Calculons les coordonnées du barycentre G des points A, B et C affectés des coefficients − 1

Première S2 Module du 4 février 2008. Page n ° 1 Exemple de corrigé.

1 ) Dans un repère ( O ; Åi , Åj ) , on considère les points A ( − 3 ; − 1 ) , B ( 5 ; 1 ) et C ( 1 ; 7 ).

Calculons les coordonnées du barycentre G des points A, B et C affectés des coefficients − 1 ; 4 et 1.

D'après les formules du cours, on a : x_G =

c b a

cx bx

ax_{A B C}

+ + +

+ = ( − 1 × ( − 3 ) + 4 × 5 + 1 × 1 ) / 4 = 24 4 = 6.

y_G =

c b a

cy by

ay_{A B C}

+ + +

+ = ( − 1 × ( − 1 ) + 4 × 1 + 1 × 7 ) / 4 = 12 4 = 3.

Donc G ( 6 ; 3 ).

2 ) Construire le barycentre G₁ de ( A ; 1 ) ; ( B ; 2 ) ; ( C ; 1 ).

Je construis le milieu D du segment [ AC ].

L'associativité du barycentre permet d'écrire que G₁ est le barycentre de ( D ; 2 ) ( B ; 2 ) cad G₁ est le milieu du segment [ DB ].

3 ) Construire le barycentre G₂ de ( A ; − 1 ) ; ( B ; 4 ) et ( C ; 1 ).

La définition d'un barycentre permet d'écrire − ÄG₂A + 4 ÄG₂B + 1 ÄG₂C = Å0 ⇔ …⇔

ÄAG₂ = ÄAB + 1

4 ÄAC autrement dit G₂ = G.

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4 ) a ) Déterminons l'ensemble E₁ des points M du plan tels que MA+2MB+MC = 16.

E₁ = { M ∈ P / 4MG₁ = 16 } = { M ∈ P / G₁M = 4 } . E₁ est donc le cercle de centre G₁ et de rayon 4.

b ) Déterminons une équation cartésienne de cet ensemble.

Calculons les coordonnées de G₁ x_G1 =

c b a

cx bx ax_{A B C}

+ + +

+ = ( 1 × ( − 3 ) + 2 × 5 + 1 × 1 ) / 4 = 8 4 = 2 y_G1 =

c b a

cy by ay_{A B C}

+ + +

+ = ( 1 × ( − 1 ) + 2 × 1 + 1 × 7 ) / 4 = 8 4 = 2 Donc G₁ ( 2 ; 2 ).

Soit M ( x ; y ) alors M ∈ E1 ⇔ 16 G1M² = 16² ⇔ G1M² = 16 ⇔ ( x − 2 )² + ( y − 2 )² = 16 Donc E₁ est le cercle de centre G₁ ( 2 ; 2 ) et de rayon 4.

5 ) a ) Déterminons l'ensemble E₂ des points M du plan tels que MA+2MB+MC = −MA+4MB+MC .

E₂ = { M ∈ P / 4MG₁ = 4MG₂ } = { M ∈ P / G₁M = G₂M } . E₂ est donc la médiatrice du segment [ G₁ G₂ ].

b ) Déterminons une équation cartésienne de cet ensemble.

Soit M ( x ; y ) alors M ∈ E2 ⇔ G1M² = G₂M² ⇔ ( x − 2 )² + ( y − 2 )² = ( x − 6 )² + ( y − 3 )²

⇔ x² − 4x + 4 + y² − 4y + 4 = x² − 12x + 36 + y² − 6y + 9 ⇔ 8x + 2y = 37 ⇔ y = 18,5 − 4x Donc E₂ est la droite d'équation y = 18,5 − 2x