OBJECTIFS ET STRUCTURATION

Calculs

barycentriques

TERMINALES C

Prenum-AC Cameroun SOH ARNOLD

cedricksoh@gmail.com

OBJECTIFS ET STRUCTURATION

Objectif général

Développer chez l’apprenant des compétences lui permettant de résoudre des problèmes d’équilibre.

Objectifs spécifiques

A la fin de ce cours, l’apprenant doit être capable de :

I déterminer le point d’équilibre d’un ensemble de points massifs I déterminer les lieux géométriques

I utiliser le barycentre pour réduire des écritures vectorielles

I utiliser le barycentre pour établir des alignements de points, le point de concours de droites

I utiliser le barycentre pour caractériser un segment de droite, une demi-droite, une droite, un plan ou un domaine du plan.

Pré-requis

Comme pré-requis, nous avons les notions de : vecteurs du plan, addition

vectorielle, produit d’un vecteur par un réel, vecteurs colinéaires, produit sca-

laire, relation de Chasles, repère et coordonnées, notion de parallélisme et d’ali-

gnement, point de concours.

Liens avec les autres parties du programme

•

Applications affines (translation, homothétie, etc.)

Toutes les applications affines conservent le barycentre.

1. Expression d’une translation à l’aide du barycentre.

SoientA etB deux points, la transformation qui, au point M associe le point M⁰ = bar{(B; 1),(A;−1),(M; 1)}est unetranslation, qui a pour vecteur−→

AB.

2. Expression d’une homothétie à l’aide du barycentre.

SoientC un point etk un scalaire non nul. La transformation qui au pointM associe le point M⁰ = bar{(C; 1−k),(M;k)} est l’homothétie de centre C et rapportk.

•

Nombres complexes

Affixe du barycentre d’un système de points.

•

Calcul vectoriel

Réduction des sommes vectorielles à partir du barycentre.

Place dans le programme

Les calculs barycentriques introduisent la partie géométrique en terminale C car ils sont mis en oeuvre dans presque tous les chapitres de géométrie.

Introduction

Ce cours est subdivisé en quatre parties dont la première est une leçon sur la notion de barycentre et ses propriétés, la deuxième une leçon sur la notion de recherche de lieux géomé- triques, la troisième une leçon sur les applications du barycentre et la dernière est un ensemble de plusieurs types d’exercices classés par ordre de difficultés..

Tout au long de ce coursP désignera le plan,V l’ensemble des vecteurs du plan,E l’espace etWl’ensemble des vecteurs de l’espace.

Organisation d’une leçon

Les définitions, propriétés, théorèmes ou méthodes d’une leçon sont introduits par des acti- vités. La leçon étant renforcée par beaucoup d’exemples et des exercices d’application.

Sommaire

Historique 5

1 Barycentre 6

1.1 Définition du barycentre . . . 6 1.2 Caractéristiques du barycentre . . . 11

2 Recherche des lieux géométriques 16

2.1 Droite, segment et barycentre . . . 16 2.2 Barycentre, plan et triangle . . . 17 2.3 Barycentre et lignes de niveau . . . 19

3 Autres applications du barycentre 25

3.1 Alignement des points . . . 25 3.2 Concours et parallélisme . . . 26

4 Exercices 29

4.1 Exercices de synthèse . . . 29 4.2 Exercices de recherche . . . 32

Bibliographie et Webographie 40

ANNEXE 41

Historique

Notion purement physique à l’origine, le barycentre a évolué progressivement et se présente de nos jours comme un instrument fondamental en mathématiques. Le barycentre qui vient du grec barus (lourd, pesant) et de centre, est initialement le centre des poids. Il s’agit donc à l’origine d’une notion mécanique. Le premier à avoir étudié le barycentre en tant que centre des poids, que l’on appelle aujourd’hui centre de gravité, est le mathématicien-physicien Archimède (287−212avant J.-C.). Il a écrit dans son traité sur le centre de gravité des surfaces planes : « Tout corps pesant a un centre de gravité bien défini en lequel tout le poids du corps peut être considéré comme concentré ». August Ferdinand Möbius(1790-1868) mathématicien- physicien allemand, généralise les travaux d’Archimède : en 1827, il envisage le barycentre de plus de deux points et définit le calcul barycentrique. Cependant, on considère Archimède comme le père du calcul barycentrique. En effet, il a mis au point une machine sur le principe du levier pour lancer à lui seul un grand vaisseau à la mer.

Sommaire

1.1 Définition du barycentre . . . 6 1.2 Caractéristiques du barycentre . . . 11

1

Barycentre

Notion de point pondéré: soitAun point du plan (ou de l’espace) etaun nombre réel, le couple(A, a)est appelé point pondéré. Dans ce casaest appelé coefficient (ou masse) deA.

Motivation: une balance est constituée d’une masse M = 3K_g et d’un plateau fixés aux extrémités d’une tige. Pour peser une massem, le vendeur place, à une position précise, un cro- chet sur la tige. Cette balance a l’avantage, pour le commerçant, de ne pas manipuler plusieurs masses.

M

m

A B

1. On donne m = 2K_g, où faut-il fixer le crochet G sur le segment [AB] pour réaliser l’équilibre ?

2. Le pointGest tel que−→

AG= ¹₄−→

AB. Quelle est la massempesée ?

1.1. Définition du barycentre

Nous avons vu en physique, dans les classes précédentes que le centre de gravité d’un corps est le point par lequel ce corps tient en équilibre. Le barycentre est une généralisation de la notion de centre de gravité dans le domaine des mathématiques.

Considérons

(A_i;λ_i)

1≤i≤nun système denpoints pondérés etM un point quelconque.

1. Montrer que

n

P

i=1

λ_i−−→

M A_i =−→

0 ⇔ ⁿ P

i=1

λ_i−−−→

A₁M =

n

P

i=2

λ_i−−−→ A₁A_i. 2. En déduire l’ensemble des pointsM vérifiant

n

P

i=1

λ_i−−→

M A_i =−→ 0. (On distinguera deux cas :

n

P

i=1

λi = 0et

n

P

i=1

λi 6= 0).

Activité 1. 1(le but de cette activité est la définition du barycentre)

Solution: 1. On a :

n

X

i=1

λ_i−−→

M A_i =

n

X

i=1

λ_i(−−−→

M A₁+−−−→ A₁A_i)

=

n

X

i=1

λ_i−−−→

M A₁+

n

X

i=1

λ_i−−−→ A₁A_i

Ainsi,

n

P

i=1

λ_i−−→

M A_i =−→

0 ⇔ ⁿ P

i=1

λ_i−−−→

A₁M =

n

P

i=2

λ_i−−−→ A₁A_i

2. Distinguons les cas suivants : 1^erCas:

n

P

i=1

λ_i = 0.

