D2907*** – Un classique dans les minima
ABCD est un quadrilatère convexe inscrit dans un cercle (Γ). Un point M intérieur à ce quadrilatère se projette sur les côtés AB, BC, CD et DA respectivement aux points P, Q, R et S.
Déterminer la position de M tel que le périmètre de PQRS est minimal.
Proposition de Marc Humery
1/ théorème : si les angles d’un quadrilatère convexe sont supplémentaires alors il est inscriptible dans un cercle et réciproquement => quadrilatère [ABCD] inscrit dans un cercle (Γ) => sin A = sin C ; sin B = sin D
2/ quadrilatère convexe [APMS]
+ 2 angles droits opposés : (PA, PM) = (SA, SM) = π/2 quadrilatère [APMS] inscriptible dans un cercle de diamètre 2r1 = MA => le triangle (SAP) est inscrit dans ce même cercle
+ application de la loi des sinus au triangle (SAP) => SP/sin A = 2r1 = MA => SP = MA sin A
3/ quadrilatère convexe [BPMQ]
+ 2 angles droits opposés : (PB, PM) = (QB, QM) = π/2 quadrilatère [BPMQ] inscriptible dans un cercle de diamètre 2r2 = MB => le triangle (PBQ) est inscrit dans ce même cercle
+ application de la loi des sinus au triangle (PBQ) => PQ/sin B = 2r2 = MB => PQ = MB sin B
4/ quadrilatère convexe [CQMR]
+ 2 angles droits opposés : (QC, QM) = (RC, RM) = π/2 => quadrilatère [CQMR] inscriptible dans un cercle de diamètre 2r3 = MC => le triangle (QCR) est inscrit dans ce même cercle
+ application de la loi des sinus au triangle (QCR) => QR/sin C = 2r3 = MC => QR = MC sin C
5/ quadrilatère convexe [DRMS]
+ 2 angles droits opposés : (RD, RM) = (SD, SM) = π/2 => quadrilatère [DRMS] inscriptible dans un cercle de diamètre 2r4 = MD => le triangle (RDS) est inscrit dans ce même cercle
+ application de la loi des sinus au triangle (RDS) => RS/sin D = 2r4 = MD => RS = MD sin D
6/ périmètre du quadrilatère convexe [PQRS]
SP+PQ+QR+RS = MA sin A + MB sin B + MC sin C + MD sin D = (MA+MC) sin A + (MB+MD) sin B (MA+MC) ≥ AC et (MB+MD) ≥ BD => SP+PQ+QR+RS ≥ AC sin A + BD sin B
Résultat : (SP+PQ+QR+RS)mini = AC sin A + BD sin B = constant
Le périmètre du quadrilatère [PQRS] est minimal si M est le point d’intersection des diagonales AC et BD du quadrilatère [ABCD]
