Autres applications du barycentre
4.2. Exercices de recherche
Exercice 4.11. :
On considère un tétraèdre quelconque. Démontrer que les droites joignant les sommets au centres de gravité des faces opposées sont concourantes.
Exercice 4.12(droite d’Euler). :
Soit ABC un triangle quelconque, O le centre du cercle circonscrit à ce triangle (point d’intersection des médiatrices), et Gson centre de gravité. Soit H le point défini par −−→
OH =
−→OA+−−→ OB+−→
OC.
1. a. SoitA0 le milieu de[BC]. Démontrer que−−→
OA0 = 12(−−→ OB+−→
OC).
b. Démontrer que les vecteurs−−→
AHet−−→
OA0 sont colinéaires.
2. SoitM un point quelconque du plan.
a. Démontrer que3−−→
M G=−−→
M A+−−→
M B+−−→
M C.
b. Déduire des questions précédentes que les pointsO, GetHsont alignés.
Exercice 4.13. :
ABCDest un rectangle tel queAB = 6.
1. Déterminer et construire l’ensembleΓ1 des pointsM du plan tels que : k2−−→
M A+−−→
M Bk=k5−−→
M C −2−−→
M Dk.
Démontrer que le milieu de[BC]appartient àΓ1.
2. Déterminer et construire l’ensembleΓ2 des pointsM du plan tels que : k2−−→
M A+−−→
M Bk= 2AB.
Démontrer que le pointBappartient àΓ2. Exercice 4.14. :
Soient ABCD un parallélogramme et I le milieu de[AB]. Les droites (DB) et (CI) se coupent en un point notéG
1. Faire une figure.(la figure est à compléter progressivement).
2. Montrer que−→
GA+−−→ GB +−→
GC =−→ 0.
3. a) Construire le barycentreK du système de points pondérés(A; 1),(B; 1)et(C;−1).
b) Montrer queKest aussi le barycentre des points pondérés(G; 3)et(C;−2).
4. a) Déduire de la relation(1)queAest le barycentre des points pondérés(D; 1),(G; 3)et (C;−2).
b) Montrer queAest le milieu de segment[DK].
5. Déterminer et construire l’ensemble(E)des pointsM du plan tels que : k−−→
M D+ 3−−→
M G−2−−→
M Ck=k−−→
M A+−−→
M Bk.
6. a) Pour quelle(s) valeur(s) du réel m le barycentre Im du système (D;m),(G; 3) et (C;−2)existe -t-il ?
b) LorsqueIm existe, montrer que :−−→
DIm = 1+m1 −−→
DK.
c) Etudier les variations de la fonctionx7−→ 1+x1 et dresser son tableau de variations(on précisera ses limites aux bornes de son domaine de définition sans justification).
d)En déduire le lieu géométrique du pointImlorsque le réel décrit l’ensembleR\ {−1}.
Exercice 4.15. :
Dans le plan(P), on considère un triangleABC isocèle enA, de hauteur[AH], telle que AH =BC = 4, l’unité choisie étant le centimètre.
1. Construire, en justifiant, le pointGbarycentre du système{(A; 2),(B; 1),(C,1)}.
2. M est un point quelconque de(P).
Montrer que le vecteur−→
V = 2−−→
M A−−−→
M B·−−→
M C est un vecteur de norme8.
3. Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan tels que : k2−−→
M A+−−→
M B+−−→
M Ck=k−→ V k.
4. On considère le système de points pondérés {(A; 2),(B;n),(C;n)} où n est un entier naturel fixé.
a) Montrer que le barycentreGnde ce système, existe quelle que soit la valeur den.
b) Monter que pour tout entier natureln,Gnappartient à[AH].
c) SoitΓnl’ensemble des points M du plan tels quek2−−→
M A+n−−→
M B+n−−→
M Ck=nk−→ V k.
Montrer queΓnest un cercle contenant le pointA, dont on précisera le centre et le rayon.
d) Déterminer la distanceAGnen fonction den.
5. Quel est le comportement deGnlorsquentend vers+∞? Exercice 4.16. :
SoitABC est un triangle. La bissectrice de l’angleBAC[ coupe le segment [BC]enI. La parallèle à la droite(AI)passant parCcoupe(AB)enD.