On déduit de la question1que

n

P

i=1

λi

−−→M Ai = −→ 0 ⇔

n

P

i=2

λi

−−−→ A1Ai = −→

0 et tous les pointsM de l’espace (ou du plan) vérifient cette égalité.

Donc l’ensemble cherché est l’espace (ou le plan).

2^eCas :

n

P

i=1

λ_i 6= 0.

Dans ce cas, on obtient de la question1l’égalité vectorielle−−−→

A₁M = n¹

P

i=1

λi

ⁿ P

i=2

λ_i−−−→ A₁A_i

et on conclut que l’ensemble des points cherché est le singleton{G}tel que :

−−→A₁G= n¹

P

i=1

λi

ⁿ P

i=2

λ_i−−−→ A₁A_i

.

Soit

(A_i;λ_i)

1≤i≤nun système denpoints pondérés etM un point quelconque.

1. On suppose que

n

P

i=2

λ_i 6= 0.

Montrer que

n

P

i=1

λ_i−−→

M A_i = ⁿ P

i=1

λ_i−−→

M GoùGest tel que

n

P

i=1

λ_i−−→

GA_i =−→ 0. 2. On suppose que

n

P

i=1

λ_i = 0.

Montrer que le vecteur

n

P

i=1

λ_i−−→

M A_i est indépendant deM.

Activité 1. 2(Le but de cette activité est de savoir réduire une relation vectorielle)

Solution:

SoitM un point quelconque.

1) Supposons que

n

P

i=1

λi 6= 0, on a :

n

X

i=1

λi

−−→M Ai =

n

X

i=1

λi(−−→

M G+−−→

GAi)

= Xⁿ

i=1

λ_i−−→

M G+

n

X

i=1

λ_i−−→

GA_i

= Xⁿ

i=1

λ_i−−→

M G car

n

X

i=1

λ_i−−→

GA_i =−→ 0

2) Supposons que

n

P

i=1

λi = 0, on a :

n

X

i=1

λ_i−−→

M A_i =

n

X

i=1

λ_i−−−→

M A₁+−−→

M A_i

= Xⁿ

i=1

λ_i−−−→

M A₁+

n

X

i=2

λ_i−−−→ A₁A_i

=

n

X

i=2

λ_i−−−→

A₁A_i car

n

X

i=1

λ_i = 0.

D’où

n

P

i=1

λ_i−−→

M A_i =

n

P

i=2

λ_i−−−→

A₁A_i qui est un vecteur indépendant deM.

Etant donnénpoints pondérés

(A_i;λ_i)

1≤i≤ntel que

n

P

i=1

λ_i 6= 0.

On appelle barycentre des points pondérés

(A_i;λ_i)

1≤i≤n le point G tel que :

n

P

i=1

λ_i−−→

GA_i =−→

0 ou de manière équivalente−−→

A₁G= n¹

P

i=1

λi

ⁿ P

i=2

λ_i−−−→ A₁A_i

.

On note :G=bar A1 A2 . . . An

λ₁ λ₂ . . . λ_n ouG=bar{(A₁;λ₁),(A₂;λ₂), . . . ,(A_n;λ_n)}.

Définition 1. 1

Remarques:

– Le barycentre d’un système de points pondérés existe lorsque la somme des coefficients de ces points est non nulle.

– Le barycentre lorsqu’il existe est unique.

Soit(Ai;λi)_1≤i≤nun système de n points pondérés. Pour tout pointM, on a : (i) Si

n

P

i=1

λ_i 6= 0, alors

n

P

i=1

λ_i−−→

M A_i = ⁿ P

i=1

λ_i−−→

M GoùGest barycentre des(A_i;λ_i).

(ii) Si

n

P

i=1

λ_i = 0, alors le vecteur

n

P

i=1

λ_i−−→

M A_i est indépendant deM. Théorème 1. 1(théorème de réduction d’une somme vectorielle)

On appelleisobarycentre des pointsA₁, A₂, . . . , A_n, le barycentre de ces points tous affectés d’un même coefficient non nul.

Définition 1. 2

Remarques:

• Soitα ∈ R^∗, le milieuI d’un segment [AB] est en fait le barycentre de(A;α)et(B;α)ou de manière équivalente l’isobarycentre deAetB.

• L’isobarycentre de trois points non alignés A, B et C est le centre de gravité du triangle ABC.

Exemple 1. 1. :

SoitA,B etC trois points non alignés.

1. Dans chacun des cas suivants, justifier que le pointGdéfini par l’égalité vectorielle don- née est le barycentre d’un système de points pondérés que l’on précisera :

a) 2−→

GA+ 3−−→ GB =−→

0 b) −→

AG+ ¹₅−→

AC =−−→ GB

2. Construire, s’ils existent, les barycentres des systèmes de points pondérés suivants : a) {(A;−2),(B; 5)} b) n

A;²₃ ,

B;−¹₄ ,

C;−₁₂⁵ o

c) {(A;−2),(B; 5),(C; 1)}

Solution :

1. (a) On a :2−→

GA+ 3−−→ GB =−→

0 et par définition deGon peut conclure que G=bar{(A; 2),(B; 3)}.

(b) Sachant que−→

AG+ ¹₅−→

AC =−−→

GB, par la relation de Chasles, on a :

−→AG+¹₅−→

AG+ ¹₅−→

GC =−−→

GB, donc, ⁶₅−→

AG+−−→

BG− ¹₅−→

CG=−→ 0. D’oùG=bar{(A; 6),(B; 5),(C;−1)}.

2. (a) On a : −2 + 5 = 3et3 est non nul, donc G = {(A;−2),(B; 5)} existe et−→

AG =

5 3

−→AB; sa construction est :

A B G

A

C

B G

(b) On a : ²₃ − ¹₄ − ₁₂⁵ = 0donc ce système n’admet pas de barycentre.

(c) On a :−2 + 5 + 1 = 46= 0, doncG={(A;−2),(B; 5),(C; 1)}existe et

−→AG= ⁵₄−→

AB+¹₄−→

AC; sa construction est :

A G A

A

C

B G

Exemple 1. 2. :

SoitABC un triangle etM un point du plan.

Réduire les vecteurs suivants :−→u = 2−−→

M A+−−→

M B+ 3−−→

M C et−→v = 2−−→

M A−4−−→

M B+ 2−−→

M C. Solution:

La somme des coefficients des points (A; 2),(B; 1),(C; 3) est non nulle donc leur bary- centre existe, notons leG.

Ainsi,−→u = 2−−→

M A+−−→

M B + 3−−→

M C = 6−−→

MG.

La somme des coefficients des points (A; 2),(B;−4),(C; 2) est nulle. Comme les points (A; 2)et(C; 2)ont un même coefficient, désignons parIle milieu de[AC].

Par conséquent,

−

→v = 2(−−→ M I+−→

IA)−4(−−→ M I+−→

IB) + 2(−−→ M I+−→

IC)

= 2(−→ IA+−→

IC)−4−→ IB Donc,−→v = −4−→

IBcar−→ IA+−→

IC =−→ 0.

