D2907. Un classique dans les minima MB
ABCD est un quadrilatère convexe inscrit dans un cercle (Γ). Un point X intérieur à ce quadrilatère se projette sur les côtés AB,BC,CD et DA respectivement aux points P,Q,R et S .
Déterminer la position de X tel que le périmètre de PQRS est minimal.
Le cercle (ꓩ) est supposé être le cercle unité. Les points A, B, C, X sont repérés par leurs affixes a, b, c, x.
Je note y pour le conjugué de x, et t pour le conjugué de p.
Recherche des affixes p et q des points P et Q : P est sur AB donc p = a + b – abt PX est perpendiculaire à AB donc (p-x)/(b-a) + conjugué de [(p-x)/(b-a)] = 0
(p-x)/(b-a) + ab(y–t)/(a–b) = 0 x – p + abt – aby = 0 x – p +(a+ b – p) – aby = 0 p = (x – aby +a +b)/2 q = (x – bcy +b +c)/2 p – q = (a – c)(1 – by)/2
Les longueurs de PQ et AC sont les modules des complexes p – q et a – c.
Comme b a pour module 1, │1 – by│ = │1/b – y│ = │b – x│ = longueur de BX.
Le périmètre de PQRS est donc (BX+XD) AC/2 + (AX+XC) BD/2.
BX + XD est minimum quand X est sur la diagonale BD.
AX + XC est minimum quand X est sur la diagonale AC.
Le périmètre de PQRS est minimum et égal à AC*BD quand X est à l’intersection des diagonales.