1. a) Montrer que le triangleCADest isocèle enA.
b) En déduire que IBIC = ABAC.
2. On noteAB=c, BC =aetCA=b.
Démontrer que le pointIest barycentre du système pondéré(B;b)et(C;c).
3. La bissectrice de l’angleABC[ coupe[AC]enJ et la bissectrice deACB[ coupe[AB]en K. On noteO le barycentre de(A;a),(B;b)et(C;c).
a) Montrer queOest le barycentre des points pondérés(A;a)et(I;b+c).
b) En déduire que O est un point de (AI), puis que O est le point de concours des bissectrices deABC[.
Exercice 4.17. :
Sur une droite(D)munie d’un repère(O,−→
i ),A0 etB0 sont les points d’abscisses respec-tives −4et3. Pour tout entier naturel n,on note An+1 le barycentre de (An; 1) et(Bn; 4) puis Bnle barycentre de(An; 3)et(Bn; 2).
1. Placer les pointsA0, B0, A1, B1.
2. Les pointsAnetBnont pour abscisses respectivesanetbn. Ainsi,a0 =−4etb0 = 3.
Démontrer que pour toutndeN,an+1 = 15(an+ 4bn)etbn+1 = 15(3an+ 2bn).
3. (a) Démontrer par récurrence, que pour tout entier natureln:3an+qbn = 0.
(b) En déduire que :an+1 =−25anetbn+1=.25bn. 4. (a) Exprimeranetbnen fonction den.
(b) Déterminer les limites deanetbnquandntend vers+∞.
(c) Interpréter ce résultat à l’aide des pointsAnetBn. Exercice 4.18. :
1. Montrer que dans un tétraèdre, les quatre droites qui joignent l’un des sommets à l’iso-barycentre de la face opposée, ainsi que les quatre droites joignant les milieux de deux arêtes opposées, sont concourantes.
2. SoitABCDun quadrilatère.
– Montrer que les segments joignant les milieux des côtés opposés se coupent en leur milieu.
– Quelle est la nature du quadrilatère construit sur les milieux des côtés d’un quadrilatère quelconque ?
Exercice 4.19(formule de Stewart). :
1. Soit(A1;α1),(A2;α2), . . . ,(An;αn)npoints massifs tels que pour tout pointM,
n
P
i=1
αi−−→
M Ai =−→
0. Montrer que la quantité
n
P
i=1
M Ai2est une constante.
2. A, B, C sont trois points d’un axe(∆),M un point quelconque de l’espace.
(a) Montrer.queBC ×−→
BA+AB×−−→ BC =−→
0.
(b) En déduire laformule de Stewart:
BC×M A2+CA×M B2+AB×M C2+BC×CA×AB= 0.
3. Cette question montre comment laformule de Stewart permet de calculer aisément cer-tains éléments du triangle.
La bissectrice intérieure de l’angle du triangleABC coupe[BC]enD. Calculer la dis-tanceAD, en fonction deBC =a, CA=betAB=c.
Exercice 4.20(théorème de Ménélaüs). :
SoitABC un triangle,α, β, γ, trois réels différents de1. SoitA0(resp.B0, resp.C0) le bary-centre des points massifs(B; 1)et(C;−γ)
resp.(C; 1)et(A;−α), resp.(A; 1)et(B;−β) . 1. Trouver une relation entre α, β et γ nécessaire et suffisante pour que A0, B0, C0 soient
alignés.
2. En déduire lethéorème de Ménélaüs:
A0, B0, C0sont alignés si et seulement si AA00BC ·BB00CA· CC00AB = 1.
Exercice 4.21(théorème de Desargues). :
On considère deux trianglesABCetA0B0C0tels que les droites(AA0),(BB0),(CC0)soient concourantes en un pointO.
On suppose que les droites(BC)et(B0C0)se coupent enA1, que les droites(CA)et(C0A0) se coupent enB1, que les droites(AB)et(A0B0)se coupent enC1.
Montrer queA1, B1, C1 sont alignés.
(On pourra considérer O comme barycentre des points A et A0, des points B et B0, des pointsCetC0.)
Exercice 4.22. :
SoitABCDun losange de centreO tel que :OB = 2OA.