1.2. Caractéristiques du barycentre

Soit

(A_i;λ_i)

1≤i≤nnpoints pondérés vérifiant

n

P

i=1

λ_i 6= 0et G leur barycentre.

1. On suppose queλ₁+λ₂ 6= 0.

Montrer que le barycentre des systèmes{(A1;λ1),(A2;λ2)}et{(A2;λ2),(A1;λ1)}sont confondus.

2. Soitα ∈R^∗.

Montrer queGest aussi le barycentre des points pondérés(A_i, αλ_i)_1≤i≤n. 3. Dans la suite, le plan P est muni d’un repère(O,−→

i ,−→

j ) et l’espace E est muni d’un repère(O,−→

i ,−→ j ,−→

k).

A partir du théorème de réduction d’une somme vectorielle (théorème1), montrer que−→

OG= n¹

P

i=1

λi

n

P

i=1

λ_i−−→

OA_i.

4. Soit(xi, yi)les coordonnées du pointAi,1≤i≤net(xG, yG)celles du pointG.

En déduire l’expression des coordonnées de Gen fonction des coordonnées des points A_i.

5. Soit(x_i, y_i, z_i)les coordonnées du pointA_i,1≤i≤net(x_G, y_G, z_G)celles deG.

En déduire l’expression des coordonnées de Gen fonction des coordonnées des points A_i.

Activité 1. 3

Solution:

1. Désignons parIle barycentre du système{(A₁;λ₁),(A₂;λ₂)}.

On a :λ1

−−→IA1+λ2

−−→IA2 =−→ 0 ⇔λ2

−−→IA2+λ1

−−→IA1 =−→ 0.

DoncIest aussi le barycentre du système{(A₂;λ₂),(A₁;λ₁)}.

2. ∀α∈R^∗,

n

P

i=1

λ_i−−→

GA_i =−→

0 ⇔α ⁿ P

i=1

λ_i−−→

GA_i =−→ 0

⇔

n

P

i=1

αλ_i−−→

GA_i =−→ 0. DoncGest le barycentre des points pondérés(A_i, αλ_i)_1≤i≤n.

3. D’après ce théorème, pour tout pointM du plan ou de l’espace, on a :

n

P

i=1

λ_i−−→

M A_i = ⁿ P

i=1

λ_i−−→

M G.

PourM =O, on obtient :

n

P

i=1

λ_i−−→

OA_i = ⁿ P

i=1

λ_i−→

OG, donc−→

OG= n¹

P

i=1

λi

n

P

i=1

λ_i−−→

OA_i.

4. On en déduit que :x_G =

n

P

i=1

λixi n

P

i=1

λi

;y_G =

n

P

i=1

λiyi n

P

i=1

λi

;

5. On en déduit que :xG =

n

P

i=1

λixi n

P

i=1

λi

;yG =

n

P

i=1

λiyi n

P

i=1

λi

;zG =

n

P

i=1

λizi n

P

i=1

λi

.

(commutativité) :Le barycentre ne change pas si on modifie l’ordre des points pondérés.

(homogénéité) : Le barycentre ne change pas lorsqu’on multiplie les coefficients par un même réel non nul

(coordonnées du Barycentre) :Soit(A_i;λ_i)_1≤i≤nn points pondérés vérifiant

n

P

i=1

λ_i 6= 0 et soitGleur barycentre.

• Le planP est muni d’un repère(O,−→ i ,−→

j ).

Soit(x_i, y_i)les coordonnées deA_i,1≤i≤net(x_G, y_G)celles deG, On a :

x_G =

n

P

i=1

λixi n

P

i=1

λ_i

;y_G =

n

P

i=1

λiyi n

P

i=1

λ_i

;

• L’espaceE est muni d’un repère(O,−→ i ,−→

j ,−→ k).

Soit(A_i;λ_i)_1≤i≤nn points pondérés vérifiant

n

P

i=1

λ_i 6= 0et soit Gleur barycentre.

Soit(x_i, y_i, z_i)les coordonnées deA_i,1≤i≤net(x_G, y_G, z_G)celles deG:

x_G=

n

P

i=1

λ_ix_i

n

P

i=1

λ_i

; y_G=

n

P

i=1

λ_iy_i

n

P

i=1

λ_i

; z_G =

n

P

i=1

λ_iz_i

n

P

i=1

λ_i . Propriétés

Exemple 1. 3. Déterminer les coordonnées de l’isobarycentreG:

→ des pointsA, B, Cdans le repère affine(A, B, C)oùABCest un triangle.

→ des pointsA, B, C, Ddans le repère affine(A, B, C, D)oùABCDest un tétraèdre.

Solution:

Déterminons les coordonnées de l’isobarycentreGd’un triangleABC dans le repère affine(A, B, C).

Gisobarycentre deABC, entraîne que :−→

GA+−−→ GB+−→

GC =−→ 0. Par la relation de Chasles, on obtient :−→

AG= ¹₃−→

AB+¹₃−→

AC.

Ainsi, le point Ga pour coordonnées

1 3,¹₃

dans le repère affine (A, B, C).

à ignorer

A

C B

G

Déterminons les coordonnées de l’isobarycentreGd’un tétraèdre ABCDdans le repère affine(A, B, C, D).

Gétant l’isobarycentre deABCD,−→

GA+−−→ GB+−→

GC +−−→

GD =−→ 0. Par la relation de Chasles, on obtient :−→

AG= ¹₄−→

AB+ ¹₄−→

AC+¹₄−−→ AD.

Ainsi, le point G a pour coordonnées

1 4,¹₄,¹₄

dans le repère affine (A, B, C, D).

à ignorer

A

G

D C

B

Soit(A_i;λ_i)_1≤i≤n, npoints pondérés tel que

n

P

i=1

λ_i 6= 0etGleur barycentre . On suppose que la somme des coefficients desp(1≤p≤n)premiers pointsA₁, A₂, . . . , A_pest non nulle.

SoitG₁ =bar A₁ A₂ . . . A_p λ1 λ2 . . . λp

.

Ecrire le pointGcomme barycentre des pointsG₁etA_i avecp+ 1≤i≤n.

Activité 1. 4

Solution: G₁ existe puisque

p

P

i=1

λ_i 6= 0, on sait que :

n

P

i=1

λ_i−−→

GA_i =−→ 0

⇔

p

P

i=1

λi

−−→GAi+

n

P

i=p+1

λi

−−→GAi =−→ 0

⇔

p

P

i=1

λi(−−→

GG1+−−−→

G1Ai) +

n

P

i=p+1

λi

−−→GAi =−→ 0

⇔ ^p P

i=1

λ_i−−→

GG₁+

p

X

i=1

λ_i−−−→

G₁A_i

| {z }

−

→0

+

n

P

i=p+1

λ_i−−→

GA_i =−→ 0

⇔ ^p P

i=1

λi

−−→

GG1+

n

P

i=p+1

λi

−−→GAi =−→ 0

D’oùGest le barycentre des points(G₁,

p

P

i=1

λ_i)et(A_i, λ_i)_p+1≤i≤n.

