1S/Cours Exercices Barycentres.doc.1
Barycentres 0 Introduction et calcul vectoriel
Exercice 1
Soit ur et vr deux vecteurs.
Montrer que si ( + 2vur r) et (2ur + 3 ) sont colinéaires, alors vr ur et vr sont colinéaires.
Exercice 2
Soit ABCD un parallélogramme, et les points M et N définis par BM = 3
4 BC et
DN = 4 3 DC.
1) Exprimer AM, puis AN en fonction de DN et BM. 2) En déduire que A, M et N sont alignés.
3) Plus généralement, montrer que si x est un réel non nul et BM =x BC et DN = x 1 DC, alors A, M et N sont alignés.
1 Définition et constructions Exercice 3
Dans chacun des cas suivants, déterminer deux réels a et b tels que G soit le barycentre du système aA Bb :
1) 2)
3) 4)
Exercice 4
Soit A, B et C trois points, et a, b et c trois réels de somme non nulle. Soit G le barycentre du système aA Bb Cc .
1) Exprimer AG en fonction de AB et de AC. 2) Que dire si a=0 ?
3) Etudier le cas où a b= =0.
Exercice 5
Soit ABC un triangle et G son centre de gravité.
Déterminer trois réels a, b et g de sorte que C soit le barycentre de aA Bb Gg. Exercice 6
Soit OABC un tétraèdre, et A', B' et C' trois points appartenant respectivement aux arêtes [OA], [OB] et [OC]. Soit G le barycentre du triangle ABC, et G' celui du triangle A'B'C'.
1) Montrer que AA'+ BB' + CC' =3GG'.
2) Quelles sont les hypothèses superflues ?
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2 Barycentres, droites et segments Exercice 7
1) Faire l'étude et la représentation graphique de la fonction f définie par f(x) = x2 − 4.
2) Soit A et B deux points distincts, x un réel et M = bar 1A fB(x) . Déterminer l'ensemble des points M lorsque :
a) x décrit b) x décrit [−1,1] c) x décrit [0,+∞[ d) x décrit ]−∞,0[
3 Propriétés Exercice 8
Soit quatre points A, B, C et D, et quatre réels a, b, c et d tels que a b c d 0, et pour tout point M du plan a
+ + + = MA +bMB +c MC +d MD = 0r
. 1) Montrer que si a b c + + ≠0, alors D=baraA Bb Cc .
2) Montrer que si a b+ ≠0, alors c d+ ≠0 et aA Bb et Cc Dd ont le même barycentre.
Exercice 9
Soit un triangle ABC, et deux réels x et y tels que x y+ ≠0.
Soit A' le barycentre de (B,x) et (C,y) B' le barycentre de (C,x) et (A,y) C' le barycentre de (A,x) et (B,y) 1) Faire une figure avec x=3 et y= − 1.
2) Montrer que ABC et A'B'C' ont le même centre de gravité.
Exercice 10
ABCDEFGH est un parallélépipède.
Montrer que la diagonale [EC] coupe le plan (HAF) en le point I tel que I soit le centre de gravité du triangle HAF et montrer que EI =
3 1 EC. Solution
ABCDEFGH est un parallélépipède donc EF + EH + EA = EC.
Or, si I est le centre de gravité du triangle HAF, EF + EH + EA =3EI. Donc EI EC
31
= .
A
B E
C D
F G H
I
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