1. Démontrer que le barycentre des points pondérés(B; 2),(C;−1)et(D; 1) est le milieu du segment[AB].
2. Soitkun nombre réel.
(a) Déterminer et construire l’ensemble (E1) des barycentres Gk des points pondérés (A;k),(B; 2),(C;k−1)et(D; 1−2k).
(b) Préciser la valeur dekpour laquelleGk est un point de la droite(AC).
3. Déterminer et construire :
(a) l’ensemble(E2)des pointsM du plan tels que les vecteurs−−→
M A+−−→
M C−2−−→
M D et 2−−→
M B−−−→
M C+−−→
M Dsont colinéaires.
(b) l’ensemble(E3)des pointsM du plan tels que les vecteurs−−→
M A+−−→
M C−2−−→
M D et 2−−→
M B−−−→
M C+−−→
M Dont la même norme.
Exercice 4.23. :
On considère un tétraèdreABCD.
1. Construire les centre de gravité respectifsI, JetK des facesABC, ACDetADB.
2. Démontrer que les plans(BCD)et(IJ K)sont parallèles.
3. On désigne par :
• GetHles centre de gravité respectifs des trianglesBCDetIJ K.
• Ole centre de gravité deABCD.
Démontrer que les pointsA, H, O etGsont alignés.
Exprimer le vecteur−−→
GH en fonction du vecteur−→
AO.
4. Déterminer quatre nombres réelsa, b, cetdtels queH est le barycentre des points pon-dérés(A;a),(B;b),(C;c)et(D;d).
Exercice 4.24. :
SoitA, B, C trois points non alignés etα, β, γ trois nombres réels tels que : – les points pondérés(A;α),(B;β),(C;γ)admettent un barycentreG.
– les points pondérés(A;−α),(B;β),(C;γ)admettent un barycentreG1. – les points pondérés(A;α),(B;−β),(C;γ)admettent un barycentreG2. – les points pondérés(A;α),(B;β),(C;−γ)admettent un barycentreG3. 1. Démontrer que les droites(AG1),(BG2)et(CG3)concourent enG.
2. Démontrer que les droites(G2G3),(G3G1)et(G1G2)passent respectivement parA, B et C.
Exercice 4.25. :
1. Les notes d’un élève aux épreuves de baccalauréat sont : mathématiques 13coefficient 4; chimie10coefficient2; français 8 coefficient2. Quelle est la moyenne sur 20 de cet élève ?
2. (a) Représenter sur un segment de droite[AB]les notes de0à20 (0enAet20enB).
(b) A l’aide de cette représentation géométrique, interpréter la moyenne de cet élève en utilisant la notion de barycentre et placer su[AB]le pointM représentant cette moyenne.
3. Quelle est la moyenne sur20d’un élève qui a obtenu10en mathématiques,11en chimie et12en français ?
4. Un élève a une moyenne égale à9sur20. Sa note en français est11et celle de chimie est 8. Quelle est sa note en mathématiques.
Exercice 4.26. :
Dans le plan orienté, on considère un carréABCDde centreOtel qu’une mesure de l’angle orienté(−→\
AB,−−→
AD)soit égale à π2, on note :
– Gest le barycentre du système{(A; 2),(B;−1),(C; 1)}.
– (C)l’ensemble des pointsM du plan tels quek2−−→
M A−−−→
M B+−−→
M Ck= AD2 . – f l’application du plan qui à tout pointM associe le pointM0 tel que :
−−→GM0 = 2−−→
M A−−−→
M B+−−→
M C.
1. Démontrer queGest le milieu de[AD].
ConstruireG.
2. (a) Démontrer que pour tout pointM de(C),M G= AD4 .
(b) En déduire que(C)est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
3. (a) Démontrer que pour tout pointM du plan :−−→
GM0 = 2−−→
GM. (b) En déduire la nature def et ses éléments caractéristiques.
(c) Construire(C), puis déterminer et construire l’image(C0)de(C)parf.
Exercice 4.27. :
Dans le plan orienté, on considère le carréABCD de sens direct, de centreO et de côté1.
SoitGle barycentre des points{(A; 1),(B; 2),(C; 1)}.
1. (a) Montrer queGest le milieu du segment[OB].
(b) Construire le pointG.