Le barycentre den points pondérés ne change pas lorsqu’on remplacepd’entre eux0 <

p < ndont la somme des coefficients est non nulle par leur barycentre affecté de cette somme.

Théorème 1. 2(association du barycentre ou barycentre partiel)

Exemple 1. 4. :

Déterminer la position deG, barycentre des points pondérés(A; 1),(B; 2)et(C; 3).

Solution :

Désignons parH le barycentre de(A; 1)et(B; 2). On a :−−→

AH = ²₃−→

AB.

Gest aussi le barycentre de(H; 3)et(C; 3). C’est-à-dire queGest le milieu de[HC].

Exemple 1. 5. :

ABCDest un carré de centre O.

En utilisant les barycentres partiels, construire le pointG=bar{(A; 1),(B; 2),(C;−1),(D; 2)}.

Solution :

G=bar{(A; 1),(C; 1),(B; 2),(D; 2),(C;−2)}

orO =bar{(A; 1),(C; 1)}=bar{(B; 2),(D; 2)}

Donc,G=bar{(O; 2),(O; 4),(C;−2)}=bar{(O; 6),(C;−2)}, ainsi,−→

OG=−¹₂−→

OC.

à ignorer

A

D C

B

O G

Exercices d’application

Exercice 1.1. : Soit(O,−→

i ,−→ j ,−→

k)un repère orthonormé de l’espace, on donne les pointsA(−1; 0; 2);B(3;−4; 1) etC(1;−2; 3).

1. Calculer les coordonnées de l’isobarycentreI des pointsA, B etC.

2. Déterminer les réelsα, β,etγpour que le pointG(0;−1; 1)soit le barycentre du système {(A;α),(B;β),(C;γ)}.

Exercice 1.2. :

1. Placer dans un repère les pointsA(1; 2), B(−3; 4)etC(−2; 5).

SoitGle barycentre des points pondérés(A; 3),(B; 2)et(C;−4).

2. Quelles sont les coordonnées deG? PlacerG.

3. La droite(BG)passe-t-elle par l’origine du repère ? (Justifier) Exercice 1.3. :

Dans un repère(O,−→ i ,−→

j ), placer les pointsA(2,1), B(−1,5), C(5,7)etG(1,⁵₂).

1. Déterminer les coordonnées de l’isobarycentreI des pointsBetC.

2. Déterminer les coordonnées du centre de gravitéHdu triangleABC.

3. Existe-t-il un réelktel queGsoit barycentre de(A; 1)et(B;k)? Justifier.

Exercice 1.4. :

Observer la figure ci-contre :

1. Déterminer des entiers naturelsm, netptels que : G=bar{(A;m),(B;n),(C;p)}.

2. La droite(AG)coupe(BC)enL.

Exprimer−→

LC en fonction de−→

LB.

à ignorer

C

A B

G

Sommaire

2.1 Droite, segment et barycentre . . . 16 2.2 Barycentre, plan et triangle . . . 17 2.3 Barycentre et lignes de niveau . . . 19

2

Recherche des lieux géométriques

Lieu géométrique

Un lieu géométrique est un ensemble de points satisfaisant certaines conditions, données par un problème de construction géométrique.

Dans cette leçon, on donne des problèmes de lieux géométriques.

2.1. Droite, segment et barycentre

Il s’agit de donner la caractérisation d’une droite et d’un segment à partir du barycentre.

SoientAetBdeux points distincts du plan ou de l’espace. SoitM un autre point.

1. Montrer que le point M appartient à la droite(AB) si et seulement siM peut s’écrire comme barycentre des pointsAetB.

2. Montrer que le pointM appartient au segment[AB]si et seulement si M peut s’écrire comme barycentre des pointsAetB affectés des coefficients de même signes.

3. En déduire la caractérisation barycentrique d’un pointM appartenant à(AB)\[AB].

Activité 2. 1

Solution :

1. Si M est un point de la droite(AB), alors−−→

AM et−→

ABsont colinéaires, c’est-à-dire qu’il existe un réelktel que−−→

AM =k−→

AB.

De−−→

AM =k−→

AB, on déduit :−−→

AM =k(−−→

AM +−−→

M B), d’où(1−k)−−→

AM +k−−→

M B =−→ 0. Or(1−k) +k 6= 0, doncM est le barycentre de(A; 1−k)et(B;k).

Réciproquement, siM est barycentre des points(A;a)et(B;b), alors :

(a+b)−−→

AM =b−→

AB, soit−−→

AM = _a+b^b −→

AB.

Par conséquent,M appartient à la droite(AB).

2. SiM ∈[AB], alors il existek ∈[0; 1]tel que−−→

AM =k−→

AB.

On en déduit alors que(1−k)−−→

M A+k−−→

M B = −→

0 et commek ∈ [0; 1],1−k et k sont positifs.

Ainsi,M =bar{(A; 1−k),(B;k)}avec1−k et kpositifs.

Réciproquement, si M est le barycentre du système de points pondérés {(A;a),(B;b)}

aveca.b >0, alors−−→

AM = _a+b^b −→

AB.

Orab≥0, ce qui donne0≤ _a+b^b ≤1, d’oùM ∈[AB].

3. D’après les questions précédentes, il est clair que si M ∈ (AB)\[AB]alors M s’écrit comme barycentre des pointsAetB affectés des coefficients de signes contraires.

• L’ensemble des barycentres de deux pointsAetB est la droite(AB).

• L’ensemble des barycentres de deux pointsAetB affectés des coefficients de mêmes signes est le segment[AB].

• L’ensemble des barycentres de deux points A et B affectés des coefficients de signes contraires est(AB)\[AB].

Théorème 2. 1

2.2. Barycentre, plan et triangle

Il s’agit de donner la caractérisation d’un plan et d’un triangle à partir du barycentre.

SoientA, B etC trois points non alignés, α, β etγ des réels tels queα+β +γ 6= 0etGle barycentre de(A;α),(B;β),(C;γ).

1. Montrer queGappartient au plan(ABC).

2. Montrer que tout point M du plan(ABC)peut s’écrire comme barycentre des points A, B etC.

3. Que peut-on conclure ? Activité 2. 2

Solution:

1. Gbarycentre des points(A;α),(B;β),(C;γ)entraîne que :

−→AG= β α+β+γ

−→AB+ γ α+β+γ

−→AC.

DoncGappartient au plan de repère affine(A, B, C).

