5 Le cercle
Équation cartésienne du cercle
On considère un cercle Γ de centre C(x
0; y
0) de rayon r et un point P(x ; y).
Les conditions suivantes sont équivalentes :
1)
rC
P ∈ Γ : le point P appartient au cercle Γ
P2) k
−CP
−−−→k = r ⇐⇒ k
−CP
−−−→k
2= r
23) (x − x
0)
2+ (y − y
0)
2= r
2Cette dernière expression constitue l’équation cartésienne du cercle Γ de centre C( x
0; y
0) et de rayon r .
En développant l’équation cartésienne ( x − x
0)
2+ ( y − y
0)
2= r
2, on obtient x
2+ y
2− 2 x
0x − 2 y
0y + x
20+ y
02− r
2= 0.
On constate, dans cette équation du deuxième degré en x et y, que 1) les coefficients de x
2et de y
2sont égaux et non nuls ;
2) il n’y a pas de terme en x y.
Réciproquement, toute équation du deuxième degré en x et y telle que 1) les coefficients de x
2et de y
2sont égaux et non nuls,
2) il n’y a pas de terme en x y ,
c’est-à-dire toute équation de la forme a x
2+ a y
2+ b x + c y + d = 0 avec a 6 = 0, est soit celle d’un cercle, soit celle de la figure vide.
Preuve Les équations suivantes sont équivalentes : 1) a x
2+ a y
2+ b x + c y + d = 0
2) x
2+ y
2+
abx +
acy +
ad= 0 3) x
2+ 2
2bax + (
2ba)
2| {z }
(x+2ba)2
− (
2ba)
2+ y
2+ 2
2cay + (
2ca)
2| {z }
(y+2ca)2
− (
2ca)
2+
da= 0
4) ( x +
2ba)
2+ ( y +
2ca)
2= (
2ba)
2+ (
2ca)
2−
da=
b2+c42a−42 a dPuisque 4 a
2> 0, on doit distinguer deux cas :
– soit b
2+ c
2− 4 a d > 0 et l’équation a x
2+ a y
2+ b x + c y + d = 0 correspond à l’équation du cercle de centre ( −
2ba; −
2ca) et de rayon
q
b2+c2−4a d 4a2; – soit b
2+ c
2− 4 a d < 0 et l’équation a x
2+ a y
2+ b x + c y + d = 0 est impossible,
vu que (x +
2ba)
2> 0 et (y +
2ca)
2> 0 quels que soient les nombres x et y.
5.1 Indiquer, parmi les équations données ci-dessous, celles qui définissent un cercle. Déterminer alors les coordonnées du centre et le rayon du cercle.
1) (x − 5)
2+ (y + 2)
2= 25 2) (x + 2)
2+ y
2= 64 3) (x + 5)
2+ (y − 2)
2= 0 4) x
2+ (y − 5)
2= 5
5) x
2+ y
2− 2 x + 4 y = 20 6) x
2+ y
2− 2 x + 4 y + 14 = 0 7) x
2+ y
2+ 4 x − 2 y + 5 = 0 8) x
2+ y
2+ x = 0
9) x
2+ y
2+ 6 x − 4 y + 14 = 0 10) x
2+ y
2+ y = 0
11) 80 x
2+ 80 y
2− 120 x + 80 y = − 17 12) 144 x
2+ 144 y
2− 216 x + 192 y = − 145 5.2 Calculer la plus courte distance d’un point du cercle x
2+y
2− 26 x+30 y = − 313
au point B(3 ; 9).
5.3 Déterminer l’équation du symétrique du cercle x
2+ y
2− 2 x − 4 y + 4 = 0 relativement à la droite d’équation x = y + 3.
5.4 Déterminer l’équation des cercles définis par les conditions suivantes : 1) Le centre est à l’origine et le rayon est égal à 3.
2) Le centre est C(2 ; − 3) et le rayon est égal à 7.
3) Le cercle passe par l’origine et son centre est C(6 ; − 8).
4) Le cercle passe par A(2 ; 6) et son centre est C( − 1 ; 2).
5) Les points A(3 ; 2) et B( − 1 ; 6) sont les extrémités d’un diamètre.
6) Le centre est l’origine et le cercle est tangent à la droite 3 x − 4 y + 20 = 0.
7) Le centre est C(1 ; − 1) et le cercle est tangent à la droite 5 x + 9 = 12 y.
8) Le cercle passe par A(3 ; 1) et par B( − 1 ; 3) et son centre est sur la droite 3 x = y + 2.
9) Le cercle passe par A(1 ; 1), B(1 ; − 1) et C(2 ; 0).
10) Le cercle passe par A( − 1 ; 5), B( − 2 ; − 2) et C(5 ; 5).
Position relative de droites et de cercles
Soient une droite d et un cercle Γ de centre C et de rayon r.
Soient Γ et Γ
′deux cercles de centres respectifs C et C
′et de rayons respectifs r et r
′(avec r 6 r
′).
Γ est intérieur à Γ
′δ(C ; C
′) < r
′− r
Γ est tangent intérieurement à Γ
′δ(C ; C
′) = r
′− r
Γ coupe Γ
′r
′− r < δ (C ; C
′) < r
′+ r
Γ et Γ
′sont tangents extérieurement δ(C ; C
′) = r
′+ r
Γ et Γ
′sont extérieurs
δ(C ; C
′) > r
′+ r
5.5 Déterminer si la droite et le cercle se coupent, sont tangents ou extérieurs.
Calculer les coordonnées des éventuels points d’intersection.
