Chapitre 5 : Quadrilatère, triangle et cercle

Géométrie C2

Chapitre _{5 :} Quadrilatère, triangle ^{et cercle}

. Leçon 28 : Parallétogramme

l. Activités

Dans

le

quadrilatère

ABCD,

on a

AB// ...et

...11F,C,... est le centre de symétrie.

Pour montrer que

AB : _...-

On applique la méthode suivante:

A

est le symétrique de

...

et

B

symétrique de

...

^par rapport à O.

On a les segments

[AB]

^et

^...

sont symétriques par rapport à O,

donc AB :

_...

-

Avec

la même méthode, montrer que:

a. AD:

^BC

b.

O est le point

milieu

de

[AC]

c'est-à-dire que

OA:

OC

c.

O est le point

milieu

de

[BD]

c'est-à-dire que OB

: _OD

utiliser

les propriétés des angles alternes-intemes,

montrer

^:

lnC

=

lbc:

oÀn ₌

oÔn

2.

Essentiel

1. Définition: "

Un parallélogramme est un quadrilatère

qui

a ses côtés opposés parallèles.

Autrement

dit

^:

Si aecn

est urr parallélogramme, alors (ta)r r

(oc) et

(nc)r r

(dn)

2. Propriétés

a.

Les diagonales d'un parallélogramme _se coupent en leur milieu

O est le

milieu

de

[AC]

^{et de}

_[BD].

b.

Les côtés opposés

d'un

parallélogramme ont même longueur.

AB :DC

_et

_AD:BC

u5

Co 4.

Géométrie C2

c.

Les angles opposés

d'un

parallélogramme

ont

même mesure.

mes(A) -

^mes(C)

^et

^{mes(B) = mes(D)}

3. Centre

de symétrie

Un

parallélogramme

admet un centre de

symétrie

: le point

d'intersection

de ses

deux diagonales.

Exemple

1: Construire un

parallélograrune ABCD

tel

que

AB

:

7

cm,AD:4cm

et AC =lCcm.

Montrer que: oÀc:

nÔ,q

Hypothèse AI| ₌ 7 cm, A\) ₌ 4cm et AC

:locm

Conclusion

-

Construire un parallélogramme

ABCD;

-

Montrer

que oÀc:

^aÔ,q

Solution

^:

.

Construire le segment

[AB]

^tel

que AB:7

cm

- Tracer deux arcs de cercle de centres

A

^et B et de rayons respectifs

l0

^{cm et}

4 cm.Ils

se coupent en C.

- Tracer deux arcs de cercle de centres

A

et C et de rayons respectifs 4 cm et

7 cm.Ils

se coupent en D.

Le

quadrilatère

AIJCD

est un parallélogramme demandé.

. _Montrer

que

oÀc:

aÔ,q

ABCD

est un parallélogramme, on a

(AB)ll(Dc),les angles oÀc et

nÔ.

sont alternes-internes

donc oÀC:

aÔz .

Exemple

2

: Construire un parallélogramme EFGH

tel

que ses deux diagonales se coupent en O et EO

:3cm,

_{FH =} 7 cm et

nÔC:

I 10".

Hypothèse _{EO =} 3 cm, FH ='1 cm

et

EÔC = ^I

l0'

Conclusion

ll6

Construire un parallélogramme EFGI{

Géométrie C2

Solution

^:

- Construire

I'angle xÔy :

I

l0'

-

Sur les demi-droites

[O")

et'[Oy), placer les points respectifs E et F tels que

OE:3cm

et OF:3,5cm

- Construire les points G et

H,

symétriques de E et F par

rapport

à

o.

-

Le

quadrilatère EFGH est un parallélogramme demandé.

Exercices

t.

Dans le triangle

ABC

ci-contre, citer tous les

parallélogrammes qui ne sont,pas des losanges.

Soit

ABCD

un parallélogramme de centre O.

a.

Passant par

A

et C, tracer les droites

d, et d,

respectives parallèles à (BD).

b.

Passant par B et

D,

tracer les droites

d, et

do respectives parallèles à

(AC).

c- Ladroite

drcoupe

d,en I et d,

en

J; ladroite

do coupe

d, en L

et

d,

en

K.

Combien y

a-t-il

de parallélogrammes dans la nouvelle

figure

?

Ci[er-les.

3.

^Les médianes BE et CF du triangle

ABC

se coupent en G.

- Sur les demi-droites

tGF)

^et [GE), placer les points

respectifs L

et

K

tels que

FL:GF

et

EK=GE.

-

Montrer

que le quadrilatère BLKC est un parallélogramme.

a.

Placer trois points A,

B et

D tels que AB

:5

cm,AD ₌

4cm et

BÀO _=7A"

b. Avec

la règle et le compas, construire le

point

C pour que

ABCD

soit un parallélogramme.

c.

Sans mesurer, trouver les mesures des angles du parallélogramme

ABCD.

2.

4.

n7

Géométrie C2

5.

Construire le parallélogramme EFGH de,centre

I

dans chacun des cas

suivants ^:

a. EF:&c,z.et

FG =5crrt

b.

PP =8cm,EH=Scm

et H

_=60"

c.

EF

:8cni,EH=4cm et

EG

:7

cm

d.

UC

=6cm

^et

EH:4cm

6.

^La

figure

ci-contre

ABCO

et DOFE sont des parallélogrammes

Montrerque tr=É

_B

7. ^Trouver

les valeurs de

x

et

v

dans chacun des cas suivants ^:

a.

^b.

c.

J

'6y+5)'

36 P

2x.+16 24

7.

^{Soit un}

parallélograrlme ABCD.

Les

points

M etNsont les

milieux

respectifs des côtés

l,qnl ^et foCl.

Montrer

que le quadrilatère AMND est un parallélogramme.

9.

^{Soit ROSE un} parallélogramme. Les

points W, X, Y etZ

sont les

milieux

respectifs de

[rn], Irol,lrsl"t Vnl

Montrer

que le quadrilatère WXYZ est un parallélogramme.

ll8