2. SoitM un point du plan(ABC)M est de coordonnées(x, y)dans le repère(A, B, C):

−−→AM = x−→

AB+y−→

AC

= x−−→

AM +x−−→

M B+y−−→

AM +x−−→

M C i.e: (1−x−y)−−→

AM +x−−→

BM +y−−→

CM =−→ 0.

Ainsi,M =bar{(A; 1−x−y),(B;x),(C;y)}car1−x−y+x+y6= 0.

3. L’ensemble des barycentres deA,BetCest le plan(ABC).

L’ensemble des barycentres de trois pointsA,B etCnon alignés est le plan(ABC).

Théorème 2. 2

NB :L’ensemble des barycentres de 4 points non coplanaires est l’espaceE. Exemple 2. 1. :

ABCDEF GHest un cube ;Iest le milieu de[AB]etJcelui de[BC].

K est le barycentre de{(A; 1),(B; 2),(C; 1),(H; 1)}.

Prouver que les pointsK, I, J etHsont coplanaires.

Solution :

I est le barycentre de {(A; 1),(B; 1)} et J celui de {(B; 1),(C; 1)}.

Puisque K est barycentre de {(A; 1),(B; 2),(C; 1),(H; 1)}, par associativité du barycentre, K est aussi barycentre de {(I; 2),(J; 2),(H; 1)}.

AinsiK est dans le plan(IJ H)et les points K, I, J, etH sont copla- naires.

à ignorer

A

B C

D E

F G

H

I

J K

SoientA,BetCtrois points non alignés de l’espace.

1. Montrer que tout pointM intérieur au triangleABCpeut s’écrire comme barycentre des pointsA, B etCaffectés des coefficients positifs et non tous nuls.

2. Soita, betctrois réels positifs de somme non nulle. Montrer que le barycentre du sys- tème de points pondérés{(A;a); (B;b); (C;c)}est intérieur au triangleABC.

Activité 2. 3

Solution :

1) SoitM est un point intérieur au triangleABC, alors :

– Supposons que M est un point d’un des côtés du triangle par exemple[AB], alors il existe deux réelsaetbpositifs ou nuls tels queM soit barycentre de{(A;a),(B;b)}.

M est alors barycentre du système{(A;a),(B;b),(C; 0)}.

De même pour les côtés[AC]et[BC].

– Supposons queM n’appartient à aucun des côtés de ce triangle.

Soit P le point d’intersection des droites (AM) et (BC).

Comme P est sur [BC] (P 6= B et P 6= C), il existe deux réels b⁰ et c⁰ strictement positifs tel que P soit barycentre de {(B;b⁰),(C;c⁰)}.

De plusM est sur[AP], donc il existe deux réelsaetλpositifs tels queM soit barycentre de{(A;a); (P;λ)}. On a alors, a−−→

M A+λ−−→

M P =−→ 0. Ce qui donnea−−→

M A+λ

b⁰ b⁰+c⁰

−−→M B+ _b0+c^{c0 0}

−−→M C

=−→ 0.

à ignorer

A B

C P

M

D’oùM est barycentre de{(A;a),(B;b),(C;c)}aveca >0, b = _b^λb0+c⁰⁰ >0et c= _b^λc0+c⁰⁰ >0.

2) SoitM le barycentre du système{(A;a),(B;b),(C;c)}aveca, betctrois réels positifs et non tous nuls. Alors l’une des trois sommesa+b, b+coua+cest non nulle (sinon la sommea+b+cserait nulle). On supposea+b 6= 0et soitHle barycentre du système (A;a),(B;b). On en déduit queM est le barycentre de(H;a+b),(C;c)aveca+betc positifs et non tous nuls . DoncM est un point du segment[CH]etM est bien un point

intérieur au triangleABC.

SoientA,BetCtrois points non alignés de l’espace.

Un pointM est intérieur au triangle ABC si, et seulement si, il existe trois réelsa, betc positifs ou nuls tels quea+b+c 6= 0etM est le barycentre du système de points pondérés {(A;a); (B;b); (C;c)}.

Théorème 2. 3

2.3. Barycentre et lignes de niveau

Soitf une application qui, à tout pointM du plan, associe un réelf(M).

On appelleligne de niveau kde l’applicationf, l’ensemble des pointsM du plan tel que f(M) = k.

Définition 2. 3(Ligne de niveau)

A. Ligne de niveau de f : M 7−→

n

P

i=1

λ

M A

Soit (A_i;λ_i)_1≤i≤n un ensemble de points pondérés et k un réel. On veut déterminer les lignes de niveauxk de l’application f, c’est-à-dire l’ensemble(E_k)des pointsM tel que

n

P

i=1

λ_iM A_i² =k.

1. On suppose que

n

P

i=1

λ_i 6= 0, soitGle barycentre de(A_i;λ_i)_1≤i≤netM un point.

Montrer queM G² =ρavecρ=

k−Pⁿ

i=1

λiGAi2 n

P

i=1

λi

. En déduire l’ensemble(Ek)suivant le signe deρ.

2. On suppose que

n

P

i=1

λ_i = 0. SoitOun point et−→u le vecteur définie par :

−

→u =

n

P

i=1

λ_i−−→

OA_i. (a) Montrer que

n

P

i=1

λ_iM A_i² =k ⇔−−→

OM· −→u = ¹₂ ⁿ P

i=1

λ_iOA_i²−k . (b) On suppose que−→u =−→

0. En déduire suivant les valeurs dekl’ensemble(E_k).

(c) Détermine l’ensemble(E_k)dans le cas−→u 6=−→ 0. Activité 2. 4

Solution: 1) Si

n

P

i=1

λ_i 6= 0, alors

SoitGle barycentre de(Ai, λi)_1≤i≤n, alors :

n

X

i=1

λ_iM A_i² = Xⁿ

i=1

λ_i

M G²+

n

X

i=1

λ_iGA_i²+ 2−−→

M GXⁿ

i=1

λ_i−−→

GA_i

| {z }

−

→0

Ainsi,

n

X

i=1

λ_iM A_i² =k ⇔ M G² = k−

n

P

i=1

λ_iGA_i²

n

P

i=1

λ_i

=ρ

On conclut que :

? Siρ <0, E_k=∅

? Siρ= 0, E_k={G}

? Siρ >0, E_kest le cercle de centreGet de rayon√

ρdans le plan (la sphère de centre Get de rayon√

ρdans l’espace).

2) Si

n

P

i=1

λ_i = 0, alors :

n

P

i=1

λ_iM A_i² =

n

P

i=1

λ_iOA_i²+ n

P

i=1

λ_i

OM²−2−−→

OM n

P

i=1

λ_i−−→

OA_i

. Donc

n

P

i=1

λiM Ai2

=

n

P

i=1

λiOAi2−2−−→

OM · −→u car

n

P

i=1

λi = 0.

Ainsi,

n

P

i=1

λ_iM A_i² =k⇔−−→

OM · −→u = ¹₂ n

P

i=1

λ_iOA_i²−k . – Si−→u =−→

0, alors on a deux cas : Pour k 6=

n

P

i=1

λ_iOA_i², on conclut queE_k =∅.