1) y = 2 x − 3 x
2+ y
2− 3 x + 2 y = 3 2) x − 2 y − 1 = 0 x
2+ y
2− 8 x + 2 y + 12 = 0
3) y = x + 10 x
2+ y
2= 1
4) 3 x − 2 y = 4 x
2+ y
2− 6 x + 8 y − 1 = 0 5.6 Pour quelle valeur de m la droite y = m x
1) est-elle tangente au cercle x
2+ y
2− 10 x + 16 = 0 ? 2) coupe-t-elle ce cercle ?
5.7 Soient A(1 ; − 1) et B(5 ; 6). Trouver un point M sur la droite 2 x − 3 y = 18 de sorte que l’angle AMB = 45 [ ˚.
5.8 1) Vérifier que le cercle x
2+ y
2+ 2 x − 6 y + 5 = 0 est tangent intérieurement au cercle x
2+ y
2− 10 x − 55 = 0 et calculer le point de tangence.
2) Vérifier que le cercle x
2+ y
2+ 14 x − 12 y + 65 = 0 est tangent extérieu- rement au cercle x
2+ y
2− 10 x − 55 = 0 et calculer le point de tangence.
5.9 On considère les cercles Γ
1et Γ
2donnés respectivement par les équations x
2+ y
2− 4 x − 8 y + 15 = 0 et x
2+ y
2+ 2 x − 2 y − 15 = 0.
1) Vérifier que les cercles Γ
1et Γ
2se coupent.
2) Trouver le cercle qui passe par A(4 ; − 1) et par les points d’intersection de Γ
1et Γ
2.
5.10 On considère le cercle Γ
1, de centre C
1(2 ; − 1) et de rayon 9, et le cercle Γ
2, de rayon 4 et dont le centre C
2se trouve sur la droite y = 4. Soit encore la droite d d’équation 8 x − 15 y = 0.
1) Déterminer les valeurs de l’abscisse k de C
2pour lesquelles le cercle Γ
2est tangent à la droite d .
2) Déterminer les valeurs de l’abscisse k de C
2pour lesquelles les deux cercles Γ
1et Γ
2sont tangents (intérieurement ou extérieurement).
5.11 Déterminer les équations des cercles qui ont leur centre sur la droite 4 x − 5 y = 3 et qui sont tangents aux droites 2 x = 3 y + 10 et 2 y = 3 x + 5.
5.12 Déterminer l’équation du cercle qui est tangent aux droites 3 y = 4 x + 10 et 4 x = 3 y + 30, et dont le centre est situé sur la droite d’équation 2 x + y = 0.
5.13 Déterminer les équations des cercles tangents aux droites y = 7 x − 5 et
x + y + 13 = 0, T(1 ; 2) étant l’un des points de contact.
Tangente en un point du cercle
C T P
t
On considère un cercle Γ de centre C(x
0; y
0) et de rayon r, un point T(x
1; y
1) situé sur le cercle Γ, la tangente t au cercle Γ au point T et P(x ; y) un point du plan.
Les conditions suivantes sont équivalentes : 1) P ∈ t
2)
−CT
−−−→⊥
−TP
−−−→3) 0 =
−CT
−−−→·
−TP
−−−→4) 0 =
−CT
−−−→· (
−CP
−−−→−
−CT) =
−−−→ −CT
−−−→·
−CP
−−−→−
−CT
−−−→·
−CT
−−−→5)
−CT
−−−→·
−CP =
−−−→ −CT
−−−→·
−CT =
−−−→k
−CT
−−−→k
2= r
26)
x
1− x
0y
1− y
0·
x − x
0y − y
0= (x
1− x
0) (x − x
0) + (y
1− y
0) (y − y
0) = r
2En conclusion, l’équation de la tangente en un point T(x
1; y
1) du cercle de centre C(x
0; y
0) et de rayon r est donnée par la formule :
(x
1− x
0) (x − x
0) + (y
1− y
0) (y − y
0) = r
25.14 Après avoir vérifié que le point T est sur le cercle, déterminer l’équation de la tangente au cercle au point T :
1) T( − 1 ; 2) (Γ) : x
2+ y
2= 5
2) T( − 5 ; 7) (Γ) : ( x + 2)
2+ ( y − 3)
2= 25 3) T(0 ; 0) (Γ) : x
2+ y
2= 3 x − 7 y 4) T( − 1 ; 2) (Γ) : x
2+ y
2− 2 x + 6 y = 19 5) T(2 ; 3) (Γ) : 2 x
2+ 2 y
2= x + 4 y + 12 6) T(2 ; 1) (Γ) : 3 x
2+ 3 y
2= 2 x + 11
5.15 Calculer la valeur de l’angle aigu entre la droite 3 x − y = 1 et le cercle (x − 2)
2+ y
2= 5.
On appelle angle d’une droite et d’un cercle l’angle formé par la droite et la tangente au cercle en l’un des points d’intersection.
5.16 Calculer la valeur de l’angle sous lequel se coupent les deux cercles (x − 3)
2+ (y − 1)
2= 8 et (x − 2)
2+ (y + 2)
2= 2.
On appelle angle de deux cercles l’angle formé par les tangentes aux cercles en l’un des points d’intersection.