2. Soit(Σ)l’ensemble des pointsM du plan tels que :M A2+ 2M B2+M C2 = 6
(a) Démontrer que pour tout pointMdu plan, on a :M A2+2M B2+M C2 = 4M G2+32. (b) En déduire la nature précise de(Σ).
Exercice 4.28. :
L’unité de longueur est le centimètre.ABC est un triangle rectangle enC tel queBC = 2 etAC = 3;I est le barycentre du système{(A; 2),(B; 5),(C;−3)}. J est le point du plan tel que−→
BJ =−32−−→ BC.
1. Montrer que le pointJ est un barycentre des pointsB etC affectés des coefficients que l’on déterminera.
2. Démontrer que les pointsA, I etJsont alignés.
3. (a) Placer les pointsIetJ.
(b) Donner la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble(C) des points M du plan tels queAM2+J M2 = 35.
(c) Tracer (C).
Exercice 4.29. :
Observer la figure ci-contre :
1. Déterminer des entiers naturelsm, netptels que : G=bar{(A;m),(B;n),(C;p)}.
2. La droite(AG)coupe(BC)enL.
Exprimer−→
LC en fonction de−→
LB.
3. Déterminer et construire le lieu géométrique des pointsM tels que M BM C = 34.
à ignorer
C
A B
G
Exercice 4.30. :
Une unité de longueur a été choisie. Soit ABC un tringle équilatéral de côté 3, B0 est le milieu de[AC]etDle point défini par la relation4−−→
AD=−→
AB+ 3−−→ BC.
1. Démontrer queDappartient à la médiatrice de[AC].
2. Démontrer que−−→
BD= 32−−→
BB0. 3. CalculerDA2etDB2.
4. Déterminer l’ensemble(E)de pointsM tels que :3M A2−2M B2+ 3M C2 = 12.
5. Vérifier que le centre de gravitéGdu triangleABC appartient à(E).
6. Tracer(E).
Exercice 4.31. :
SoitABC un triangle. On considère les pointsI, J etK définis par : −→
AI = 3−→
AB;−→
BJ =
2 3
−−→
BC et−−→
CK = 17−→ CI.
Faire une figure.
On veut démontrer de plusieurs manières que les pointsA, J etKsont alignés.
1. (a) Exprimer−→
AJ en fonction de−→
ABet−−→ BC. (b) Exprimer−−→
AK en fonction de−→
ABet−−→ BC.
(c) Conclure.
2. (a) Justifier queI est barycentre deAetB affectés de coefficients à déterminer.
(b) Justifier queJ est barycentre deB etAaffectés de coefficients à déterminer.
(c) Justifier queK est barycentre deCetI affectés de coefficients à déterminer.
(d) En déduire l’expression de K comme barycentre de A, B et C affectés de coef-ficients à déterminer, puis comme barycentre de A et J affectés de coefficients à déterminer.
(e) Conclure
3. On considère le repère(A;−→
AB;−→
AC).
(a) Donner les coordonnées deA, B etC.
(b) En déduire les coordonnées deA, B etC.
(c) Conclure.
Exercice 4.32. :
On considère un parallélogrammeABCD.
métant un réel, on noteGmle barycentre de(A; 2m),(B; 1−m)et(C; 2−m).
1. Montrer queGmexiste pour tout réelm.
2. CaractériserG1 et le placer sur le dessin.
3. Exprimer−−−→
AGm en fonction demet de−→
ABet−→
AC.
4. En déduire que−−−→
G1Gm = 1−m3 −−→ AD.
5. Quel est l’ensemble des pointsGmlorsquemdécritR? Représenter cet ensemble sur une dessin.
6. ConstruireG0.
Bibliographie
[1] Charles MVOMO OTAM et al. MAJORS en mathématiques, Tle C-E, ASVA EDUCA-TION, 2012.
[2] IREM de Strasbourg, le livre du problème volume 5, page 64.
[3] Saliou Touré et al. Mathématiques en Première Scientifique, option sciences Expérimen-tales, CIAM, Edicef, 1991.
[4] Saliou Touré et al. Mathématiques en Terminale Scientifique, option sciences Mathéma-tiques, CIAM, Edicef, 1991.
ANNEXE
Erogramme officiel de Mathématiques de Terminales C au Cameroun.