Pour k =

n

P

i=1

λ_iOA_i², on conclut queE_k =E (ouE_k=P).

– Si−→u 6=−→ 0, alors

Considérons la droite(D)de repère(O,−→u). SoitM₀ ∈(D)tel que−−−→ OM₀ =−→u. Fixons un pointM et Prenons son projeté orthogonalH sur(D).

On a :−−→

OM · −→u =OH×OM₀ =OA×OM₀×cos(−−→

OH;−−−→ OM₀).

Des égalités−−→

OM · −→u = ¹₂ n

P

i=1

λiOAi2−k

et−−→

OM · −→u = OH ×OM0, on en déduit queOH =

n

P

i=1

λiOAi2−k

2×OM0 qui est une constante.

Conclusion:(E_k)est le plan (respectivement la droite ) passant parHet orthogonal(e) à (D) dans l’espace (respectivement dans le plan) oùH est le point de(D) tel que : OH =

n

P

i=1

λiOAi2−k 2×OM0 .

Soit(A_i;λ_i)_1≤i≤n,npoints pondérés.

1. Si

n

P

i=1

λi 6= 0, alors posonsGle barycentre de(Ai;λi)_1≤i≤n, la ligne de niveauk(k ∈R) de l’applicationM 7→

n

P

i=1

λ_iM A_i² est :

• soit l’ensemble vide∅.

• soit le singleton{G}

• soit un cercle dans le plan (respectivement une sphère dans l’espace).

2. Si

n

P

i=1

λi = 0, la ligne de niveauk,(k ∈R)de l’applicationM 7→

n

P

i=1

λiM Ai2

est :

• soit l’ensemble vide.

• soit l’ensemble tout entier.

• soit une droite dans le plan (ou un plan dans l’espace).

Théorème 2. 4

B. Ligne de niveau de f : M 7−→

.

Soit A et B deux points distincts du plan et k un réel strictement positif. On veut déterminer les lignes de niveauxkde l’applicationf, c’est-à-dire l’ensemble(E_k)des points M tel que ^{M A}_{M B} =k,.

1. Déterminer l’ensemble(E₁).

2. Montrer que(Ek)avec k 6= 1est le cercle (resp. la sphère) de diamètre [AB] dans le plan (resp. l’espace).

Activité 2. 5

Solution:

– Sik = 1, alorsM A=M B. Par conséquentMdécrit la médiatrice (resp. plan médiateur) de [AB] dans le plan (resp. dans l’espace).

– Sik 6= 1, alorsM A² =k²M B². Donc(−−→

M A+k−−→

M B)·(−−→

M A−k−−→

M B) = 0.

SoitI =bar{(A; 1),(B;k)}etJ =bar{(A; 1),(B;−k)}, on obtient :−−→ M I·−−→

M J = 0. Il vient queM décrit le cercle (ou la sphère) de diamètre[AB].

SoitAetB deux points distincts du plan,k un réel strictement positif et différent de1.

• La ligne de niveaukde l’applicationM 7→ _{M B}^{M A} est le cercle de diamètre[IJ]oùI etJ sont tels que :I =bar{(A; 1),(B;k)}etJ =bar{(A; 1),(B;−k)}.

• La ligne de niveau1de l’applicationM 7→ ^{M A}_{M B} est la médiatrice (resp. plan médiateur) du segment [AB] dans le plan (resp. dans l’espace).

Théorème 2. 5

Exercices d’application

Exercice 2.1(théorème de la médiane). :

SoitAetB deux points du plan etI le milieu de[AB]. Pour tout pointM du plan, Montrer que :

a) −−→

M A·−−→

M B =M I²− ^AB₄². b) M A²+M B² = 2−−→

M I²+ ^AB₂². c) M A²−M B² = 2−−→

IM ·−→

AB

Exercice 2.2. :

SoitABC un triangle isocèle tel queAB= 4, CA=CB = 6.

Déterminer l’ensemble des pointsM du plan tel queM A²+M B² −2M C² = 0.

Exercice 2.3. :

ABCest un triangle.I etGsont définis par :−→

AI =−2−→

ABet−→

CG= ¹₅−→ CI.

1. ExprimerGcomme barycentre des pointsA, B etC.

2. La droite(BG) coupe le segment[AC] en un point J. Déterminer la position de J sur [AC].

3. Déterminer et tracer l’ensemble des points M du plan tel que : k3−−→

M A−2−−→

M Bk=k−−→

M A−−−→ M Ik.

Exercice 2.4. :

Le but de ce problème est de déterminer, étant donnés deux pointsA et B distincts, l’en- semble des pointsM du plan vérifiant la relation :k−−→

M A+ 2−−→

M Bk= 3.

1. Construire le pointG, barycentre du système{(A; 1),(B; 2)}.

2. Prouver que l’ensemble des pointsM cherchés est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

Exercice 2.5. :

Le but de ce problème est de déterminer, étant donné un triangle quelconqueABC, l’en- semble des pointsM du plan vérifiant la relation :k2−−→

M A+−−→

M Bk= 3M C.

1. Construire le pointGbarycentre du système{(A; 2),(B; 1)}.

2. En utilisant la relation de Chasles et la définition du barycentreGprouver que2−−→

M A+

−−→M B = 3−−→

M G

3. En déduire que l’ensemble des points cherchés est la médiatrice d’un segment que l’on précisera.

Exercice 2.6. :

Déterminer et construire les lieux géométriques suivant : 1. k−−→

M A−3−−→

M Bk=AB.

2. k3−−→

M A−2−−→

M Bk=AM. 3. k3−−→

M A+−−→

M Bk=k−−→

M A+ 3−−→

M Bk.

Sommaire

3.1 Alignement des points . . . 25 3.2 Concours et parallélisme . . . 26

3

Autres applications du barycentre

3.1. Alignement des points

Soient ABCDE une pyramide de sommet A. I et J les centres de gravité des faces ABC et ADE respectivement, G le barycentre des points pondérés (A,3),(B; 2),(C; 2),(D; 2),(E; 1).

Démontrer que les pointsG,I etJ sont alignés.

En déduire une construction du pointsG.

Activité 3. 1

Solution :

On a :G=bar A B C A D E

2 2 2 1 1 1

⇒G=bar I J 6 3

⇒ 6−→

GI+ 3−→

GJ =−→ 0

⇒ 6−→

GI+ 3−→

GI+ 3−→

GJ =−→ 0

⇒ 9−→

GI+ 3−→ IJ =−→

0

⇒ 9−→

IG= 3−→ IJ

⇒ −→ IG= 1

3

−→ IJ

Donc, les pointsG,I etJ sont alignés.

