Soient E un evn et F un sev deE.
a. Montrer queF est d’int´erieur vide si c’est un sev strict.
b. On dit qu’un sous-ensemble A de E est born´e s’il existe M ≥ 0 tel que pour tout x ∈ A:
||x||≤ M. Quels sont les sev born´es deE?
c. Montrer que l’adh´erence de F est un sev deE.
d. Si F est de dimension finie montrer qu’il est ferm´e. Que pouvez-vous dire si F n’est pas de dimension finie?
e. D´emontrer que siF est un espace de Banach,F est ferm´e dansE.
f. Soit K un compact de E. Montrer que tout ferm´e de K est compact.
Exercice 3. Soit E un espace vectoriel norm´e. Pour deux sous-ensembles A et B de E, on note:
A+B ={z∈E; ∃(x, y)∈A×B /z=x+y}
a. Si A ou B est ouvert alors A+B aussi.
b. Si A et B sont compacts alors A+B aussi.
c. Si A est compact et si B est ferm´e alors A+B est ferm´e .
d. Qu’en est-il si A et B sont ferm´es? (Consid´erer A={n−1/n, n≥2 entier} et B l’ensemble des entiers strictement n´egatifs).
Exercice 4. Pour p ∈ [1,+∞[, on consid`ere lp l’ensemble des suites r´eelles x = (xn)n∈N de puissance p-i`eme sommable, i.e.
∞
X
i=1
|xi|p < ∞. On note l∞ l’ensemble des suites born´ees, i.e.
∃M >0∀n≥0|xn| ≤M.
a. On consid`ere l0 l’ensemble des suites qui convergent vers 0.
Montrer que
[
1≤p<+∞
lp ⊂l0 ⊂l∞,
et montrer que ces inclusions sont strictes.
b. Montrer que (l0,k.k∞) est un evn complet. Que dire de l’adh´erence delp dans l∞?
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Exercice 5. : Th´eor`eme du point fixe.
Soit (E,k.k) un evn complet et soitf :E →Eune application contractante, i.e. qu’il existek <1 tel quekf(x)−f(y)k≤k kx−ykpour tout (x, y). Soit x0 un point deE.
a. On posex1 =f(x0), x2 =f(x1), ...., xn=f(xn−1). Montrer quekxn+1−xnk≤knkx1−x0 k.
b. En d´eduire que (xn)n≥0 est une suite de Cauchy.
c. Siaest la limite de (xn) montrer quea est un point fixe def: f(a) =a.
d. D´emontrer queaest l’unique point fixe de f et que a= lim
n→∞fn(x) pour tout x de E.
Exercice 6. Montrer que x:−→ 1x n’est pas uniform´ement continue sur ]0,1].
Exercice 7. Soit E =n
u∈ C0([−1,1];R), u(−1) =u(1) = 0o
. On munit E de la normek.k∞. a. Montrer que (E,k.k∞) est un espace de Banach.
b. Soit F :E →R d´efinie par F(u) = Z 1
−1
u(s)ds.
Montrer queF est une application lin´eaire continue et calculer sa norme. Cette norme est-elle atteinte ?
c. On munit maintenant E de la norme k.k1. Montrer que F est continue pour cette norme, et calculer sa norme. Est-elle atteinte ?
Exercice 8. On noteφ la fonction qui `a x r´eel associe e−|x|. Pour f convolable avec φ on pose T f =φ∗f. Montrer que T est lin´eaire et continue de L∞(R) dans lui-mˆeme. Calculer la norme de cette application lin´eaire.
Exercice 9. Soitk ∈ L1([0,1]), positive ou nulle sur ]0,1/2[, n´egative ou nulle sur ]1/2,1[. Pour f dansL∞([0,1]), on pose
Af = Z
[0,1]
k(s)f(s)ds.
a. Montrer queAest une application lin´eaire continue surL∞([0,1]) et calculer sa norme.
b. Mˆeme question dans le cas o`uAest d´efinie surF =C0([0,1]) muni de la norme de la convergence uniforme.
Exercice 10. On consid`ereE =l1(R),
E= (
u= (un)n∈RN,
+∞
X
i=1
|ui|<+∞
) .
On munitE de la normekuk1 =
+∞
X
i=1
|ui|.
a. On pose
F =n
u= (un)n∈RN,∃N,∀k≥N, uk= 0o .
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Montrer queF est dense dans E.
b. Soit (an)n une suite born´ee. Montrer que pour tout u ∈ l1, la s´erie
+∞
X
i=1
aiui est absolument
convergente. Montrer que l’applicationψqui `au∈l1associe
+∞
X
i=1
aiuiest une forme lin´eaire continue surl1 et montrer que kψk= supi|ai|.
c. On noteei = (ein)n la suite d´efinie par ein=δin. Soitψ∈E0. On poseai =ψ(ei).
Montrer que pour toutu∈F tel queui = 0 pour touti≥N,ψ(u) =
N
X
i=1
aiui et que
|ψ(u)| ≤(sup
i≤N
|ai|)kuk1.
Montrer que la suite a = (ai)i est dans l∞, que pour tout u ∈ l1,
+∞
X
i=1
aiui est absolument convergente et que sa somme vautψ(u).
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