à ignorer

A

B

C D

E

I J

G

SoitABCDun quadrilatère,I le milieu de[AC], J le milieu de[BD]etGle point défini par

−→AG= ¹₂(−−→ BC+−−→

DC).

1. Montrer que G est le barycentre de(A; 2),(B;−1),(C; 2)et(D;−1).

2. En déduire que les pointsI, J etGsont alignés.

Activité 3. 2

Pour montrer que trois points sont alignés, il suffit de montrer que l’un peut s’expri- mer comme barycentre des deux autres (en utilisant éventuellement la propriété du barycentre partiel).

Méthode

Exemple 3. 1. :

SoientABCDun parallélogramme,P le point tel que−→

AP = ¹₃−→

AB.Qest le symétrique du milieu de[AD]par rapport àA.

On a :−→

QA= ¹₃−−→

QD or _QD^QA = ^QP

QC = ¹₃. Donc,3−→

QP =−→

QC

Et on obtient :Q=bar{(P; 3),(C;−1)}.

Ainsi, les pointsQ, P etC sont alignés.

à ignorer

A P

B C

Q D

3.2. Point de concours et parallélisme des droites

SoitABCun triangleα, βetγdes réels tels que :α+β 6= 0, α+γ 6= 0, β+γ 6= 0.

SoitA⁰ =bar{(B;β),(C;γ)}B⁰ =bar{(A;α),(C;γ)}C⁰ =bar{(A;α),(B;β)}.

a) Démontrer que siα+β+γ = 0, alors les droites(AA⁰),(BB⁰)etCC⁰ sont parallèles.

b) Démontrer que siα+β+γ 6= 0, alors les droites(AA⁰),(BB⁰)et(CC⁰)sont concourantes en un point que l’on précisera.

Activité 3. 3

Solution :

On a :A⁰ 6=A;B⁰ 6=B;C⁰ 6=Ccar ABC est un triangle.

a) Siα+β+γ = 0, alors pour tout pointM le vecteurα−−→

M A+β−−→

M B+γ−−→

M C est constant Posons→−u =α−−→

M A+β−−→

M B+γ−−→

M C.

PourM =A⁰, on a :−→u =α−−→

A⁰A+β−−→

A⁰B +γ−−→

A⁰C =α−−→

A⁰A.

De même, pourM =B⁰, on a :−→u =β−−→

B⁰B et pourM =C⁰, on a :−→u =γ−−→

C⁰C.

D’où,α−−→

A⁰A=β−−→

B⁰B =γ−−→

C⁰C.

Donc les droites(AA⁰),(BB⁰)et(CC⁰)sont parallèles.

b) siα+β+γ 6= 0, soitG=bar{(A;α),(B;β),(C;γ)}.

Pour tout pointM, on a :α−−→

M A+β−−→

M B+γ−−→

M C = (α+β+γ)−−→

M G.

PourM =A⁰, on a :α−−→

A⁰A+β−−→

A⁰B+γ−−→

A⁰C = (α+β+γ)−−→

A⁰Gdonc−−→

A⁰G= _α+β+γ^α −−→

A⁰A

⇒G∈(A⁰A).

En prenantM =B⁰, puisM =C⁰, on obtient :−−→

B⁰G= _α+β+γ^β −−→

B⁰Bet−−→

C⁰G= _α+β+γ^γ −−→

C⁰C DoncG∈(BB⁰)etG∈(CC⁰)orG∈(AA⁰).

D’où les droites(AA⁰),(BB⁰)et(CC⁰)sont concourantes enG.

ABCDest un quadrilatère.Gest le centre de gravité du triangle ABC. I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [BC]. L est le barycentre de (A; 1) et (D; 3) et K le bary- centre de(C; 1)et(D; 3).

Le but de l’activité est de démontrer que les droites (IK), (J L) et (DG) sont concourantes. Pour cela, on utilisera le barycentreHde(A; 1),(B; 1),(C; 1)et(D; 3).

Activité 3. 4

à ignorer

A

B

C I D

J G

1. Placer, en justifiant, les pointsLetK.

2. Démontrer queHest le barycentre deGetDmunis des coefficients que l’on précisera.

3. Démontrer queHest le barycentre deJetLmunis des coefficients que l’on précisera.

4. Démontrer queHest le barycentre deIetKmunis des coefficients que l’on précisera.

5. Conclure.

Pour montrer que trois droites (AB),(CD) et (EF) sont concourantes, il suffit de montrer qu’un certain pointGpeut-être obtenu comme un barycentre deAetB, puis comme un barycentre deCetD, et enfin comme un barycentre deE etF (cela prouve en effet que G appartient aux trois droites).

Méthode

Exemple 3. 2. :

Soient un tétraèdreABCD, Gle centre de gravité du triangleABC, etP le barycentre de {(A; 1),(B; 1),(C; 1),(D; 3)}.Alors :

P est le barycentre de(G; 3)et(D; 3).

P est aussi le barycentre de(I; 2)et(K; 4) oùI est le milieu de [AB]etK tel que−−→

CK =

3 4

−−→

CD.

P est aussi le barycentre de(J; 2) et de (L; 4) oùJ est le milieu de[BC]et Lest tel que

−→AL= ³₄−−→ AD.

Il en résulte que les droites(DG),(IK)et(J L)sont concourantes enP.

Exercices d’application

Exercice 3.1. :ABCest un triangle.Iest milieu de[AB].JetLsont définis par :−→

AJ = ²₅−→

AB et−→

AL= 3−→

CA.

La droite parallèle à(AC)menée parJ coupe la droite(BC)enK.

1. ExprimerI comme barycentre deA,B etLcomme barycentre des pointsAetC.

2. ExprimerK est comme barycentre deB etC.

3. Démontrer que les pointsI,KetLsont alignés et préciser la position de ces trois points.

Exercice 3.2. On considère un triangleABC quelconque, avecI le milieu du segment[BC], on définitG₁ =bar{(A;−2),(B; 5),(C; 5)}etG₂ =bar{(A; 5),(B;−2),(C; 2)}.

1. Prouver que les pointsA,I etG₁ sont alignés.

2. Prouver que les droites(AG₂)et(BC)sont parallèles.

Exercice 3.3. Dans un triangleABC on définit,I le barycentre de(B; 2),(C; 1), J le bary- centre de(A; 3),(C; 2)etK le barycentre de(A; 3)et(B; 4).

1. Faire une figure.

2. En considérantGle barycentre de(A; 3),(B; 4)et(C; 2), montrer que les droites(AI),(BJ) et(CK)sont concourantes enG.

Exercice 3.4. Soit ABC un triangle et I, J et K les points définis par : I est le milieu de [AB];−→

J C = ²₃−→

J A;−−→

BK = 3−−→ BC.

1. Déterminer les coefficients pour lesquelsI est le barycentre de(A;a),(B;b), J celui de (A;a⁰),(C;c)etK celui de(B, b⁰),(C, c⁰).

2. Démontrer que les droites (AK),(BJ) et (CI) sont concourantes en G barycentre de (A; 2),(B; 2)et(C;−3).

Sommaire

4.1 Exercices de synthèse . . . 29 4.2 Exercices de recherche . . . 32

4

Exercices

4.1. Exercices de synthèse

Exercice 4.1. :

1. SoitGle barycentre des points massifs(A;a)et(B;b).

(a) Etudier la position deGpar rapport àAetB, en fonction deaetb.

(b) A quelle conditionGest-il le milieu du segment[AB]?

2. (a) Déterminer le barycentre D des points massifs (A;α),(B;−α),(C;α), α ∈ R^∗ étant un réel non nul.

(b) Comment choisirα, β, γpour que le barycentreDdes points massifs(A;α),(B;β),(C;γ) forme avec A,B,C un parallélogramme.

Exercice 4.2(isobarycentre d’un triangle). : SoitABC un triangle.

1. Construire les pointsA⁰ etA⁰⁰définis par :2−−→

BA⁰ =−−→

BCet3−−−→

A⁰A⁰⁰ =−−→

A⁰A.

A quelle droite particulière du triangle appartient le pointA⁰⁰? 2. Construire les points B⁰, B⁰⁰, C⁰ et C⁰⁰ définis par : 2−−→

AC⁰ = −→

AB et 3−−−→

C⁰C⁰⁰ = −−→

C⁰C; 2−−→

CB⁰ =−→

CAet3−−−→

B⁰B⁰⁰ =−−→

B⁰B.

Que peut-on dire des pointsA⁰⁰, B⁰⁰, C⁰⁰? Quel théorème classique a-t-on redémontré ? Exercice 4.3. :

SoitABC un triangle,Dle barycentre du système{(A; 1),(B; 2),(C; 3)},Ele barycentre de{(A; 2),(B; 3),(C; 1)}etF le barycentre de{(A; 3)(B; 1)(C; 2}).

Montrer que le centre de gravité du triangleABC est aussi le centre de gravité du triangle DEF.

Exercice 4.4. :

ABCDE est une pyramide à base carréeBCDE. SoitGl’isobarycentre deA, B, C, D et E.

On note O le centre du carré BCDE (c’est-à-dire l’intersection des diagonales (CE) et (BD)).

1. Démontrer queOest l’isobarycentre deBCDE.

2. Démontrer queGest le barycentre de(O,4)et(A,1).

3. SoitG₁ le centre de gravité du triangleABE etI le milieu de[CD].

Démontrer queG∈(G₁I).

(Pour cet exercice, une figure est recommandée)

Exercice 4.5. :

ABCD est un tétraèdre ;Gl’isobarycentre des points A, B, C et.;I, J, K, L, M etN les milieux respectifs des segments [AB],[CD],[BC],[AD],[BD] et [AC].A⁰, B⁰, C⁰ et D⁰ les centres de gravité respectifs des trianglesBCD, CDA, DABetABC.

1. (a) Montrer queGest le milieu du segment[IJ].

(b) Montrer que les droites(IJ),(KL)et(M N)sont concourantes enG.

(c) Quelle est la nature exacte du quadrilatèreIKJ L.

2. (a) Montrer queGappartient au segment[AA⁰].

(b) Montrer que les droites(AA⁰),(BB⁰),(CC⁰)et(DD⁰)sont concourantes enG.

(c) Démontrer que−→

AB+−→

AC+−−→

AD= 3−−→

AA⁰. (d) En déduire que−−→

AA⁰+−−→

BB⁰+−−→

CC⁰+−−→

DD⁰ =−→ 0. Exercice 4.6. :

L’espace est rapporté à un repère orthonormal(O,−→ i ,−→

j ,−→

k). On noteI, J, K les points de coordonnées respectives(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).

1. (a) Etant donné un point M. Calculer f(M) = M I² +M J² + M K² à l’aide des coordonnées(x, y, z)deM.

(b) En déduire que l’ensemble des pointsM tels quef(M) = 3est une sphère dont on précisera le centre et le rayon.

2. SoitGl’isobarycentre des pointsI, J etK.

(a) Montrer que pour tout pointM de l’espace,f(M) = 3M G²+f(G).

(b) Retrouver ainsi le résultat de la question précédente.

3. (a) Etant donné un point M. Calculer g(M) = M I² +M J² −2M K² à l’aide des coordonnées(x, y, z)deM.

(b) En déduire l’ensemble des pointsM tels queg(M) = 4.

4. (a) Monter que pour tout pointM de l’espace,g(M) =−2−−→

OM ·(−→ OI+−→

OJ−2−−→

OK).

(b) Retrouver le résultat de la question précédente.

Exercice 4.7. On considère trois points non alignésA, B, C.

Quel est l’ensemble des pointsP défini par :−−→

M P =−−→

M A+−−→

M B+−−→

M C lorsqueM décrit une droite(D)?

Exercice 4.8(formule de Leibniz). :

Soit(A₁;α₁),(A₂;α₂), . . . ,(A_n;α_n) npoints massifs. Pour tout pointM de l’espace On pose :F(M) =

n

P

i=1

α_iM A_i². 1. SoitOun point de l’espaceE.

ExprimerF(M)en faisant intervenirF(O)et le vecteur−→ V =

n

P

i=1

α_i−−→

OA_i. 2. On suppose

n

P

i=1

αi 6= 0, et on appelleGle barycentre des(Ai;αi)_1≤i≤n. Etablir laformule de Leibniz:

n

P

i=1

α_iM A_i² =

n

P

i=1

α_iM G² +

n

P

i=1

α_iGA_i². 3. On suppose

n

P

i=1

αi = 0.

(a) Montrer que F est une fonction affine.

(b) Ecartant le cas trivial où tous lesα_isont nuls, on considère une partieIde{1,2, ..., n}

telle que :

n

P

i=1

6= 0. SoitG⁰ le barycentre des(A_i;α_i), i ∈ I,G⁰⁰ le barycentre des (Ai;αi), i /∈I.

– Que peut-on dire deF siG⁰ =G⁰⁰? et de−→ V ?

– SiG⁰ 6=G⁰⁰, on appelleGle milieu du segment[G⁰G].

Montrer queF(M) = 2−−→

M G·−→

V +F(G), et calculer−→

V en fonction desα_ideG⁰ et deG⁰⁰.

Exercice 4.9. :

1. On donne deux pointsAetB.

TransformerM A²−M B²en s’inspirant de l’exercice précédent.

(Pour la deuxième transformation, on choisira le pointOde la manière la plus simple).

2. Montrer que, dans un parallélogramme, la somme des carrés des longueurs des diagonales est égale à la somme des carrés des longueurs des quatre côtés.

Exercice 4.10. :

On donne deux parallélogrammesABCDetA⁰B⁰C⁰D⁰de centres respectifsO etO⁰.